Les mod` eles AMM et DMM

Deux mod`eles sont souvent employ´es pour d´ecrire la r´esistance thermique interfaciale, l’Acoustic Mismatch Model (AMM) et le Diffuse Mismatch Model (DMM). La descrip-tion sommaire qui en est faite ci-dessous reprend les ´el´ements donn´es dans [73, 74].

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El´ements g´en´eraux: On ne consid`ere dans les mod`eles AMM et DMM que le trans-port thermique dˆu aux phonons. Un phonon provenant de l’un des milieux et incident `a l’interface peut ou non ˆetre transmis dans le second milieu. L’enjeu principal des deux mod`eles pr´esent´es ici est de caract´eriser la probabilit´e de transmission des phonons d’un milieu `a l’autre. Cette probabilit´e d´epend a priori de la temp´erature, de la polarisation du phonon (longitudinal ou transverse), de son vecteur d’onde et de sa fr´equence. On suppose n´eanmoins que les deux milieux sont isotropes et que la probabilit´e de transmis-sion ne d´epend pas de la temp´erature. Cette derni`ere hypoth`ese permet de s’affranchir d’effets anharmoniques et de d´eduire la r´esistance d’interface `a partir de l’´etude d’un seul des deux milieux. Si l’on consid`ere l’interface entre un solide et un liquide, en particulier, cette derni`ere hypoth`ese autorise `a se concentrer uniquement sur le solide pour d´eterminer la r´esistance d’interface.

Le mod`ele AMM: Dans ce mod`ele, les phonons sont consid´er´es comme des ondes planes se propageant dans un milieu continu, en n´egligeant donc la structure atom-ique du milieu. Cette hypoth`ese est pertinente pour des phonons de longueur d’onde sup´erieure `a la distance typique inter-atomique. L’interface est consid´er´ee comme plane. L’existence d’une r´esistance d’interface provient d’une diff´erence des vitesses de prop-agation des phonons dans les deux milieux. Il est alors possible d’´ecrire une relation analogue `a celle de Snell-Descartes dans le cas des ondes ´electromagn´etiques, les indices optiques ´etant remplac´es par les vitesses de propagation ci des phonons dans les milieux d’incidence (i = 1) et de transmission (i = 2):

c1sin θ1 = c2sin θ2 (10) o`u θ1 est l’angle d’incidence par rapport `a la normale `a l’interface et θ2 l’angle de transmission. Soulignons qu’en toute rigueur dans l’´equation (10) on devrait sp´ecifier le mode d’incidence et de transmission des phonons, les vitesses de propagation des modes transverses et longitudinaux (existant dans les solides) ´etant diff´erentes. De mˆeme que dans le cas d’ondes ´electromagn´etiques, un angle critique peut apparaˆıtre en fonction du rapport des vitesses de propagation, menant `a une r´eflexion totale.

Le mod`ele DMM: Le mod`ele AMM suppose qu’aucune diffusion, ´elastique ou in´elastique, ne se produit `a l’interface. Ceci est cependant en contradiction avec les donn´ees exp´erimentales. Une cons´equence de cette hypoth`ese est la sur-estimation de la r´esistance d’interface, puisque des canaux de transport ´energ´etiques sont n´eglig´es. Le mod`ele DMM consid`ere le cas oppos´e: on suppose que tous les phonons `a l’interface sont diffus´es. Un phonon incident ”perd toute m´emoire” de son ´etat apr`es diffusion par l’in-terface. La r´esistance d’interface provient dans ce cas de la diff´erence entre les densit´es d’´etat dans chaque milieu.

Comparaison des deux mod`eles sur quelques cas: On se propose de donner les grandes tendances suivies par les deux mod`eles pour quelques syst`emes typiques. Pour se faire, Swartz et Pohl proposent de d´efinir un param`etre de dissemblance qui est le rapport du produit ρetat

i ci entre les deux milieux consid´er´es [73], ρetat

i et ci ´etant la densit´e d’´etat et la vitesse de propagation dans le milieu d’indice i.

Les r´esultats donn´es sch´ematiquement sur la figure 19 peuvent s’expliquer de la fa¸con suivante:

Interface solide-liquide: Le mod`ele DMM pr´evoit qu’une grande majorit´e des phonons incidents seront diffus´es dans le liquide, car la densit´e d’´etats dans celui-ci est beau-coup plus importante que dans le solide, donnant ainsi une faible r´esistance d’interface. Le mod`ele AMM en revanche favorisera la r´eflexion `a l’interface, en raison de la tr`es grande diff´erence dans les vitesses de propagation, et la r´esistance d’interface pr´edite par ce mod`ele devrait ˆetre ´elev´ee.

Interface ”imaginaire” entre deux solides identiques: Les densit´es d’´etats ´etant les mˆemes de part et d’autre de l’interface, la probabilit´e de transmission dans le mod`ele DMM est de 50%. Le mˆeme raisonnement sur les vitesses de propagation donne une transmission totale avec le mod`ele AMM, et donc une r´esistance d’interface beaucoup plus faible. Il s’agit d’une limite du mod`ele DMM.

Interface entre deux solides diff´erents: Les diff´erences de densit´es d’´etat et de vitesse de propagation sont assez faibles et les deux mod`eles donnent des valeurs sensiblement identiques de r´esistance d’interface. Prendre en compte la diffusion n’a que peu d’effet sur l’´evaluation du transfert thermique.

Les figures 20 et 21 pr´esentent une comparaison de la r´esistance d’interface obtenue par les mod`eles AMM et DMM avec des valeurs mesur´ees pour l’h´elium et diff´erents solides respectivement. Comme indiqu´e ci-dessus dans le cas d’une interface solide-fluide, le mod`ele DMM tend `a donner une valeur faible de r´esistance et le mod`ele AMM une valeur ´elev´ee. Pour le cas pr´esent´e sur la figure 20, les deux mod`eles donnent des bornes sup´erieures et inf´erieures de la r´esistance.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Dissemblance

R

/R

Figure 19: Rapport des r´esistances d’interface calcul´ees `a partir des mod`eles DMM (RDMM) et AMM (RAMM) en fonction de la diff´erence de densit´e d’´etat et de vitesse de propagation entre les deux milieux consid´er´es. Figure reproduite de [73].

0,1 1 T (K) 10 100 RT 3 (K 4 W -1 cm

2 ) ^{Mesures expérimentales}_Modèles

AMM

DMM

Figure 20: Comparaison de valeurs mesur´ees de la conductance d’interface d’un syst`eme cuivre solide - h´elium <sup>4</sup>He avec les valeurs pr´edites par les mod`eles AMM et DMM. Figure reproduite de [73].

100 T (K) 100 1000 G ^th (MW/m 2 K) Al/Al₂O₃ DMM Al/Al₂O₃ MOS Pb/Diamond

Figure 21: Comparaison de valeurs mesur´ees de la conductance d’interface de diff´erents syst`emes avec les valeurs pr´edites par le mod`ele DMM calcul´e pour Al/Al₂O₃. Figure reproduite de [74].