D´ etermination analytique du coefficient α

La figure 77 montre un sch´ema des trajectoires des mol´ecules envisageables au sein de la vapeur.

Figure 77: Repr´esentation sch´ematique des trajectoires des mol´ecules `a l’int´erieur de la bulle de vapeur. Les fl`eches rouges indiquent les cas `a consid´erer. (1) des mol´ecules d’eau ´evapor´ees traversent la nanobulle et atteignent l’interface liquide-vapeur sans rencontrer la nanoparticule. (2) des mol´ecules sont r´efl´echies par la nanoparticule apr`es une (ou plusieurs) r´eflection(s) sur l’interface liquide-vapeur et sur la nanoparticule. (3) des mol´ecules ´evapor´ees `a l’interface liquide-vapeur atteignent la nanoparticule et sont refl´et´ees vers le liquide o`u elles se condensent.

Plusieurs corrections sont prises en compte dans le coefficient α utilis´e pour pond´erer le flux thermique d’origine balistique. Nous associons `a chacune d’elles un coefficient:

• Correction g´eom´etrique (αgeo): toutes les mol´ecules pr´esentes dans la vapeur ne participent pas au flux thermique balistique, puisque certaines d’entre elles tra-versent la nanobulle sans rencontrer la nanoparticule.

• Correction due `a la densit´e dans la vapeur (αvap): la densit´e prise en compte dans l’´equation (82) est celle du fluide en surface de la particule. On consid`ere dans la th´eorie cin´etique des gaz employ´ee ci-dessous que c’est la densit´e de la vapeur en volume qui joue un rˆole dans le flux balistique.

• Correction associ´ee `a la probabilit´e d’´evaporation (αevap): parmi les mol´ecules atteignant la nanoparticule, certaines ont ´et´e r´efl´echies plusieurs fois `a l’interface liquide vapeur. La distance effectivement parcourue par ces mol´ecules est alors sup´erieure `a leur libre parcours moyen. Nous ne souhaitons consid´erer que les mol´ecules atteignant la particule directement apr`es leur ´evaporation `a l’interface liquide-vapeur.

Sur la base de ces remarques, nous choisissons de nous inspirer de la th´eorie cin´etique des gaz de Boltzmann. Nous adaptons le cas classique du transfert thermique entre deux murs `a la g´eom´etrie que nous ´etudions, comme d´etaill´e en annexe `a la page 235. Ce raisonnement permet d’´evaluer la premi`ere correction au flux balistique, d’origine g´eom´etrique, exprim´ee par le coefficient αgeo. La valeur de ce coefficient est inf´erieure `a 1 et, au vu des gammes de temp´eratures consid´er´ees, nous conservons la valeur αgeo  0, 1.

20 40 60 80

θ (degrés)

ρ

/ρ

Figure 78: ´Evolution de la densit´e de surface th´eorique autour d’une nanoparticule, nor-malis´ee par la densit´e `a coexistence dans le liquide et dans la vapeur `a 300 K. Les lignes en tirets montrent l’angle de contact standard θ = 50^o utilis´e pour la d´etermination num´erique du coefficient α (voir paragraphe III.3.2.2)

Dans le mod`ele de Boltzmann que nous avons employ´e, la densit´e du gaz ρg est suppos´ee uniforme. C’est cette densit´e en volume qui intervient dans l’expression du

flux thermique, or notre premi`ere intuition lors de l’´etablissement du mod`ele a ´et´e d’utiliser la densit´e de surface du fluide dans l’´equation (82). La figure 78 montre l’´evolution du rapport ρs/ρcoex obtenu `a partir du mod`ele d´evelopp´e en annexe page 198. On y voit que dans la vapeur, pour l’angle de contact standard θ = 50^o que nous utiliserons dans la partie suivante, ce rapport vaut environ 16. Nous prendrons donc αvap = ρvap/ρs= 0, 06.

Finalement, nous devons consid´erer la fraction de mol´ecules atteignant la nano-particule sans avoir subi de r´eflection pr´ealable sur la surface de la nanobulle. Cette correction est associ´ee au coefficient αevap.

La densit´e ρv= Nvap/Vb au sein de la vapeur d´epend du nombre total de mol´ecules Nv et du volume de la bulle Vb. On peut distinguer les mol´ecules selon qu’elles ont ou non subi une r´eflection `a l’interface liquide-vapeur en ´ecrivant: Nv = Ne+ Nr, o`u Nrest le nombre de mol´ecules ayant subi une ou plusieurs r´eflections et Ne est le nombre de mol´ecules provenant de l’interface liquide-vapeur directement apr`es leur ´evaporation. Nr a ´et´e ´evalu´e dans [103] comme Nr = αrNv, avec αr  0.65 `a T_∞. Ceci am`ene `

a Ne  0.35Nv. De cette analyse nous pouvons ´evaluer la correction due au nombre limit´e de mol´ecules provenant effectivement d’une ´evaporation comme: αevap  0.35.

Les diff´erentes corrections donn´ees ci-dessus peuvent ˆetre incluses dans la th´eorie cin´etique des gaz comme effectu´e dans [104]. Ceci m`ene `a l’expression de la correction totale:

α = αgeoαevapαvap (83)

L’´evaluation num´erique donne α = 0, 0022.

Pour confirmer la valeur de α obtenue analytiquement, nous proposons de confronter les r´esultats du mod`ele hydrodynamique avec les observations exp´erimentales obtenues par Plech et al. [1].

III.3.2.2 Comparaison avec les r´esultats exp´erimentaux

Pour effectuer cette comparaison, nous reprenons le rayon maximum de bulles mesur´e dans cet article autour d’une nanoparticule de rayon 30 nm chauff´ee par un pulse de dur´ee 10 ns `a diff´erentes fluences. En faisant varier α entre 0 et 1, nous cherchons pour quelle valeur de ce coefficient notre mod`ele permet de reproduire les observations exp´erimentales. Les r´esultats sont repr´esent´es sur la figure 79.

Le premier constat que nous pouvons ´etablir est qu’il n’est pas possible de repro-duire les r´esultats exp´erimentaux sans prendre en compte un flux thermique d’origine balistique. Le cas α = 0 m`ene en effet `a une s´erie de bulles de faible rayon maximum. Augmenter α m`ene `a des bulles de plus en plus grandes, le rayon maximum variant de mani`ere non-lin´eaire avec α.

Pour mieux d´efinir la valeur de α permettant de reproduire les r´esultats exp´erimentaux, nous introduisons l’´ecart relatif r entre les rayons maximum mesur´es exp´erimentalement

Rmax,exp et ceux obtenus par le simulation Rmax:

r =| ^Rmax,exp− Rmax

Rmax,exp | (84)

La figure 80 repr´esente cet ´ecart relatif en fonction de α pour quatre valeurs de la fluence du laser. Nous trouvons qu’il n’est pas possible de minimiser r avec une unique valeur de α. Pour les fluences consid´er´ees, la valeur optimale de α se situe dans l’intervalle [0,0025 ; 0,004].

Nous pouvons cependant observer une allure g´en´erale sur la figure 80, puisque la valeur optimale de α permettant de minimiser r d´ecroˆıt lorsque la fluence du laser est augment´ee, donc lorsque l’´echauffement des particules augmente. Nous avons ´egalement observ´e cette tendance lors de l’analyse num´erique r´ealis´ee en annexe page 235 (voir en particulier la figure 108).

On peut observer sur la figure 80 que faire varier α dans l’intervalle [0,0025 ; 0,004] m`ene `a un ´ecart relatif maximum de 10% pour les fluences employ´ees ici. On peut donc conclure `a un bon accord entre les r´esultats de simulation et les observations exp´erimentales pour une valeur α  0, 0032. On retrouve une valeur proche de celle obtenue par l’analyse num´erique.

1000 1500 2000 2500 3000 Fluence laser (J/m²) 50 100 150 200 R ^b,max (nm) Plech et al. α=0 α=0.001 α=0.002 α=0.0025 α=0.003 α=0.0035 α=0.004 α=0.005 α=0.01 α=0.05 α=0.1

Figure 79: Rayon maximum des nanobulles en fonction de la fluence du laser. Le cas pr´esent´e ici reprend les conditions exp´erimentales d´ecrites par Plech et al. [1] (tp = 10 ns et Rnp = 30 nm). Les observations exp´erimentales sont repr´esent´ees par des cercles reli´es par des lignes pointill´ees. Les symboles sont les r´esultats de simulation pour diff´erentes valeurs de α.

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 α 0 10 20 30 40 50 60 r (%) F=1500 J/m² F=2000 J/m² F=2500 J/m² F=3000 J/m²

Figure 80: Ecart relatif r (voir ´equation (84)) entre les rayons maximum mesur´es^´ exp´erimentalement et obtenus par simulation, en fonction du coefficient α utilis´e pour les simulations. Les lignes sont un guide pour les yeux. Les ´ecarts relatifs obtenus pour α > 0, 01 sont sup´erieurs `a 20% et ne sont pas repr´esent´es ici. Les fl`eches montrent les trois valeurs de α minimisant r observables sur cette figure.