Application aux r´ esultats de simulation

Afin de mod´eliser la dynamique des nanobulles et de comprendre l’origine de l’asym´etrie pr´esent´ee par leur rayon, nous utilisons l’´equation de Rayleigh-Plesset commun´ement employ´ee pour d´ecrire la cavitation. Cette ´equation s’´ecrit:

mρliq  RbR¨b+³ 2 ˙ Rb 2 = Pi(t) − Pe(t) − 2 ^γ Rb − 4η^R˙b Rb (69)

o`u Rb est le rayon de la nanobulle. Pi et Pe sont les pressions dans la bulle et dans le liquide environnant respectivement. mρliq est la densit´e massique du liquide loin de la nanoparticule, donn´ee dans le tableau 3 `a la page 67. Le terme de gauche dans l’´equation (69) correspond `a l’inertie de la bulle. On retrouve `a droite de cette ´equation les termes contrˆolant sa dynamique, `a savoir la diff´erence de pression de part et d’autre de l’interface liquide-vapeur Pi− Pe, la pression de Laplace 2γ/Rb et les forces li´ees `

a la viscosit´e 4η ˙Rb/Rb qui absorbent une partie de l’´energie mise en jeu. Notons que la viscosit´e qui intervient ici correspond au cisaillement dans le liquide, contre lequel s’exercent les forces engendr´ees par le mouvement de la bulle [101].

Mod´eliser la dynamique des nanobulles par l’´equation (69) pr´esente une difficult´e majeure, qui consiste `a trouver une expression pour les pressions dans la vapeur et dans le liquide refl´etant leur comportement temporel. Sur la base des r´esultats de simulation d´ecrits dans les paragraphes pr´ec´edents, nous choisissons pour Pi et Pe les expressions suivantes: Pi(t) = Pi^max  R3 b,max− R3 np Rb³(t) − R3 np ζ (70) Pe(t) = P∞ 

xmax+xeffondrement− xmax

teffondrement− tmax (t − tmax)

(71)

Avec l’expression (70), la pression `a l’int´erieur de la vapeur est directement reli´ee `a la pression Pmax

i au rayon maximum Rb,max, ces deux donn´ees ´etant connues `a partir des r´esultats de simulation. On suppose que Pi d´epend `a chaque instant du volume de la bulle et l’exposant ζ permet de sp´ecifier le type d’´evolution thermodynamique subie par la vapeur.

L’expression (71) fait intervenir une d´ependance lin´eaire de la pression ext´erieure par rapport au temps. xmax et xeffondrement sont deux param`etres adimensionn´es donnant le rapport Pe/P∞ aux instants tmax et teffondrement. Il s’agit du moyen le plus simple de consid´erer la variation de la pression dans le liquide, en conservant une ´evolution temporelle coh´erente avec les r´esultats de simulations. La difficult´e pour l’´evaluation de la pression ext´erieure `a la bulle consiste `a d´efinir l’endroit o`u elle doit ˆetre relev´ee dans les r´esultats de simulations. En effet, l’interface liquide-vapeur dans notre mod`ele ne constitue pas une fronti`ere bien d´elimit´ee entre les deux phases mais poss`ede une extension spatiale.

`

A partir de ces expressions, nous pouvons utiliser l’´equation de Rayleigh-Plesset pour reproduire l’´evolution temporelle du rayon des nanobulles obtenue par les simulations. Les param`etres ajustables sont le coefficient ζ et les rapports de pression ext´erieure xmax

et xeffondrement. Ce faisant, nous pouvons ´etablir l’importance relative des diff´erents termes de l’´equation (69) et en d´eduire l’origine de l’asym´etrie observ´ee sur le rayon des bulles.

Les premiers essais que nous avons effectu´es ont montr´e qu’il est impossible de d´ecrire les r´esultats de simulation par l’´equation de Rayleigh-Plesset en prenant une valeur du coefficient ζ identique lors de la croissance et de l’effondrement. Pour lever cette difficult´e, nous nous sommes tourn´es vers un jeu de deux param`etres ζcroissance= 5/3 et ζeffondrement= 1, qui nous a permis de reproduire les profils obtenus par les simulations. Les valeurs employ´ees pour ces deux coefficients d´efinissent un comportement particulier pour la vapeur:

• ζcroissance = 5/3 correspond `a une bulle de vapeur dont la croissance est adiaba-tique, dans laquelle la conduction thermique n’a pas le temps de s’´etablir. Ceci peut ˆetre mis en relation avec la dur´ee tr`es courte de la croissance.

• ζeffondrement = 1 signifie que l’effondrement est isotherme. Lorsque la bulle at-teint son rayon maximum, les transferts thermiques de la vapeur vers le liquide deviennent efficaces.

En toute rigueur, Il faut remarquer que ces deux valeurs ne donnent qu’un aper¸cu du comportement de la bulle selon un mod`ele simplifi´e. Cependant, ce comporte-ment g´en´eral et la distinction n´ecessaire entre les deux phases de la dynamique permet d’expliquer l’asym´etrie. Notons ´egalement qu’en toute rigueur l’exposant adiabatique ζ = Cp/Cv devrait valoir entre 7/5 et 9/7 car l’eau est une mol´ecule triatomique. Cependant le mod`ele tel que nous l’avons ´etabli consid`ere une ´energie libre ne prenant en compte que les degr´es de libert´e de translation du fluide et n´eglige les degr´es de libert´e de rotation des mol´ecules. Par cons´equent, l’eau telle que nous l’avons mod´elis´ee se comporte comme un fluide monoatomique et son coefficient adiabatique vaut 5/3.

Il est essentiel de souligner que nous avons fait varier les deux autres param`etres d’ajustement, xmax et xeffondrement, sur une large gamme de valeurs, en conservant tou-jours la propri´et´e xmax ≤ xeffondrement observ´ee dans les r´esultats de simulations (voir figure 51). Toutefois, quelles que soient les valeurs prises pour xmax et xeffondrement, la combinaison adiabatique-isotherme est celle qui permet d’approcher au plus pr`es des r´esultats de simulations.

Les param`etres d’ajustement donnant les meilleurs r´esultats figurent dans le tableau 6 et le trac´e obtenu avec ces ajustements est visible sur la figure 53.

Des valeurs num´eriques pr´esent´es dans le tableau 6, on peut remarquer en premier lieu que la pression dans le liquide est n´egative, ce qui est bien coh´erent avec les r´esultats de simulation (voir pour cela la figure 51). Ce tableau donne en outre la diff´erence de pression lorsque la bulle atteint son rayon maximum ΔPmax= Pe,max− Pi,max, dont on voit qu’elle est inf´erieure `a la pression de Laplace 2γ/Rb,max. Ceci empˆeche la formation

Fluence Pmax

i /P∞ xmax xeffondrement ΔPmax 2γ/Rmax

(J/m²) (MPa) (MPa)

162 9, 27 −4, 59 8, 51 7, 06 10, 70 271 6, 92 −4, 56 4, 9 5, 86 9, 59

Tableau 6: Param`etres permettant de reproduire les r´esultats de simulations (figure 53) par l’´equation de Rayleigh-Plesset (69), pour une particule de rayon Rnp= 10 nm.

de nanobulles stables. N´eanmoins, la pression de Laplace est d´epass´ee aux premiers in-stants de la croissance des bulles, comme on peut le voir sur la figure 55.

Finalement, nous pouvons estimer l’importance relative des diff´erents termes inter-venant dans la dynamique des nanobulles en ´evaluant l’´energie totale mise en jeu au cours de la croissance: EP = 4π _tmax 0 (Pi(t) − Pe(t)) R²b(t) ˙Rb(t) dt = 8, 06 10⁻¹⁷ J ELaplace = 4π t_max 0 2γRb(t) ˙Rb(t) dt = 8, 29 10⁻¹⁷ J EVisc = 4π _tmax 0 4ηRb(t) ˙Rb 2 (t) dt = 9, 68 10⁻¹⁷ J (72)

o`u les valeurs num´eriques correspondent au cas F=271 J/m². L’estimation de ces ´

energies montre l’importance des termes visqueux lors de la croissance.

Quand la bulle atteint son rayon maximum, l’´energie initialement stock´ee dans la vapeur sous la forme d’une surpression est contrebalanc´ee par le travail de la pression de Laplace. Simultan´ement le cisaillement visqueux dissipe l’´energie. Ce processus est pr´epond´erant dans le bilan ´energ´etique de la croissance. L’importance des effets visqueux peut ˆetre estim´ee par l’´evaluation du nombre de Reynolds durant la croissance de la bulle:

Re = ^mρliqvcroissance(Rmax− Rnp)

η ⁽⁷³⁾

= mρliq(Rmax− Rnp)² ηΔtcroissance

o`u vcroissance est la vitesse moyenne de croissance de la bulle. L’´evaluation de Re donne 0,144 dans le cas F = 162 J/m2

et 0,226 pour F = 271 J/m2, ce qui confirme l’importance des effets visqueux. Le mˆeme calcul pour l’effondrement donne 0,069 et 0,096 respectivement, soulignant l’effet de la viscosit´e sur l’asym´etrie.

100 200 300 400

t (ps)

P/P

de la bulle ^Effondrementde la bulle

Figure 55: ´Evolution temporelle des termes contrˆolant la dynamique des nanobulles dans l’´equation de Rayleigh-Plesset (69). Ici Rnp = 10 nm et F = 271 J/m². On utilise ici vb pour la vitesse de l’interface liquide-vapeur ˙Rb. L’encart montre l’´evolution de la pression dans la vapeur et dans le liquide.