Dynamique du fluide

a l’interface liquide-vapeur. Il nous faut `a pr´esent consid´erer la dynamique au sein du fluide.

II.1.3 Dynamique du fluide

La m´ethode num´erique que nous avons employ´ee repose sur une description de milieux continus qui implique la variation locale des param`etres thermodynamiques du fluide. Ce mod`ele est coupl´e aux ´equations de conservation de la masse, de la quantit´e de mouvement et de l’´energie, qui donnent un jeu de trois ´equations que nous r´esolvons par la m´ethode des diff´erences finies. Ce jeu d’´equations s’´ecrit:

∂ρ ∂t ⁼ −∇ · (ρv) (28) mρ  ∂v ∂t ^{+ (v ·}∇)v  = −∇ · (P − D) − mρ∇Uext mρcv  ∂T ∂t ^{+ v ·}∇T  = −l∇ · v + ∇ · Jth+ D :∇v o`u:

• ρ, v et T sont, respectivement, la densit´e mol´eculaire, le champ vectoriel de vitesse et le champ scalaire de temp´erature au sein du fluide.

• m est la masse d’une mol´ecule de fluide.

• D et P sont les tenseurs de contraintes dissipatives et de pression respectivement. • Uextd´ecrit un potentiel d’interaction avec un champ ext´erieur, d’origine ´electrique, magn´etique ou de pesanteur par exemple. Dans notre cas, compte tenu des ´echelles de longueur submicroniques ´etudi´ees, on prendra Uext= 0.

• cv et λ sont la capacit´e thermique massique et la conductivit´e thermique du fluide. • l = T^∂P

∂T



ρest le coefficient de Clapeyron, correspondant `a la chaleur latente de dilatation.

• Jth = λ∇T est le flux de chaleur transport´e par conduction.

• Le symbole ”:” repr´esente un produit dyadique. Le terme D : ∇v correspond `a l’´echauffement du fluide par action de la viscosit´e, dont le d´etail de l’expression est donn´e en annexe page 211.

Les termes de droite de l’´equation d’´evolution de la temp´erature repr´esentent la puissance des forces conservatives et la chaleur dissip´ee au sein du fluide. Cette ´equation est d´eduite de la conservation de l’´energie selon le raisonnement d´etaill´e en annexe page 207: ρm  ∂e ∂t ^{+ v ·}∇e  = δw δt ⁺ δQ δt ⁽²⁹⁾

o`u e correspond `a la densit´e d’´energie totale du syst`eme e = ecin+ u, somme d’un terme d’´energie cin´etique et d’un terme d’´energie interne. Sa variation est reli´ee dans cette ´

equation `a la puissance des forces conservatives ^δw

δt et `a la chaleur dissip´ee par unit´e de temps ^δQ_δt.

Le tenseur de contraintes dissipative D rend compte des effets visqueux lors de l’´ecoulement. Il s’´ecrit: D_αβ = η  ∂αvβ+ ∂βvα−² 3 ∇ · v δ αβ  + μ ∇ · v δαβ (30)

Son expression en coordonn´ees sph´eriques et cylindriques est donn´ee en annexe aux pages 209 et 212 respectivement. Nous supposons que les viscosit´es de cisaillement η et de bulk μ dans le syst`eme d’´equation (30) sont li´ees par: μ  5η/3 [96], relation valide pour un liquide de sph`eres dures. Les param`etres thermophysiques et de transport de l’eau liquide `a 300 K et `a pression atmosph´erique sont recens´es dans le tableau 3, ainsi que la tension superficielle liquide-vapeur de l’eau γ.

Densit´e c_v λ η l γ

kg/m³ kJ/kg/K W/m/K Pa.s K J/m²

997,10 4,13 0,606 8,98 10−4 _{5.4 10}8 72,0 10−3

2,22 10−2 _{1,44 0,019 9,9 10}−6 ₆₈₈₁

Tableau 3: Param`etres thermophysiques de l’eau liquide (ligne sup´erieure) et vapeur (ligne inf´erieure) `a 300 K.

La densit´e ρ dans le syst`eme d’´equation (28) est un champ pouvant subir de large variations spatiales, qui induisent une variation des param`etres thermophysiques. Pour en tenir compte et dans un souci de simplicit´e, notre choix s’est port´e sur une relation lin´eaire de ces param`etres avec la densit´e. Ainsi, pour la viscosit´e de cisaillement, nous prenons:

η(r) = ηvap+ρ(r) − ρvap

ρliq− ρvap (ηliq− ηvap) (31) o`u les indices ”vap” et ”liq” font r´ef´erence aux valeurs `a la densit´e de saturation `a 300 K, pour le liquide et la vapeur respectivement. Ces valeurs figurent dans le tableau 3 `a 300 K.

Le tenseur des pressions P peut ˆetre reli´e `a la fonctionnelle de la densit´e F[ρ(r)] par:  ∇ · P = ρ∇  δF[ρ(r)] δρ  (32)

Le d´etail du calcul menant `a cette expression est donn´e en annexe `a la page 214. Ce tenseur se d´ecompose donc, comme d´ecrit en annexe page 215, en un terme de volume et un terme qui prend en compte les effets interfaciaux. Il s’´ecrit:

Pα,β=

PVdW− wρρ + ^w

2⁽∇ρ)2

δαβ + w∂αρ∂βρ (33) o`u PVdW est la pression d´eriv´ee de l’´equation d’´etat de van der Waals (19) qui d´ecrit l’´etat thermodynamique local du fluide. Dans une phase homog`ene, donc loin des in-terfaces, le tenseur de pression est diagonal: P = PVdWI, I ´etant la matrice unit´e. `A l’inverse, pr`es des interfaces, la pression est anisotrope. Cette anisotropie est reli´ee `a la tension superficielle. Ainsi, si l’on consid`ere une interface plane port´ee par les axes (x,

y) en coordonn´ees cart´esiennes, on peut ´ecrire

γ = _∞

−∞(Pzz− Pxx) dz (34)

o`u l’on a fait intervenir la composante normale Pzz et la composante tangentielle Pxx = Pyy du tenseur de pression. Les ´equations (34) et (22) sont analogues, comme on peut le voir en rempla¸cant dans la seconde le terme dans l’int´egrale par l’expression du gradient donn´ee par l’´equation (21).

Le coefficient de Clapeyron s’´ecrit:

l = T  ∂PVdW ∂T  ρ (35)

C’est le seul param`etre thermophysique pour lequel, en plus de la d´ependance lin´eaire en densit´e, nous avons tenu compte d’une d´ependance en temp´erature. En effet, l subit d’importantes variations avec la temp´erature. Pour cela, nous avons consid´er´e la relation suivante entre l, la densit´e ρ et la temp´erature T :

l(ρ, T ) = lvap(T ) +^{ρ(r) − ρvap}

ρliq− ρvap (lliq(T ) − lvap(T )) (36) Dans l’´equation (36), lliq(T ) et lvap(T ) sont les valeurs de r´ef´erence du coefficient de Clapeyron `a une temp´erature T donn´ee, au sein du liquide et de la vapeur de den-sit´es respectives ρliq et ρvap. La variation de lliq(T ) et lvap(T ) avec la temp´erature est repr´esent´ee sur la figure 33. On y voit notamment la tr`es forte diminution du coefficient de Clapeyron lors de la transition du liquide vers la vapeur et ce quelle que soit la temp´erature, mais ´egalement que dans chacune des phases l prend des valeurs variant du simple au triple avec la temp´erature.

Pour obtenir les valeurs de lliq(T ) et lvap(T ) donn´ees ici, nous avons trac´e les deux courbes P (ρliq) = f (T ) et P (ρvap) = f (T ) `a partir des valeurs fournies par le NIST [97]. Soulignons que ces deux courbes sont obtenues en ne faisant varier que la temp´erature, les deux densit´es consid´er´ees ´etant les densit´es de saturation `a 300 K du liquide et de la vapeur. Nous avons ensuite interpol´e chacune de ces courbes par une fonction poly-nomiale, que nous avons ensuite d´eriv´ee.

L’´echauffement du fluide menant `a la production ´eventuelle d’une nanobulle de vapeur est dˆu aux flux thermiques provenant de la nanoparticule, elle-mˆeme chauff´ee par le pulse laser. Dans la partie suivante, nous compl´etons notre mod`ele par la description de la nanoparticule et des couplages entre cette derni`ere et le fluide.