Effet de la rotation sur les contraintes de Reynolds

Afin d’appuyer l’interprétation des résultats des simulations, il est possible de discuter la manière dont la rotation affecte les composantes des contraintes de Reynolds. Pour ces quantités, l’équation de transport s’écrit :

Bu1 iu1j Bt ` Uk Bu1 iu1j Bxk “

P

ij ` Πij ´ ǫij `

D

ij `

C

ij. (4.17)

Les termes sur le coté droit de l’équation représentent de gauche à droite la produc- tion de cisaillement, la pression-tension, la dissipation, la diffusion et les effets de Coriolis. Dans ce contexte, les termes de production de cisaillement et de Coriolis sont définis par :

P

_{ij “ u}1 iu1m BUj Bxm ´ u1 ju1m BUi Bxm , (4.18)

C

_{ij “ ´2Ωkpu}1 iu1mǫmjk´ ǫimku1mu1jq. (4.19)

En écrivant les composants de ces tenseurs dans le cas d’un écoulement pleinement développé où U “ Upyq, les seuls termes restants sont :

P

11 “ ´2u1v1 dU dy , (4.20)

P

_{12“ ´v}12dU dy , (4.21)

C

11“ 4Ωu1v1 , (4.22)

C

_{22 “ ´4Ωu}1_v1 _{, (4.23)}

C

_{12 “ ´2Ωpu}12_{´ v}12_{q. (4.24)}

D’après les équations ci-dessus, il est visible qu’il n’y a pas de composants

P

_{22 et}

P

33 et donc pas de production directe au travers de v12 ou w12. Ils sont en revanche

présents dans l’écoulement du fait du transfert d’énergie par les interactions pression- tension. Dans un cas statique, il est connu que u1_v1 _{a un signe opposé à} dU

dy assurant

la positivité de

P

_{11 dans l’ensemble du domaine [94]. De plus, comme} dU

dy est du signe

opposé à la coordonnée y,

P

12 a toujours le même signe que y.

Dans le cas d’une rotation positive, le coté déstabilisé (en pression) est sur la paroi inférieure, là où y ă 0 et le côté stabilisé (en dépression) est sur la paroi supérieure là où y ą 0. Il peut être déduit d’après les signes des composantes des contraintes de Reynolds qu’augmenter la rotation positive diminue directement u12 _{et augmente v}12 _sur

le coté déstabilisé. Les effets sont inversés sur le coté stabilisé. Il est aussi attendu que le terme

C

_{12 diminue u}1_v1 _{dans l’ensemble du domaine en faisant l’hypothèse u}12 _{ą v}12_,

ce qui normalement est le cas. La rotation a toutefois plusieurs effets indirects du fait des relations croisées. Par exemple, la rotation induit une réduction de v12 _{sur le coté}

stabilisé qui réduit davantage la production de cisaillement

P

_{12 ainsi que le terme de}

Coriolis

C

_{12. Du fait de ces relations croisées complexes, ce genre d’examen ne peut pas}

donner une image complète du comportement des contraintes de Reynolds, spécialement à de forte vitesses de rotation. Il peut toutefois donner un aperçu préliminaire sur les tendances attendues.

4.1.5

Écoulements secondaires

L’écoulement dans un canal suit une direction dominante, celle de l’axe principal du canal, de l’entrée vers la sortie. Cependant certaines structures peuvent ne pas être arrangées dans cette direction, constituant alors des écoulements secondaires. Des écoulements secondaires générés par les parois latérales associées aux perturbateurs dans un canal statique ont été mises en évidence dans le chapitre 3. La mise en rotation du canal en- gendre d’autres écoulements secondaires, non présents dans un canal statique, notamment du fait de la présence des forces de Coriolis présentées précédemment. Cette section est donc consacrée à une brève revue de l’état de l’art sur la compréhension de ces écoule- ments secondaires en canal tournant.

Cellules induites par les forces de Coriolis

Pour les canaux d’intérêt, la présence de parois latérales parallèles au plan xy cause une variation du profil de vitesse axiale comme on peut l’observer en Fig. 4.4. Malgré cela, le gradient de pression transverse reste essentiellement uniforme sur la largeur du canal. Ainsi proche de la paroi latérale, la magnitude de la vitesse axiale est réduite et la force de Coriolis (2Ω ˆ U) n’est plus suffisante pour contre-balancer localement le gradient de pression. La conséquence est la génération d’écoulements secondaires. Ces écoulements secondaires sont associés à la génération de vorticité axiale (ωx). L’origine de cette vor-

ticité peut être comprise en analysant l’équation de vorticité laminaire dans un référentiel tournant : dÝÑω dt “ ´ Ý Ñ_{ω ` 2</sub>ÝÑΩ¯<sub>¨ ▽Ý</sub>Ñ<sub>u ` ν▽}2ÑÝ ω . (4.25)

Ici le vecteur rotation (Ω) n’a qu’une seule composante, l’équation de vorticité dans la direction x devient donc :

Figure 4.4 – Génération d’écoulement secondaire dans un canal en rotation. dωx dt “ ωx BU Bx ` ωy BU By ` pωz` Ωzq BU Bz ` ν ˆ B2 ωx Bx2 ` B2 ωx By2 ` B2 ωx Bz2 ˙ (4.26)

Si l’analyse se limite à la région proche de la paroi latérale, là où l’écoulement sec- ondaire est généré, l’Eq. (4.26) se réduit à,

dωx

dt “ Ωz BU

Bz . (4.27)

Cette expression montre que la vorticité axiale, aussi appelée vorticité d’Ekman, est générée par la rotation des lignes de vorticité qui sont alignées suivant la direction z. Pour cette raison la région où les écoulements secondaires sont générés est communément appelée la couche d’Ekman. L’épaisseur de cette couche est fonction des nombres de Reynolds et de rotation. La présence de ces écoulements secondaires proche des parois latérales est possible à des nombres de rotation très faible. Ces cellules tournantes in- duites par les parois et les forces de Coriolis sont observées au niveaux des parois latérales proche du coté en dépression.

Cellules de Görtler

La mise en rotation de l’écoulement ne génère pas seulement les structure induites par les forces de Coriolis. Un deuxième type de cellules tournantes longitudinales appelées

cellules de Görtler [153] est également reporté, mais cette fois uniquement sur le coté en pression. Ces cellules sont générées par un mécanisme d’instabilité centrifuge découvert par Rayleigh [147]. Expérimentalement, la première observation des cellules de Görtler a été faite par Johnston et al. [81] lorsqu’ils ont remarqué des structures axiales à grandes échelles proches de la paroi en pression d’un canal en rotation. Les auteurs observent que le motif des cellules semble être stationnaire, dans le sens où la période temporelle sur laquelle le motif persiste est longue par rapport à l’échelle de temps relative à la turbulence. Lezius et al. [102] ont utilisé plus tard un modèle d’écoulement turbulent à deux couches pour estimer le nombre de rotation critique nécessaire pour générer ces cellules tournantes instables. Leurs études ont montré que dans des écoulements pleine- ment turbulents (Re ą 6000) la présence de ces cellules tournantes est indépendante du nombre de Reynolds et elles commencent à apparaitre pour des nombre de rotation faibles approchant Ro « 0.02.

Les cellules de Görtler apparaissent sous la forme de paires de vortex longitudinaux contra-rotatifs. Ces vortex évacuent les particules fluides du coté en pression du canal en- tre les membres positifs et négatifs de chaque paire et à l’opposé elles dirigent l’écoulement vers le coté en pression entre les paires contra-rotatives, Fig. 4.5. Ce transport a un effet notable sur la vitesse axiale et l’activité turbulente dans le canal. Les données provenant de DNS réalisées par Kristoffersen et al. [94] montrent que le nombre de paires de vortex doit être un nombre entier N. En faisant l’hypothèse que ces vortex sont circulaires et qu’ils occupent la moitié de la section de passage, il est possible d’estimer le nombre de paires de vortex dans le canal par :

N “ int ˆ H b ˙ . (4.28)

H{b est le ratio d’aspect du canal. La forme et la taille de ces cellules tournantes peu- vent toutefois varier en fonction des nombres de Reynolds et de rotation. Généralement, le nombre de paires de vortex tend à augmenter avec Ro et la longueur d’onde d’une paire de cellules tournantes approche b à forte vitesse de rotation (Ro « 0.2). Le ratio d’aspect du canal est donc un autre paramètre affectant la longueur d’onde des vortex et peut même dans certains cas empêcher leur formation.

Lorsque la vitesse de rotation du canal augmente encore (Ro ą 0.5), l’écoulement se re-stabilise. La conséquence directe est une diminution de l’intensité turbulente proche de la paroi en pression et la disparition de toutes les cellules tournantes. Ce phénomène a été prédit par l’analyse du déplacement de particules par Tritton [166]. Son étude démontre que l’écoulement est stabilisé partout dans le canal à des vitesses de rotation telles que |S| “ ´2Ω{ωz ą 1. Même si l’hypothèse d’un écoulement non visqueux est

ici nécessaire, il est raisonnable de supposer que dans le cas d’un écoulement visqueux, la re-stabilisation va être présente à des vitesses de rotation inférieures à celles prédites

Figure 4.5 – Cellules tournantes secondaires dans un canal en rotation. Gris clair : ωx ą 0;

Gris foncé : ωx ă 0.

théoriquement.

Dans le document Simulations des grandes échelles pour la prédiction des écoulements de refroidissement des pales de turbines (Page 125-130)