2.2 Simulation numérique des écoulements turbulents
2.2.2 Les équations de la SGE
Dans le cadre de cette thèse on s’intéresse aux équations de Navier-Stokes compressibles sans termes sources chimiques ou radiatifs [136, 139] :
$ ’ ’ & ’ ’ % pM asseq BρBt `Bpρujq Bxj “ 0, pM omentq Bρui Bt ` Bpρuiujq Bxj “ ´ B BxjrP δij ´ τijs,
pEnergieq BρEBt `BpρEujq
Bxj “ ´
B
BxjruipP δij ´ τijq ` qjs,
(2.10)
avec δij le symbole de Kronecker, P la pression, ui la composante de la vitesse dans la
direction i, E l’énergie totale, ρ la masse volumique du fluide, µ la viscosité dynamique du fluide, qj le flux de chaleur, τij le tenseur des contraintes visqueuses défini par :
τij “ ´ 2 3µ Buk Bxk δij` µ ˆ Bui Bxj ` Buj Bxi ˙ . (2.11)
Le flux de chaleur qj est exprimé via la loi de Fourier :
qj “ λ
BT Bxj
, (2.12)
où λ est la conductivité thermique du milieu et T la température.
Lors des calculs effectués durant cette thèse, l’hypothèse des gaz parfait est utilisée et donc la loi d’état associée est :
P “ ρRT, (2.13)
avec P la pression du gaz considéré, T sa température, ρ sa masse volumique et R la constante des gaz parfaits.
Filtrage
En SGE on ne réalise pas une moyenne des grandeurs comme en RANS mais on effectue un filtrage spatial des équations, c’est-à-dire qu’on résout seulement les grandes échelles et on modélise les plus petites. On obtient donc :
f “ sf` f1, (2.14)
avec sf la grandeur filtrée et donc résolue et f1 la grandeur de sous-maille qui sera mod-
élisée.
Ce filtrage spatial est en théorie le produit de convolution avec la variable f et un filtre passe bas en espace (filtre boite, filtre Gaussien, filtre porte...). En pratique, et c’est le cas dans le code AVBP, la taille caractéristique de filtrage est donnée implicitement par la taille de maille.
Pour les écoulements à densité ρ variable, on introduit le filtrage pondéré par la masse volumique, noté rf, par analogie avec la moyenne de Favre [151] :
s
ρ rf “ Ďρf . (2.15)
En appliquant ce filtre aux équations de Navier-Stokes (Eq. 2.10), on obtient les équations de conservation de la SGE ou encore équations de Navier-Stokes filtrées :
$ ’ ’ & ’ ’ % pM asseq B ¯Btρ`Bp¯ρuĂjq Bxj “ 0, pM omentq B ¯ρĂui Bt ` B Bxjpρsuriurjq ` B sP Bxj “ B BxirĂτij´ρpsuĄiuj ´uriurjqs, pEnergieq B ¯ρBtrE `Bp¯ρ rEĂujq Bxj “ ´ B Bxjrurip sP δij´Ăτijq ´ρpĄsuiE´uriEq `r qrjs. (2.16)
Le filtrage fait apparaitre des termes non fermés dans les équations de moment et d’énergie. Il est donc nécessaire de les modéliser. On utilise usuellement l’hypothèse de Boussinesq qui relie le terme non fermé de quantité de mouvement au tenseur du taux de déformation et à une viscosité turbulente νt :
puĄiuj´uriurjq “ ´νt ˆ B ¯ui Bxj ` B ¯uj Bxi ˙ . (2.17)
Pour l’équation d’énergie, le terme non fermé est exprimé en introduisant une con- ductivité thermique turbulente λt :
pρĄuiE´uriEq “ λr t B rT Bxi , (2.18) avec λt = ρνtCĎp
P rt où ĎCp est la capacité calorifique du fluide et P rt est le nombre de Prandtl
νt sur la diffusivité thermique turbulente αt = ρCpλt . Pour l’ensemble des calculs AVBP
réalisés dans ces travaux, P rt “ 0.6. Il s’agit donc désormais de déterminer la viscosité
turbulente νt.
Viscosité de sous-maille
Un nombre important de modèles de sous-maille sont disponibles dans la littérature pour la SGE. La plupart sont basés sur la modélisation du tenseur de Reynolds par l’approximation de Boussinesq. L’approche utilisée va en revanche affecter la physique et des propriétés sont désirables pour de tels modèles comme :
• Permettre des phénomènes de rétro-diffusion (1).
• Avoir certaines adaptations locales dépendantes du problème (2).
Le phénomène de rétro-diffusion (1) est le procédé par lequel les petites échelles dans un écoulement turbulent fournissent de l’énergie aux échelles plus grandes. Germano [55] a par exemple travaillé sur l’intégration de ce phénomène dans la modélisastion de sous- maille car la rétro-diffusion est problématique pour les modèles basés sur l’approximation de Boussinesq. La prise en compte de la rétro-diffusion implique l’ajout d’un terme anti-diffusif qui déstabilise la simulation. La plupart des modèles de sous-mailles ne prennent pas en compte la rétro-diffusion car le transfert d’énergie se fait principalement des grandes échelles vers les petites, le contraire étant un effet du second ordre. Dans ce cas, Nicoud et al. [131] définissent différentes propriétés additionnelles (2) désirables dans le contexte de modèles basés sur l’approximation de Boussinesq. Ces propriétés sont :
• Propriété P0 : La valeur de la viscosité turbulente ne doit pas pouvoir prendre une valeur négative. Afin de garantir une robustesse numérique, cette valeur doit toujours être positive et est donc un opérateur purement diffusif.
• Propriété P1 : La viscosité turbulente doit avoir un comportement asymptotique spécifique proche des parois, c’est-à-dire qu’elle disparait à la paroi. Du fait des contraintes physiques imposées par la paroi, comme les contraintes de non glisse- ment et d’imperméabilité, cette relation doit être de la forme py`q3
où y`représente
la distance normale à la paroi comme dans Chapman et Kuhn [20]. Cette propriété est particulièrement importante dans le cadre de SGE résolues à la paroi.
• Propriété P2 : La valeur de la viscosité turbulente doit être nulle lorsque l’écoulement est en deux dimensions. En effet, lorsque l’écoulement est quasi 2D, l’évolution des fluctuations de l’activité turbulente induit tout de même des composantes 3D. De la même manière, il est nécessaire de désactiver le modèle dans des situations comme le cisaillement pur ou la rotation.
• Propriété P3 : La viscosité turbulente ne doit pas être active dans des cas d’écoulements isentropiques ou axi-symétriques. Comme pour la propriété P2 précédente, ces cas de figures ne sont pas associés à des phénomènes de nature turbulente et donc, ne doivent pas activer le modèle de sous-maille.
Les modèles de sous-maille retenus permettent donc d’exprimer la viscosité turbulente et les expressions des modèles les plus couramment utilisés avec AVBP et YALES2 sont décrits ci-dessous.
Smagorinsky : Le modèle le plus connu est le modèle développé initialement par Smagorinsky [161]. La définition de νt est :
νt“ pCS∆q
2b
2SrijSrij, (2.19)
avec ∆ la longueur caractéristique du filtre et CS une constante du modèle pouvant varier
entre 0.1 et 0.18 en fonction de la configuration de l’écoulement. Si cette formulation est juste dans le cadre de turbulence homogène isotrope, elle ne l’est pas pour des écoule- ments proche paroi car elle a un mauvais comportement en présence de fort cisaillement. Cette formulation est également connue pour être trop dissipative et son application doit être limitée [151].
Afin d’adresser entre autre la problématique du mauvais comportement proche parois, une formulation dynamique de ce modèle a été développé par Germano et al. [55]. Le coefficient CS est alors obtenu dans la simulation et non plus défini par l’utilisateur.
L’expression de CS suit la formulation de Lilly [104]. A noter qu’il peut être nécessaire
de rogner CS pour que le coefficient ne soit pas négatif.
WALE (Wall Adapting Local Eddy-viscosity) : Le modèle qui a été utilisé durant cette thèse est le modèle WALE [130]. Ce modèle est conçu pour avoir un comportement juste au niveau de la paroi sans ajustement de constante, c’est-à-dire que la viscosité turbulente tend vers 0 en paroi en respectant νt α py`q
3
, propriété P1. Le terme de viscosité turbulente suit l’expression :
νt“ pCw∆q 2 pS d ijSijdq 3{2 pSijSijq5{2` pSijdSijdq 5{4, (2.20) avec Sij “ 1 2pgij ` gjiq, gji “ B ˜ui Bxj, S d ij “ 1 2pgikgkj ` gjkgkiq ´ 1 3gkigik δij et Cw “ 0.4929.
Sigma : Le modèle Sigma a également été développé par Nicoud et al. [131]. Sa con- struction est très similaire au modèle WALE, mais à la place d’utiliser le tenseur de déformation, les valeurs singulières du tenseur de gradient de vitesse sont utilisées. La viscosité turbulente s’écrit alors :
νt“ pCσ∆q 2
Dσ, (2.21)
avec Cσ une constante égale à 1.5 et
Dσ “
σ3pσ1´ σ2qpσ2´ σ3q
σ2 1