Description de la stratégie de modélisation

Un jeu de données couplées très important a été mesuré sur le banc d’essais. D’une part, l’écoulement instationnaire interne a été observé sur différentes sections transversales au moyen des mesures Stéréo-PIV à basse-fréquence d’échantillonnage ; de manière simul- tanée, des mesures de pression de paroi et de vibration à haute fréquence ont pu constituer une base de données présentant bonne résolution temporelle. La stratégie déve loppée pour la construction d’une relation capable de restituer la dynamique des champs des vitesses à partir des données mesurées sur les parois du banc d’essais est détaillée par la suite.

Dans un premier temps, l’approche adoptée consistait à obtenir une base orthogo- nale réduite contenant les vecteurs propres de l’écoulement ainsi que les coefficients tem- porels décrivant sa dynamique. Ensuite, les signaux de pression de paroi mesurés par le s différents capteurs étaient rassemblés et organisés dans la matrice des prédicteurs, selon le nombre de capteurs et le nombre de retards qu’on souhaite utiliser. Cette matrice alimentait

ainsi une fonction du type Estimation Stochastique ou Régression dont la sortie était cons- tituée d’un ensemble de coefficients reliant les variables prédictives aux variables estimées. Afin de réduire l’ordre de grandeur du problème, les coefficients temporels de la POD ont été choisis comme variables que l’on souhaite décrire.

Finalement, des champs de vitesse étaient estimés employant les coefficients ob- tenus par la méthode décrite ci-dessus et ensuite comparés aux champs mesurés correspon- dants ; cela a permis d’évaluer la qualité de la stratégie de modélisation. Les différentes étapes d’obtention de ce modèle sont décrites par la suite.

6.1.1.1 Décomposition de l’écoulement sur une section transversale

La POD permet d’obtenir une base orthogonale de modes décrivant de manière simplifié l’écoulement mesuré dans le conduit. Les mesures Stéréo-PIV ont été réalisées sur 4 sections transversales différentes situées en amont et aval du coude ; plusieurs confi- gurations d’essais, représentant différentes vitesses débitantes et grilles de contrôle de tur- bulence ont été étudiées. Pour simplifier l’analyse qui va suivre, nous nous concentrons sur les données mesurées pour une vitesse débitante 𝑈₀= 2 𝑚/𝑠 et Grille 1, et la section trans- versale prise en compte sera toujours la Section 0D. Finalement, vis -à-vis de la représenta- tion de l’écoulement interne, nous nous concentrons sur les fluctuations de vitesse mesurées dans la direction axiale, qui seront désormais simplement désignées par 𝑢 pour alléger la notation.

Sur la Section 0D un total de 𝑁 = 1000 champs de vitesse a été mesuré dans les conditions d’essais décrites ci-dessus. La décomposition de ces champs a ainsi produit 1000 modes POD, dont un nombre réduit sera retenu à chaque fois (𝑁𝑃𝑂𝐷< 𝑁) ; l’évolution tem- porelle de chaque mode 𝑛 est décrite par une série de coefficients 𝑎(𝑛)(𝑡), avec, 𝑛 = 1, … , 𝑁, tandis que la déformée modale associée à chacun est représentée par le vecteur propre 𝝓(𝑛)(𝒙). La Figure 6.1illustre de manière schématique l’application de la POD aux champs des vitesses considérés.

Figure 6.1 - Vue schématique de la réalisation de la POD sur les champs des vitesses axiales mesurés sur la Section 0D avec U0 = 2 m/s et Grille 1. La flèche bleue indique le sens de l’écoulement.

6.1.1.2 Définition de l’ensemble de données prédictives

Les relations que nous cherchons à établir sont du type 𝒀 = 𝑿𝒃, où 𝒃 est une ma- trice contenant les coefficients qui relient les prédicteurs rassemblés dans la matrice 𝑿 aux variables modélisées. La qualité de l’estimation des variables comprises par la matrice 𝒀 dépend des niveaux de corrélation existants entre les prédicteurs choisis et les variables à estimer. Pour cette raison, seulement les signaux de pression mesurés sur le banc d’essais ont été retenus afin de constituer la matrice des prédicteurs du modèle présenté. En effet, les mesures de vibration sont moins corrélées avec la dynamique de l’écoulement puisqu’un transfert supplémentaire s’introduit entre les deux grandeurs, celui correspondant aux modes mécaniques de la structure.

Un total de 6 capteurs de pression a réalisé des mesures de pression simultanément aux mesures SPIV sur la Section 0D. Pour cette raison, 𝑀 = 1, … ,6 signaux différents ont pu constituer la matrice des prédicteurs de notre modèle. En outre, des nombreux retards 𝜏 ont pu être imposés aux signaux de pression par rapport à l’instant 𝑡 des mesures des champs des vitesses. Nous considérons à chaque fois un nombre symétrique de retards positifs et négatifs, avec −𝛽 ≤ 𝜏 ≤ 𝛽. Finalement, la matrice 𝑿 est constituée de tous les signaux con- caténés, d’abord les plusieurs retards et puis les différents capteurs, comme suit :

𝑿 = [𝑝1(𝑡 − 𝛽)

𝑇_{… 𝑝}

1(𝑡)𝑇… 𝑝1(𝑡 + 𝛽)𝑇𝑝2(𝑡 − 𝛽)𝑇… 𝑝2(𝑡)𝑇… 𝑝2(𝑡

+ 𝛽)𝑇_{… 𝑝}

𝑀(𝑡 − 𝛽)𝑇… 𝑝𝑀(𝑡)𝑇… 𝑝𝑀(𝑡 + 𝛽)𝑇] (6.1)

La matrice Y correspond simplement aux coefficients temporels de la POD aux instants 𝑡 de mesure des champs SPIV. Ici, nous pouvons déjà tronquer la base, retenant seulement le nombre de modes POD utilisé pour la reconstruction du champ des vitesses (𝑁𝑃𝑂𝐷), afin de réduire le temps de calcul :

Figure 6.2 - Schéma explicatif de la stratégie de modélisation des coefficients temporels de POD de l’écoule- ment interne à partir de données de pression mesurées sur la paroi du conduit.

𝒀𝑇 = [ 𝑎(1)(𝑡1) 𝑎(1)(𝑡2) ⋯ 𝑎(1)(𝑡𝑁) 𝑎(2)_(𝑡 1) 𝑎(2)(𝑡2) … 𝑎(2)(𝑡𝑁) ⋮ ⋮ … ⋮ 𝑎(𝑁𝑃𝑂𝐷₎ (𝑡1) 𝑎(𝑁𝑃𝑂𝐷)(𝑡2) … 𝑎(𝑁𝑃𝑂𝐷)(𝑡𝑁)] (6.2)

Pour l’instant, l’intégralité de l’ensemble des 𝑁 réalisations est utilisée afin d’ali- menter la relation qui associe les prédicteurs aux variables dépendantes et générer les coef- ficients du modèle. Ainsi, l’ensemble d’apprentissage et l’ensemble de test coïncident et équivalent à l’intégralité des instants de mesure. Une fois que les paramètres du modèle auront été optimisés par rapport à la qualité des estimations réalisées, le modèle sera éga- lement testé sur une configuration plus proche de l’application pour laquelle il a été conçu : le modèle sera alimenté par des données appartenant à un ensemble d’apprentissage diffé- rent de l’ensemble de test qui servira à mesurer la qualité de la stratégie d’estimation. Ainsi, dans une étape postérieure, le modèle sera testé par rapport à l’estimation de données indé- pendantes de celles qui ont servi à le construire.

6.1.1.3 Construction d’une relation basée sur la corrélation

Dans un premier temps, L’Estimation Stochastique Linéaire (LSE) a été utilisée pour générer les coefficients reliant les données de pression aux coefficients temporels de la POD. En outre, cette technique a été alimentée par plusieurs signaux prédicteurs qui, à leur tour, se sont multipliés en fonction des retards imposés ; ainsi, il s’agit plus précisé- ment d’une MTD-LSE-POD (Multi-Time-Delay Linear Stochastic Estimation POD). Une fois les coefficients de la matrice 𝒃 calculés, une estimation des coefficients temporels a pu être faite à partir de la réinjection des données de pression. On fait remarquer qu’à ce point du modèle les ensembles d’apprentissage et de test sont toujours confondus. La Figure 6.2 illustre une vue schématique globale de la stratégie adoptée pour développer les outils de modélisation qui font objet de ce chapitre.

Figure 6.3 - Schéma illustrant la position et la nomenclature des capteurs de pres- sion employées pour les mesures couplées sur configuration munie du coude PMMA.

Finalement, les champs des vitesses axiales ont pu être reconstitués à partir des coefficients POD estimés par la méthode, 𝑎̃(𝑛)(𝑡). La qualité du modèle est évaluée au moyen de la comparaison d’un instantané des vitesses sur la Section 0D avec son équivalent reconstruit. A cet effet, le coefficient de corrélation spatiale est utilisé, et le champ des vitesses mesuré à l’instant 𝑡0 est choisi pour comparaison. L’évaluation de ces résultats a

mené à une adaptation du modèle et, par la suite, la Régression Partielle aux Moindres Carrés (PLSR) a été utilisée afin de comparer les résultats avec ceux obtenus suite à l’ap- plication de la LSE. Enfin, les résultats obtenus avec chaque approche ainsi que l’évolution du modèle sont présentés dans la section suivante.