Apprentissage effectif du modèle

Jusqu’à présent, le modèle proposé est alimenté avec les prédicteurs disponibles sur toute la durée mesurée ; ainsi, les variables estimées sont comprises dans le jeu de don- nées que le modèle utilise pour construire la relation. Le but du modèle, toutefois, est de permettre d’estimer l’évolution temporelle de variables indépendantes que l’on ne connait pas à priori, à partir d’un ensemble de prédicteurs dont le comportement peut être mesuré. Cela implique que le modèle doit être capable de construire la relation à partir d’un en- semble d’apprentissage afin de pouvoir prédire l’évolution de variables appartenant à un ensemble de tests, différent de celui utilisé pour apprentissage.

Pour parvenir à ce but, la méthode MTD-PLSR-POD est la technique la plus adap- tée ; capable de sélectionner les données prédictives les plus pertinentes, cette technique a présenté les meilleurs résultats pour des jeux de données très importants ainsi que des coûts de calcul bien inférieurs à ceux obtenus avec la méthode basée sur l’estimation stochastique linéaire. Pour ces raisons, la PLSR a été choisie pour constituer le modèle qui sera testé par rapport à son apprentissage effectif, ou, en d’autres mots, sa capacité à construire une rela- tion à partir d’un ensemble de données différent de celui que l’on souhaite prédire.

Figure 6.6 - Estimation du champ des vitesses mesuré à l’instant t0 = 1.25 s sur la Section 0D (centre). A gauche, reconstitution obtenue avec NPOD_{= 300 coefficients temporels issus directement de la décomposition de} l’écoulement ; à droite, reconstitution avec NPOD_{= 300 coefficients temporels estimés par MTD-PLSR-POD em-}

La Figure 6.7présente une vue schématique de la stratégie qui a été utilisée pour tester l’apprentissage effectif de notre modèle de prédiction de la dynamique de l’écoule- ment à partir des signaux de pression de paroi. La matrice 𝑿 des prédicteurs (signaux de pression) appartenant à l’ensemble d’apprentissage est désormais limitée à une fraction des données mesurées ; une matrice 𝑿∗ de prédicteurs est séparée et affectée à l’ensemble de test. Le critère de distinction est temporel : sur les Τ = 260 secondes de l’acquisition cou- plée, les données mesurées sur les premiers ℓ × Τ secondes ont été attribuées à l’ensemble d’apprentissage tandis que le restant constituera l’ensemble de test. Une démarche similaire a été appliquée aux données que l’on souhaite estimer (les coefficients temporels de la POD), qui ont constitué un ensemble d’apprentissage de données dépendantes 𝒀 ainsi qu’un ensemble de test 𝒀∗ distinct du premier.

Les données indépendantes et dépendantes d’apprentissage ont d’abord été utili- sées pour alimenter le modèle de manière à constituer une relation qui s’exprime par la matrice des coefficients 𝒃. Ensuite, les données prédictives de l’ensemble de test, 𝑿∗, ont été projetées sur les coefficients 𝒃 afin d’estimer les coefficients temporels de la POD. La projection des formes modales associées aux champs des vitesses axiales a permis ensuite de reconstituer les champs 𝑢̃∗(𝒙; 𝑡) des vitesses mesurés dans les instants attribués à l’en- semble de test, soit les dernières (ℓ − 1) × Τ mesures SPIV. La qualité de l’estimation d’un champ des vitesses appartenant à l’ensemble de test est évaluée au moyen de l’exemple illustré par la Figure 6.8. Dans cet exemple, ℓ Τ⁄ = 90% des données mesurées sont utilisées pour alimenter le système, et le champ mesuré à 𝑡₁= 226.25 𝑠 ∈ {(ℓ − 1) × Τ } est choisi pour illustrer la qualité de l’estimation. 300 modes POD obtenus de la décomposition di- recte de l’écoulement sont employés pour restituer le champ des vitesses illustré à gauche, tandis qu’un nombre égal de modes obtenus par le modèle, 𝑎̃∗(𝑛)_(𝑡

1) permettent la recons-

truction présentée à droite de la Figure 6.8.

Le coefficient de corrélation spatial entre le champ estimé par le modèle et la me- sure est de 40%, tandis que la reconstitution issue de la POD atteint une corrélation de 97% ; les niveaux de vitesse estimés sont cohérents avec la mesure et les grandes structures

Figure 6.7 - Schéma explicatif de l’application du modèle pour estimation d’un ensemble de données différent de celui qui l’alimente.

de l’écoulement sont relativement bien représentées. Cependant, la corrélation spatiale est limitée par la mauvaise restitution des petites structures. Ce résultat indique que le modèle est capable de restituer la portion du champ des vitesses qui est corrélée avec l’excitation dynamique des parois. En effet, dans le chapitre précédent, les cartes de corrélation entre vitesse SPIV et pression de paroi ont montré que la corrélation se regroupe dans des grandes structures qui sont semblables aux structures de l’écoulement formées sur l’intrados du coude, à savoir la séparation et les tourbillons de Dean, par exemple.

Il est intéressant de remarquer que la méthode MTD-PLSR-POD est capable de récupérer de la corrélation turbulente répartie de manière spatio-temporelle autour du coude malgré la contamination des signaux de pression par la composante acoustique et le carac- tère complexe et principalement tridimensionnel de l’écoulement au passage de cette sin- gularité. On peut ainsi envisager de modéliser les transferts entre l’écoulement fluide et l’excitation qu’il induit sur les parois au moyen de l’application des outils présentés, sous réserve de cohérence entre le champ prédicteur et le champ à estimer. Sous l’hypothèse qu’une partie importante de l’excitation en basses fréquences est produite par les grandes structures cohérentes de l’écoulement interne, cette technique présente une voie possible pour la modélisation simplifiée de la source vibratoire liée à l’écoulement turbulent.

Les sections suivantes sont consacrées à une proposition de modèle simplifié de l’excitation dynamique à partir des données expérimentales et numériques d’écoulement dans le coude, ainsi que des outils statistiques optimisés dans la présente section.

Figure 6.8 - Estimation du champ des vitesses mesuré à l’instant t1 = 226.25 s sur la Section 0D (centre). A gauche, reconstitution obtenue avec NPOD_{= 300 coefficients temporels issus directement de la décomposi-}

tion de l’écoulement mesuré ; à droite, reconstitution avec NPOD_{= 300 coefficients temporels estimés par} MTD-PLSR-POD employant 1001 retards.