La construction des livres ERMEL

Le livre est structuré en trois parties : la première traite des « aspects théoriques et objectifs pédagogiques » ; la deuxième offre une progression annuelle contenant « la description de l’ensemble des activités qui ont été présentées aux enfants dans le cadre des recherches menées » (ERMEL gr.1 1977 p. 7) : on détaille chaque fois les objectifs, un plan des activités et quelques travaux d’élèves, à titre d’exemple. Enfin, la troisième partie, intitulée « séquences pédagogiques », contient la transcription de quelques séances : ils sont présentés toujours en deux colonnes, la transcription est accompagné des commentaires de l’enseignant.

La progression, comme il est précisé dans l’avant-propos, n’est pas « linéaire » dans le sens où elle ne suit pas l’ordre logique des thèmes mathématiques : « un même thème mathématique est parfois sous-jacent à plusieurs chapitres de la progression et inversement un même chapitre de la progression peut relever de plusieurs thèmes mathématiques » (p. 6). On voit donc, de nouveau, une réflexion sur l’organisation didactique qui n’est pas identique à l’organisation mathématique.

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L’ERMEL est similaire à Math et Calcul dans le sens où l’on offre une progression annuelle fixée qui peut être entièrement suivie par l’enseignant. En même temps, ERMEL refuse le découpage de la progression en « leçons », suivant un argument remarquable :

C’est par un choix volontaire que nous avons refusé, et de découper les chapitres de la progression en « leçons », transformant cette partie en un recueil rigide de fiches ponctuelles, et de proposer des exercices de contrôle après chaque apprentissage. En effet, la pratique des classes nous a appris que toute unité prédécoupée contraint plus ou moins les enseignants à la reproduire telle quelle : elle devient alors un modèle, ce qui rend plus difficile aux instituteurs une démarche de travail avec la progression. Il nous a semblé plus riche de présenter un ensemble d’activités en précisant le plus possible les buts des diverses étapes.

Le souci de laisser les enseignants définir eux-mêmes leur propre découpage en séquences repose sur d’autre constatations : c’est une façon de permettre à chacun d’adapter le rythme de travail à sa classe […] ; de laisser à chacun une marge d’initiative quant au couplage des activités […]. De plus, nous pensons que cette liberté d’élaboration personnelle qui est laissée aux instituteurs est le lieu d’un travail où chacun est amené à poser et se poser des questions, à saisir des difficultés, invisibles à la seule lecture, à essayer des exercices inédits, à chercher des voies plus courtes ou plus efficaces. (ERMEL gr. 1, 1977 p. 8)

Cette citation montre très clairement comment la structuration de la ressource dépend des choix pédagogiques, et des conceptions des auteurs sur le travail de l’enseignant. Les auteurs du projet ERMEL, participants eux-mêmes à une action-recherche, trouvent plus fructueux de laisser une plus grande liberté, également une plus grande responsabilité à leurs collègues : pas seulement parce que ceci permet une meilleure adaptation aux besoins et caractéristiques de la classe, mais aussi parce que la réflexion autonome et critique de l’enseignant sur son travail leur semble nécessaire pour promouvoir la qualité de son enseignement. C’est dans ce sens aussi qu’ils recommandent ERMEL comme ressource de formation.

C’est bien une telle attitude que nous avons cherché à provoquer, malgré son ascétisme (il est tellement plus sécurisant et plus facile aussi de distribuer des fiches toutes prêtes !) parce que nous pensons qu’elle seule est réellement formatrice. (ERMEL gr. 1, 1977 p. 8)

Avec les termes des niveaux de Margolinas, ERMEL offre donc la progression annuelle, et économise ainsi le travail au niveau +2 aux enseignants ; il encourage par contre, et laisse en partie à la charge des enseignants, le travail au niveau +1, la préparation des séances. En outre, l’intégration de la troisième partie, la transcription des séquences montre que les auteurs sentent le besoin de réfléchir également du niveau 0, de la gestion concrète de la classe :

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Il nous a semblé important de pouvoir donner une idée de ce qu’on peut attendre des enfants à propos d’une séquence donnée : leurs réflexions, leurs tâtonnements, la façon dont ils s’expriment, etc.

Nous avons retranscrit également les réponses et consignes de l’enseignant telles qu’elles se sont exprimées spontanément. Il est intéressant de voir sur des exemples comment on peut permettre aux enfants de découvrir et de s’approprier certains concepts. (ERMEL gr. 1, 1977 p. 7)

En effet, on verra que l’ERMEL prévoit une autonomie plus importante des élèves que le livre d’Eiller, ce qui signifie plus d’imprévu pour les enseignants : les transcriptions visent à offrir des illustrations sur les possibilités de gérer ces situations. En même temps, il est précisé qu’on n’offre pas de modèles : « ces leçons n’ont pas été choisies parce qu’elles étaient particulièrement bien réussies » ; « elles sont critiquables comme l’est toute leçon » (ERMEL gr. 1 1977 p. 7). Bien que l’on sente donc l’intérêt de ce travail du niveau 0, on ne propose pas de réflexion didactique au-dessus ; on présente des réactions « spontanées » des enseignants. Comme le dit Brousseau, on illustre la façon dont l’enseignant « fait fonctionner la machine » (Brousseau 1997 p. 47).

Avant de passer à l’analyse des exemples de situations, il nous semble intéressant de dire quelques mots sur la deuxième partie de l’introduction, intitulée « Objectifs généraux : Initiation au langage mathématique », qui présente des réflexions remarquables sur l’arrière-plan épistémologique du projet ERMEL. Dès le titre, on attire l’attention sur la priorité du langage dans l’approche des mathématiques. En effet, selon les auteurs, « faire des mathématiques, c’est toujours au bout du compte écrire » (p. 10).

Contrairement à Eiller, ERMEL insiste sur le fait que l’on veut faire « faire des mathématiques » aux enfants, qu’il ne suffit pas d’acquérir des éléments de savoir ; « faire comprendre aux élèves ce qu’ils font » en mathématiques est, selon eux, à la fois un projet nécessaire pour leur réussite scolaire sur le long terme, et bien plus ambitieux qu’une acquisition mécanique des techniques opératoires. (p. 14). Les auteurs réfèrent sur ce sujet à Bourbaki, selon qui le réussit en mathématiques nécessite la « fréquentation journalière des êtres mathématiques » (p.11), et citent Bachelard : « La mathématique est une pensée, une pensée sûre de son langage » (p. 15).

Pour les auteurs d’ERMEL, la caractéristique particulière du langage mathématique est qu’il est a priori un langage écrit : contrairement à la langue maternelle où « l’écriture apparaît comme le code second d’une langue qui est déjà présente oralement », « l’écriture n’est pas pour les mathématiques un code second, mais un code unique » (p. 15). L’activité mathématique consiste donc en des transformations successives d’énoncés (p. 10) ; c’est un

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travail de « mise en relation des signes » (p. 15), et, en fin de compte, un travail de rédaction, « la mise au net du cheminement qui aboutit au terme souhaité par la voie la plus courte » (p. 11)¹¹⁰.

On attire l’attention sur le fait que « s’exprimer rigoureusement n’est pas un préalable à l’activité mathématique, mais l’effet d’une telle activité » : que la priorité ne doit pas être donnée aux « leçons de vocabulaire », mais aux activités qui font du « sens » aux énoncés mathématiques et qui amènent progressivement à l’usage du langage mathématique rigoureux. De plus, pour les élèves de CP qui ont encore peu de pratique dans l’écriture, le travail de raisonnement, par ailleurs a priori écrit, peut se faire plutôt à l’oral.

A cette critique des « leçons de vocabulaire » s’ajoute une autre critique, des démarches répandues visant des « méthodes actives » : on peut y reconnaître le type de démarche suivi aussi par Eiller :

La démarche habituellement choisie consiste à revenir des mots vers les choses, de l’abstrait vers le concret, de fournir à la pensée le support d’une action. Pour de nombreux enseignants, désireux de rompre avec un enseignement traditionnel sans tomber dans l’aridité abstraite de la théorie des ensembles, la légitime méfiance à l’égard du verbalisme et le privilège accordé aux méthodes actives se sont ainsi conjugués pour produire ce qu’on pourrait appeler une « pédagogique du concret ». Dans une telle démarche se trouvent réunies de façon plus ou moins élucidée, une certaine conception de ce que sont les mathématiques (une activité opératoire), une idée du développement intellectuel de l’enfant ( une succession de stades ordonnés en fonction des types d’opération qui y sont ou non possibles), enfin une représentation de ce que doit être l’intervention pédagogique (la préparation de situations dans les quelles les enfants puissent exercer l’activité opératoire que leur maturité psychologique leur permet).

La liaison très fort ainsi établie entre l’exercice d’une pensée et la multiplication d’actions a comporté un risque pédagogique important. On glisse vite d’une pédagogie de l’action sur les choses à une pédagogie du « concret » : comme si, à force de manipuler les jetons bleus et jaunes, à force d’accrocher des étiquettes aux ensembles, à force de relier par des traits chaque élément d’une collection à chacun des éléments d’une autre, le « sens » mathématique de la bipartition, du dénombrement, ou de la correspondance terme à terme allait peu à peu se déposer dans l’esprit de l’enfant. Au CP les trois étapes de toute séquence mathématique bien conduite (et qui sont la manipulation, la représentation, la symbolisation) rejoignent dans la conscience spontanée des enseignants l’idée que les enfants ont besoin comme d’un appui ou d’un tremplin, du « matériel » (réglettes, blocs logiques, jetons, comme jadis des bûchettes) grâce auquel ils construisent leur activité mathématique. (ERMEL gr. 1, 1977 p. 17)

La critique concerne principalement la distinction du « concret » et de « l’abstrait ». On attire l’attention sur le fait que les instruments pédagogiques sont plutôt « abstraits » que

110 Nous tirons l’attention sur le contraste avec la conception des mathématiciens hongrois étudiés, selon qui il ne s’agit pas nécessairement de chercher « la voie la plus courte », mais la rédaction suit souvent d’autres critères : être facilement compréhensible, intuitif, esthétique, plaisant…

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« concrets » dans le sens où la richesse des objets quotidiens y est réduite à quelques propriétés visant à illustrer des notions mathématiques : il s’agit des expériences sensorielles, mais qui ne sont pas nécessairement « concrètes ». La manipulation de ces matériaux, selon les auteurs, peut masquer des notions réellement mathématiques, être insuffisante ou même constituer un obstacle à l’apprentissage si l’enfant confond les objets, la manipulation, et l’opération illustrée. L’ERMEL suggère « non d’abandonner, mais d’élargir la notion de manipulation ». « Manipuler, ce n’est pas seulement manier des objets physiques » ; « manipuler le nombre 20 pour en donner le maximum d’écritures additives, c’est jouer directement avec les symboles » (p. 18). L’accent doit de toute façon être mis, sur l’activité intellectuelle : « faire des mathématiques, avec ou sans blocs logiques » doit être « penser ».

On voit que l’activité, les « méthodes actives » ont ici un sens différent à celui vu dans le manuel ordinaire de l’époque des mathématiques modernes. On garde les cycles manipulation-représentation-symbolisation, on utilise toujours des matériaux, mais l’accent passe de la manipulation physique à l’activité intellectuelle. Il s’agit bien de laisser un rôle actif aux élèves dans la construction de leurs connaissances, et donc de prévoir une certaine adidacticité dans le processus d’apprentissage. On verra grâce à deux exemples concrets comment ERMEL vise à mettre cela en place.

En somme, on peut dire que ERMEL s’inscrit clairement dans l’esprit du mouvement « mathématiques modernes », à la fois du côté mathématique et psycho-pédagogique, dans le sens où il insiste sur « faire des mathématiques », sur « comprendre » et « penser » au lieu des acquisitions mécaniques. On verra également un travail significatif sur les représentations. Il critique pourtant les courants visant prioritairement et excessivement un travail sur le vocabulaire et les symboles au lieu de la pensée : dans ce sens, il adhère aux critiques de la réforme de 1969/70. Il critique également le travail pédagogique trop superficiel des décennies précédentes qui se contente, selon les auteurs, de manipuler des objets ; ERMEL propose une recherche didactique plus approfondie, cherchant la cohérence des ambitions mathématiques et pédagogiques. Mais la priorité accordée au langage écrit, la conception de l’activité mathématique comme rédaction et mise en relation des signes semble être une position proche du courant français des « mathématiques modernes » (cf. Partie II, §2.1.2), ainsi que des cycles passant chaque fois de la manipulation vers la représentation et les symboles.

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2.2.2 Analyse de situations

Distribution de cubes

Cette situation s’inscrit dans le chapitre consacré à la correspondance terme à terme, préparant cette dernière notion en introduisant l’idée de l’équipotence (voir le plan du chapitre dans l’annexe III.3.7). La description de l’activité est la suivante :

Les enfants sont répartis en groupes de 3 ou 4, et disposent d’une soixantaine de cubes. - Phase de jeu libre.

- Consigne : « Se partager les cubes ».

- Le maître constate que les parts sont très inégales, s’en étonne et demande aux enfants de trouver un moyen pour que la partition soit plus équitable.

Il faut laisser les enfants s’organiser : la situation seule suffira à sanctionner leur travail.

Par retouches successives on peut espérer qu’ils parviendront à résoudre les différents problèmes qui se posent :

donner un cube à chaque enfant choisir un point de départ

choisir un ordre ... puis un « tour » ne pas distribuer le reste.

- L’exigence d’une vérification de l’équipotence des « donnes » introduit aux techniques de correspondance terme à terme. (ERMEL gr. 1, 1977 p. 163)

La situation comprend un réel potentiel d’adidacticité : c’est ce qu’exprime la phrase « Il faut laisser les enfants s’organiser : la situation seule suffira à sanctionner leur travail. » Avec les termes de la TSD, on construit un milieu rétroactif qui provoque l’apprentissage des élèves. La première étape est une rencontre avec le matériel ; la deuxième, le partage des cubes, introduit déjà une consigne, mais insuffisante : elle reste ambiguë, le partage ne signifie pas nécessairement pour les enfants une distribution en quantités égales. L’enseignant modifie donc le milieu en cours de route en complétant la consigne avec l’idée d’équitabilité : cette modification prévue permet de souligner la notion centrale de la situation, l’idée de l’équipotence. Le partage équitable est un problème qui a du sens (pas seulement intellectuel, mais également affectif) pour les enfants, et qui motive la recherche d’une méthode fiable. En effet, dans la transcription de la séance correspondante (pp. 270-277, voir annexe III.3.8), les enfants expriment leur mécontentement du travail de leur camarade et qu’ils trouvent le résultat injuste.

La situation comprend également une phase de validation : ce sera la méthode de vérification de l’équipotence qui amènera à l’introduction aux techniques de correspondance terme à terme, thème principal du chapitre.

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En regardant la transcription de la séance, on voit en effet que l’enseignant intervient peu, et que ses interventions se limitent principalement à la dévolution. Par exemple :

- Comment peux-tu être sûr que tu as donné à tous le même nombre de cubes ? […]

- Comment faire ? […]

Je leur explique qu’ils doivent se débrouiller, sans reprendre de cubes dans la réserve de matériel. […]

- Et si on vérifiait ? Je voudrais, moi, être certaine que vous avez le même nombre de cubes. (ERMEL gr. 1, 1977 p. 272-273)

Ces interventions permettent de préciser les règles du jeu, encourager les élèves à continuer la réflexion, articuler action et formulation, passer d’une phase a l’autre (phase de validation après l’action). Mais la construction de la connaissance visée, des techniques permettant de créer des ensembles équipotents reste à la charge des élèves.

Il s’agit donc d’une réelle situation adidactique, dans son plan ainsi que dans la version réalisée dont la transcription est offerte dans le livre : le rôle de l’enseignant consiste à construire un milieu rétroactif et faire le travail de dévolution ; les connaissances visées sont construites par les élèves, offrant une solution efficace au problème posé. On peut observer une phase d’action et de formulation (les deux ne sont pas distinguées), suivie d’une phase de validation.

Les nombres – désignation des boîtes

Le chapitre 7 du livre traite de l’introduction de la notion de nombre. Il s’agit d’une série d’activités sur des diverses collections d’objets, classées selon leurs cardinaux et rangés dans des boîtes. La désignation des boîtes – des classes de collections équipotentes – permet d’introduire la notion de nombre comme cardinal, et la mise en ordre des boîtes la notion ordinal¹¹¹.

Parmi les collections proposées, on trouve par exemple une feuille de 2 gommettes, un sac de 25 jetons bleus, une chaîne de 25 trombones etc. que les enfants classent d’abord selon les critères librement choisis, ensuite selon le critère « autant que ».

L’activité de désignation des boîtes émerge d’un problème soulevé par la situation précédente, notamment le classement des nouvelles collections d’objets. En effet, lorsqu’une

111 Une situation similaire de mise en ordre des boîtes se trouve d’ailleurs chez Eiller aussi (Eiller livre du maître gr. 1 1972 pp. 170-171).

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collection nouvelle doit être mise dans la boîte convenable, il faut trouver cette dernière si l’on ne veut pas faire chaque fois des essais avec des collections de chaque boîte.

La situation précédente a posé le problème de la désignation de chaque boîte. Quelle solution trouver ?

Certains enfants proposent de se servir des « numéros », c’est-à-dire des symboles de la comptine qu’ils connaissent.

D’autres proposent des symboles permettant un repérage des boîtes (en particulier quand ils ne connaissent pas le « numéro » correspondant).

On s’aperçoit que ce type de signe permet sans répétitions ni omission de faire un essai dans toutes les boîtes, sans pour autant apporter une information quant au contenu de la boîte.

D’autres enfants enfin proposent de sortir une collection et de la fixer sur le couvercle ou de la dessiner sur celui-ci.

N.B. : On retrouve là, la situation de désignation travaillée en début d’année qui consistait, dans le cas

d’une partition, à désigner une classe par l’un de ses éléments. (ERMEL gr. 1, 1977 p. 176)

On voit de nouveau une situation portant un potentiel adidactique important. Les élèves se trouvent en face d’un milieu rétroactif, le problème de la désignation émerge lors des interactions avec ce dernier (difficultés de trouver la boîte convenable, annoter des essais déjà effectués), et la technique attendue émerge comme une solution pour ce problème (« On s’aperçoit que ce type de signe permet sans répétition ni omission de faire un essai dans toutes les boîtes »).

Dans une première étape, les annotations ne sont pas institutionnelles : elles sont des choix d’élèves pour résoudre le problème soulevé. Dans l’étape suivante, ERMEL suggère de comparer différents moyens de désignations, leurs avantages et inconvénients, et propose le classement suivant :

Figure III.3.9 (ERMEL gr. 1, 1977 p. 177)

La distinction porte ici sur différents types de désignations, l’écriture des nombres comme signes institutionnels et les symboles choisis par les enfants apparaissent au même niveau ;

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l’institutionnalisation, la stabilisation des écritures de nombres comme signes conventionnels se fera plus tard.

Les situations décrites dans ERMEL sont en effet proches du modèle proposé dans le cadre de la théorie de Brousseau : il s’agit de situations avec un milieu rétroactif, l’interaction de l’élève avec le milieu permet la construction de ses connaissances. Le travail principal de l’enseignant consiste en la construction du milieu, et il intervient peu pendant le déroulement de la situation. On y trouve des phases d’action, de formulation et de validation.

On voit également, dans ERMEL, des cycles plus ou moins conformes aux phases décrites par Douady : les connaissances nouvelles apparaissent comme outils pour résoudre un problème posé, et suivant leur explicitation, deviennent objets d’étude avant leur institutionnalisation comme éléments de savoir. En effet, chaque situation correspond à peu près à un élément de savoir, vise à introduire ce dernier. ERMEL présente quelques séries de situation relativement longues, où l’on transforme progressivement le milieu de départ, et le