Condition de stabilité, limitations

  M ¹ δt^(C n+1 h − Cn h) + Kⁿ⁺¹C_hⁿ⁺¹ = Sn+1 n ∈ [[0, T /δt − 1]] C0 h = C_0,h (11.34)

où n est l’indice temporel et δt est le pas de temps. Le schéma d’Euler implicite est numériquement stable lorsque la diffusion domine, contrairement au schéma d’Euler explicite (stable sous condi-tions). Il est d’ordre 1. D’autres exemples de schémas (Runge-Kutta, Crank-Nicholson), d’ordre éventuellement supérieur, peuvent être trouvés dans [Allaire 2005].

Dans ce problème, seule la matrice de masse M est constante et ne doit être calculée qu’une seule fois. La matrice de raideur K et le vecteur S doivent être calculés à chaque pas de temps car ils dépendent, dans le cas général, de fonctions du temps.

Le problème11.34se réécrit sous la forme (11.35) de manière à faire apparaître un système de type Ax = b :

 (M + δtKn+1)C_hⁿ⁺¹ = δtSn+1+ M Cn

h n ∈ [[0, T /δt − 1]] C0

h = C_0,h ^(11.35)

La solution recherchée est alors :

cⁿ⁺¹_h =

N

X

i=1

C_h,iⁿ⁺¹ψ_i (11.36)

11.3.6 Condition de stabilité, limitations

On démontre que dans le cadre de la méthode de Galerkin des instabilités numériques peuvent apparaître ([Quarteroni 2008] p.259) lors de la résolution de l’équation de diffusion-advection lorsque :

P e_l= |~u|h

2D ^{> 1 (11.37)}

où P e_lest appelé nombre de Péclet local, et h est la taille de la maille. Le nombre de Péclet local est un nombre sans dimension qui permet de quantifier la prédominance du phénomène d’advection sur la diffusion à l’échelle du maillage.

En d’autres termes, les instabilités sous forme d’oscillations se manifestent lorsque la diffusion (paramètre D) est largement dominée par le transport (vitesse u). Lorsque le nombre de Péclet local est proche de 1, il est nécessaire de réduire la taille de la maille (paramètre h). Or, étant données les faibles constantes de diffusion des polluants de type COV (O(10⁻5m2.s⁻¹)) et l’ordre de grandeur des écoulements dans le bâtiment (O(0.1m.s⁻1)), la taille de maillage nécessire est de l’ordre de 10⁵nœuds par m². Les temps de calcul sont alors prohibitifs.

Afin d’empêcher ces instabilités sans avoir à affiner exagérément le maillage, il est possible d’utiliser une méthode de stabilisation. Une des méthodes les plus répandues est la méthode SUPG pour "Streamline Upwind Petrov Galerkin", décrite dans [Svoboda 2000] dans le cas d’une appli-cation au bâtiment pour l’équation de la chaleur. Cette méthode consiste à remplacer la fonction

test vh par une fonction test v⁰_haffectée d’un terme d’advection de sorte que :

v⁰_h = v_h+ α(~u. ~∇v_h) (11.38) où α est un coefficient à définir. En 1D, on montre que le coefficient α optimal est αopt =

h

2|~u|(cothP e_l − 1/P e_l) ([Zienkiewicz 2005] p.36). En dimension supérieure, le choix de ce co-efficient est moins trivial et dépend fortement de la manière dont on calcul la taille de la maille [Knobloch 2009].

On trouve également d’autres méthodes de stabilisation, telles que l’utilisation de fonc-tions bulles [Song 2010] ou les méthodes GLS et SGS, proches de SUPG, présentées dans [Chaple 2006].

11.3.7 Exemple de résolution

11.3.7.1 Exemple n˚1

La figure 11.6 présente le résultat de la résolution du problème de diffusion-advection de l’équation (11.30) en utilisant l’écoulement décrit en figure 11.4. Le pas de temps est de 2s, la durée totale de 100s, le nombre de noeuds est de 10000 et les fonctions élément finis sont des élé-ments lagrangiens P1. Le coefficient de diffusion est de 5.10⁻5m2.s⁻¹. La source est placée près de l’entrée d’aération et émet brièvement jusqu’à une intensité de 50ppm.s⁻¹(cf. figure11.5). Son expression est : s(~x, t) = σ exp  −^{(x1− x1,s)} 2+ (x₂− x_2,s)2 2ds² − ^{(t − ts)} 2 2t_sd2  (11.39) avec

Paramètre Symbole Unité Valeur Intensité max. σ ppm.s⁻¹ 50 Position horizontale x_1,s m 0.5 Position verticale x_2,s m 2.2

Diamètre d_s m 0.05

Temps auquel la source est max. t_s s 10 Temps de décroissance y_sd s 3

TABLE11.3 – Paramètres de la source s(~x, t)

FIGURE11.5 – Composante spatiale (à t=8s) de la source (gauche) et évolution temporelle de son intensité maximale (droite)

FIGURE 11.6 – Exemple de résolution du problème (11.34) de dispersion d’un polluant à partir d’une source placée en face de l’entrée d’aération, en utilisant l’écoulement de la figure11.4

11.3.7.2 Exemple n˚2 : faible vitesse d’écoulement

Pour second exemple, nous présentons la résolution d’un problème de diffusion-advection pour lequel l’écoulement considéré est plus lent (vitesse d’entrée maximale de u_m = 0.02m/s), dont le pas de temps est fixé à dt = 1min et la durée totale à T = 100min. Le maillage est identique à l’exemple précédent. La source est placée proche du centre de la pièce en (x1 = 2.75m et x₂ = 1.5m). Le coefficient de diffusion est de 10⁻⁴m2/s est la source est décrite par l’équation :

s(~x, t) = σ sin²(2π^t T^)exp  −^{(x1− x1,s)} 2+ (x₂− x_2,s)² 2d_s²  (11.40)

Paramètre Symbole Unité Valeur Intensité max. σ ppm.s⁻¹ 50 Position horizontale x_1,s m 2.75 Position verticale x_2,s m 1.5

Diamètre d_s m 0.05

Temps auxquels la source est max. ts min T /4 et 3T /4 TABLE11.4 – Paramètres de la source s(~x, t)

La source forme deux pics à évolution lente centrés à T /4 et 3T /4. Les composantes spatiales et temporelles de la sources sont décrites en figure11.7.

FIGURE 11.7 – Composante spatiale (à t=7min) de la source (gauche) et évolution temporelle de son intensité maximale (droite)

FIGURE11.8 – Exemple de résolution du problème de dispersion d’un polluant11.34à partir d’une source placée proche du centre de la pièce et émettant progressivement, en utilisant un écoulement de faible vitesse

11.3.7.3 Exemple n˚3 : Stabilisation SUPG

Le cas présenté ici est strictement identique à l’exemple précédent, excepté le fait que le gaz présente une faible constante de diffusion (5.10⁻⁶m².s⁻¹). Le nombre de Péclet est ainsi élevé et cela entraîne des instabilités numériques lors de la résolution du problème de diffusion-advection sans stabilisation.

La figure 11.9 présente la résolution de ce problème avec et sans méthode de stabilisation SUPG (voir partie 11.3.6). Le terme de stabilité α utilisé est le terme optimal pour le cas 1D

(comme présenté dans l’exemple de code source en figure11.2) : α_opt = ^h

2|~u|^{(cothP el}− ¹

P e_l^{) (11.41)}

FIGURE11.9 – Comparaison de la résolution du problème de diffusion-advection à grand nombre de Péclet avec et sans utilisation de la méthode de stabilisation SUPG

On remarque que la méthode SUPG permet d’obtenir un résultat de meilleure qualité que le cas sans stabilisation, mais cela n’empêche pas l’apparition d’une instabilité. Cela peut venir d’un mauvais choix du facteur α. En effet, en deux dimensions le facteur optimal dépend de la manière dont la taille de la maille est calculée ([Knobloch 2009]). Le calcul de ce facteur optimal peut ainsi s’avérer difficile avec certains outils tels FreeFEM++ qui ne fournit qu’une manière de calculer la taille de la maille. Nous nous limiterons par la suite à des cas de vitesses faibles, les problèmes liés à la qualité de l’air étant liés à des espace mal aérés.

Méthodes inverses pour la reconstruction de

données

12.1 Problème général

Le problème que nous traitons dans cette partie est le suivant. On dispose d’un modèle direct M permettant le calcul d’un état (la concentration c) dans un espace Ω en fonction de paramètres P indéterminés. Cette concentration est alors notée c(P ) ∈ V, où V est appelé espace d’état, que nous définirons plus tard. En particulier, nous considèrerons par la suite le modèle direct d’advection-diffusion décrit par l’équation11.20et les paramètres de source s et de vitesse ~u, indépendamment. Nous disposons également d’un nombre de N capteurs placés dans Ω, capables de mesurer la concentration localement, fournissant ainsi une information partielle sur l’état du système. On suppose que l’on sait modéliser le processus de mesure à travers l’opérateur C appelé opérateur d’observation. La réponse de ces capteurs, étant donné le champ de concentration c(P ), est donnée par Cc(P ) ∈ M où M est appelé espace des mesures.

FIGURE12.1 – Modélisation du processus de mesure d’un capteur à partir de paramètres à l’aide d’un modèle direct et d’un opérateur d’observation.

Supposons que nous disposions maintenant d’un jeu de données fourni par ces N capteurs. Notons cd= {cd

k}N

k=1 ∈ M ce jeu de données. Le problème étudié, sous sa forme la plus générique, est alors : trouver P tel que :

Cc(P ) = c^d (12.1)

Ce type de problème, où l’on cherche à identifier des paramètres d’un modèle à partir d’obser-vations expérimentales est appelé "modèle inverse". Une difficulté généralement rencontrée dans ce type de problème est toutefois leur caractère mal posé, c’est-à-dire le fait qu’ils ne respectent pas l’un ou plusieurs des critères définissant un problème bien posé selon Hadamard ([Engl 2000] p.31) :

1. Pour toute donnée admissible, une solution existe. 2. Pour toute donnée admissible, la solution est unique. 3. La solution dépend de façon continue des données.

Si la condition 1 est violée il est possible dans certains cas de reformuler le problème de ma-nière à trouver une solution approchante de la solution réelle en recherchant par exemple une

inverse généralisée. La violation de la seconde condition est plus sérieuse puisque si plusieurs so-lutions existent il faut être capable de déterminer laquelle est admissible, ce qui n’est pas toujours le cas. Enfin, la violation de la condition 3 implique qu’une variation infime des données peut donner lieu à des solutions très différentes, et cela rend la résolution du problème inverse instable. Le caractère mal posé des problèmes inverses peut cependant être contourné à l’aide de mé-thodes de régularisation telle que la méthode de Tikhonov [Tikhonov 1977], que nous utilisons et exposons plus loin.