13.3 Reconstruction d’une source réduite
13.3.5 Choix d’une base orthonormée
ψk, δc ! V ' (∇J(S) − εS, δS)U (13.37)
et de manière analogue à l’équation13.21: −∂p ∗ ∂t − (~u. ~∇)p∗− D∆p∗, δc V = ( Z Ω p∗ξdx, δS)U (13.38)
d’où l’expression du gradient de la fonctionnelle :
∇J(S) = Z
Ω
p∗ξdx + εS (13.39)
Remarque: Si l’on considère une base constituée d’un unique mode, le problème se réduit au cas étudié en partie13.2.
13.3.5 Choix d’une base orthonormée
N’ayant pas d’information a priori sur la forme des sources ou leur emplacement, on propose d’utiliser comme base de projection les modes propres du Laplacien qui sont solution du problème :
−∆ξi = λiξi Ω
ξi = 0 ∂Ω (13.40)
Ce problème est un problème de diffusion et ses modes propres correspondants sont dits "modes de la diffusion". Ce choix suppose que les sources sont nulles sur les bords du domaine considéré. La théorie des opérateurs garantit que cette base fournit des approximations convergentes dans L2. Ces vecteurs sont orthogonaux entre eux et permettent ainsi d’engendrer l’espace par combinaison linéaire de ces derniers. La figure13.8montre la forme de quelques modes ξi.
13.3.6 Application numérique
13.3.6.1 Calcul des modes
Quelques modes correspondant au problème aux valeurs propres du Laplacien (équation13.40) sont représentés en figure13.8. On remarque que plus l’indice d’un mode est grand, plus celui-ci tend à présenter de fines variations spatiales. On en déduit que plus la source est petite, plus il faudra de modes d’indice élevé pour approximer correctement cette dernière.
FIGURE13.8 – Premiers modes utilisés pour l’approximation de la source S 13.3.6.2 Evaluation de l’erreur introduite par la projection de la source
L’intérêt de chercher une solution sur une base de petite taille est de stabiliser le problème et d’apporter de l’information a priori sur la source. Pour que la reconstruction soit suffisante, cette base doit pouvoir engendrer une bonne représentation de la source. Nous allons vérifier dans quelle mesure la base construite sur les vecteurs propres du Laplacien permettent de reconstruire une source.
On considère qu’une source s(~x, t) (que nous supposons fixe) peut être décrite par une fonction Gaussienne centrée en ~xset de rayon r telle que :
s(~x, t) = σ(t)s0(~x) (13.41)
où σ(t) est l’intensité d’émission de la source et s0(~x) sa composante spatiale telle que :
s0(~x) = exp(−(~x − ~xs)
2
2r2 ) (13.42)
La projection de s0sur M modes de la base ξ est notée s0M telle que :
s0M(~x) = M X i=1 Z Ω (s0(~x)ξi(~x))dx ξi(~x) (13.43)
La question qui se pose ici est de savoir si cette projection sur M modes propres du Lapla-cien permet de représenter correctement une source quelconque. Nous présentons dans ce qui
suit quelques résultats numériques permettant d’estimer la qualité de cette projection. Définisson d’abord l’erreur de projection εp(M ) définie comme :
εp(M ) = s R Ω(s0 − s0 M)2dx R Ωs02dx (13.44)
De plus, de manière à estimer cette erreur quelle que soit la position de la source, on effectue une évaluation statistique de εpen tirant aléatoirement les positions ~xsde 50 sources, et ce pour 4 rayons r de sources différents (50cm, 25cm, 10cm et 5cm). La figure13.9présente un exemple de tirage aléatoire de sources dans l’espace, où les positions sont volontairement éloignées du bord afin de respecter la condition s(~x, t) = 0 ∀~x ∈ ∂Ω.
FIGURE 13.9 – Exemple de placement aléatoire de 50 sources dans la pièce
Le résultat du calcul statistique de εp pour des bases ayant jusqu’à 250 modes est présenté sur la figure 13.10 de gauche. On observe que les sources ayant rayon de 50cm ne nécessitent que peu de modes (moins de 25) afin d’être représentées avec une erreur de l’ordre de 1%. Il apparaît également que plus la source est de petite taille, moins l’erreur moyenne diminue rapidement avec la taille de la base, bien que celle-ci décroisse rapidement.
FIGURE 13.10 – Erreur εp(M ) due à la projection de la source sur une base constituée de 1 à M modes (gauche) et spectre représentant la distribution de l’énergie associée à chaque mode (droite). Données statistiques (moyenne, et écart-type représenté par des barres verticales) obtenues pour 50 sources placées aléatoirement dans l’espace et pour 4 rayons de sources différents.
Les graphes de droite de la figure13.10présentent, pour chaque rayon de source, la distribution de l’énergie (moyenne et écart-type) associée à chacun des modes, l’énergie E associée au mode i étant donnée par :
E(i) = Z Ω s0ξidx 2 (13.45)
Il apparaît que plus la source est petite, plus l’énergie est distribuée sur chacun des modes. De plus, l’énergie portée par le ièmemode tend à décroître lorsque i augmente.
En conclusion, la base obtenue à partir du problème aux valeurs propres du Laplacien permet de représenter, avec un nombre de modes raisonnable, des sources de diamètre important seulement. Au delà de 25cm, plus de 100 modes sont nécessaires pour cela. Ce résultat n’a rien d’étonnant et est conforme avec la théorie. Pour représenter des variations très locales d’une source ou d’un champ, un autre type de base pourrait être utilisé. Le choix d’une base doit être guidé par l’in-formation a priori sur la régularité des inconnues qui est disponible. Le choix fait ici des modes propres du Laplacien correspond à un choix générique lorsqu’aucune information n’est disponible.
13.3.6.3 Reconstruction d’une source ayant peu de composantes modales
Nous cherchons ici à reconstruire une source pouvant être écrite de manière exacte comme une combinaison linéaire des M premiers modes de ξ, c’est-à-dire à reconstuire l’ensemble de fonctions du temps S, tel que :
S = {Si} = Z Ω ss(~x, t)ξidx 1 ≤ i ≤ M 0 i > M (13.46)
où ssest la source à variation sinusoïdale d’un rayon de 50cm analogue (au diamètre près) à celle décrite dans l’exemple précédent (voir figure 13.3) de reconstruction d’une source de placement connu :
ss(~x, t) = 50sin2(2πt
T) ∗ exp(−
(x − 2, 75)2+ (y − 1, 5)2
2 ∗ (0, 5)2 ) (13.47) La source s exacte à reconstruire est alors :
s(~x, t) =
M
X
i=1
Si(t)ξi(~x) (13.48)
Ce cas permet de tester si une telle source peut être correctement reconstruite. Un large diamètre correspondrait dans la réalité par exemple à une flaque de solvant dispersée. Dans ces exemples, les données sont générées à partir de ces sources et l’on cherche à savoir si l’on peut reconstruire correctement ces sources à l’aide de la méthode proposée, par calcul du gradient par l’adjoint présenté en section13.3.4.
Nous considèrerons par la suite des lots de 9, 16, 25 et 36 capteurs placés de la manière sui-vante :
FIGURE13.11 – Placement de différents lots de capteurs (9, 16, 25 et 36 capteurs)
La figure 13.12 décrit l’évolution de l’erreur de reconstruction εs et de la fonctionnelle au cours des itérations de l’algorithme pour nne source projetée sur les 4 premiers modes de la base des vecteurs propres du Laplacien, et un lot de 36 capteurs. L’erreur de reconstruction εss’écrit à l’itération n : εs(n) = v u u t RT 0 R Ω(s∗− sn)2dxdt RT 0 R Ωs∗2dxdt (13.49) où s∗est la source exacte et snest la source reconstruite à l’itération n.
On remarque qu’une telle source pouvant être représentée par 4 modes peut être reconstruite avec une erreur de 1% en environ 20 itérations.
FIGURE 13.12 – Evolution de l’erreur de reconstruction εs et de la fonctionnelle au cours des itérations pour des sources pouvant être décrites comme la projetion de la source (13.47) sur les 4 premiers modes de la base des vecteurs propres du Laplacien.
On remarque sur la figure 13.13 représentant la reconstruction des modes au cours des itéra-tions, que les premiers modes sont reconstruits plus rapidement et de manière plus exacte que les modes de haute fréquence, comme l’on pouvait s’y attendre d’après la théorie (section 12.3.2). De plus, le fait que proche du temps final la source continue d’émettre a une influence sur la re-construction. L’information n’a en effet pas le temps d’arriver aux capteurs aux derniers instants, d’autant plus que la source présente des modes spatiaux de haute fréquence.
FIGURE 13.13 – Modes 1 et 10 reconstruits à différentes itérations (milieu et droite, respective-ment)