Analyse simultanée de deux échantillons

On propose d’analyser deux échantillons gazeux distincts à l’aide d’un unique micro-chromatographe. Les réponses à une unique injection de ces deux échantillons sont s1 et s2 res-pectivement.

On associe à chacun des échantillons une M-séquence binaire m_N,1 et m_N,2. On choisit ces séquences de sorte qu’elles forment une paire idéale. On rappelle que deux séquences d’une paire idéale ont une corrélation croisée à trois valeurs. Les trains d’impulsion associés aux séquences m_N,1et m_N,2, équivalents de la fonction m_δ exposée en page94, sont notés m₁ et m₂ respective-ment, et leur formes polaires sont m⁰₁ et m⁰₂.

La méthode consiste à injecter continûment chaque échantillon selon la séquence qui lui est associée. Ainsi, l’échantillon s₁ est injecté suivant la séquence m₁ et l’échantillon s₂ est injecté suivant la séquence m₂. On récupère ainsi en sortie le signal s comme représenté en figure10.1et s’exprimant par la formule :

s = m1∗ s1+ m2∗ s2 (10.1) Ce signal atteint un régime périodique pour les mêmes raisons qu’avancées en partie 7.3.1. La figure10.2montre un exemple de signal s (à droite) obtenu pour une telle injection de deux échan-tillons dont les chromatogrammes respectifs apparaissent sur le graphe de gauche. Une période s_m du signal s est matérialisée entre les traits verts.

FIGURE 10.2 – Exemple de signaux s1 et s2 (gauche) et chromatogramme correspondant (simulé à partir de la formule10.1) pour l’injection simultanée des deux échantillons selon des séquences de taille 127, avec P = 2s.

On effectue ensuite indépendamment, sur une période sm du régime périodique de ce signal sans retard de phase sur le début de l’injection (R0 = 0), la corrélation croisée circulaire avec chacun des signaux polaires m⁰₁ et m⁰₂. Les deux fonctions résultant de ces corrélations sont res-pectivement notées b₁et b₂. Conformément à l’équation7.20page95, on obtient alors par exemple pour b₁:

b₁ = m⁰₁⊗ s_m = m₁⁰ ⊗ (m₁~ s1+ m₂~ s2) = ^{N +1}₂ s₁+ m⁰₁⊗ (m₂~ s2) = ^{N +1}₂ s₁+ (m⁰₁⊗ m₂) ~ s2

(10.2)

FIGURE 10.3 – Signaux b1 et b2 obtenus par corrélation de sm avec m⁰₁ et m⁰₂ respectivement. Le bruit de corrélation dans b1et b2 dépend de s2et s1 respectivement.

On récupère ainsi le chromatogramme d’intêret s1 à un facteur (N + 1)/2 près additionné du terme (m⁰1⊗m₂)~s2. Ce terme peut être apparenté à du bruit de corrélation qui dépend du second signal d’intérêt s₂ (comme illustré sur la figure10.3). Ce bruit pourrait être entièrement soustrait si l’on avait connaissance de s₂. Or, de manière similaire à s₁, on ne connait qu’un signal approché de s2, lui même dépendant de s1:

b2 = m⁰₂ ⊗ sm = ^{N +1}₂ s2+ (m⁰₂⊗ m1) ~ s1 (10.3) Il s’agit donc de trouver une bonne approximation de s₂ à partir de b₁ ou inversement, une bonne approximation de s₁ à partir de b₂. Cela permettrait de soustraire le bruit (m⁰₁⊗ m₂) ~ s2ou (m⁰₂ ⊗ m1) ~ s1 respectivement à b1 ou b2 pour obtenir s1 ou s2. Cependant, il n’est pas possible d’utiliser directement le signal 2/(N + 1)b2 pour approximer s2 afin de soustraire le bruit de corrélation à b1 car b2est corrélé à s1(de même en inversant les indices 1 et 2). En effet, on a :

b₁− (m0 1⊗ m₂) ~ ( 2 N +1b₂) = N +1 2 s₁+ (m⁰₁⊗ m₂) ~ s2− 2 N +1(m⁰₁⊗ m₂) ~ b2 = ^{N +1}₂ s1− 2 N +1(m⁰₁⊗ m2) ~ ((m⁰2⊗ m1) ~ s1) = ^{N +1}₂ s₁− 2 N +1(m⁰₁⊗ m₁) ~ (m⁰2⊗ m₂) ~ s1 = ^{N +1}₂ s₁− N +1 2 δ ~ s1 = 0 (10.4)

Il faut ainsi trouver un moyen de supprimer le bruit de corrélation. L’astuce consiste alors à tirer parti de la forme caractéristique des chromatogrammes : les pics. Si un pic se distingue nettement du bruit, on peut facilement l’extraire en utilisant une fonction "seuil", c’est-à-dire en ne retenant que la partie du signal qui dépasse un certain niveau θ (figure10.4gauche).

FIGURE10.4 – Suppression du bruit de corrélation par filtrage seuil de niveau θ et lissage (exemple sur le signal b₁ de la figure 10.3). Signal b₁ (gauche), agrandissement sur un pic avant et après lissage (milieu) et signal total filtré (droite)

Le pic peut ensuite être lissé pour lui donner une forme plus régulière (figure10.4milieu). On note σ_θcette opération de seuil de niveau θ suivi d’un lissage, de sorte que :

s1 ' σθ(b1) (10.5) Cette opération de filtrage sur le signal b₁ est représentée sur l’exemple de la figure 10.4 où le niveau de seuil est pris égal à θ = 200 car le bruit de corrélation dû à s₂ est inférieur à cette valeur. Le lissage peut être effectué de différentes manières comme un filtrage fréquentiel, mais nous avons développé un filtrage spécifique permettant de respecter la forme des pics de chromatogra-phie. Ce dernier vise à reconstruire la base des pics si une discontinuité supérieure ou égale au

niveau du seuil est détectée. En quelques mots, il consiste à balayer le signal ayant subi un fil-trage par seuil ; si une discontinuité supérieure ou égale au niveau du seuil est détectée, alors on évalue le taux d’accroissement local du pic cela permet de reconstruire un signal continu ayant la forme naturelle d’un pic. De manière détaillée l’algorithme utilisé appliqué arbitrairement à b₁ est le suivant, où I est le nombre d’éléments du signal numérique b1:

• Supprimer la ligne de base éventuelle, puis appliquer à b1 le filtre seuil fθ de niveau θ, tel que :

f_θ(b₁)[i] = b1[i] b₁[i] ≥ θ

0 b₁[i] < θ ^(10.6) • Copier le résultat dans un tableau f’ de I éléments.

• Initialiser l’indice i entier à 0, et créer un tableau d’entiers t_J vide.

• Tant que i est inférieur à I − 1 : Détecter les discontinuités (montantes ou descendantes) dûes au seuil. Par exemple, pour une discontinuité montante, l’opération est : si f_θ(b₁)[i + 1] − f_θ(b₁)[i] ≥ θ, alors :

• Retenir l’indice de la discontinuité : J=i+1. J est-il dans t_J? Si oui, sortir de la boucle. Sinon, stocker J dans t_j et continuer.

• Calculer le rapport p donnant l’accroissement à la base du pic :

p = ^{fθ(b1)[J ]} f_θ(b₁)[J + 1]

• Tant que i est supérieur à 0, remplir le tableau f’ avec de nouvelles valeurs telle que : f⁰[i] ← f⁰[i] + pβ_pf_θ(b₁)[i + 1]

et décrémenter i. Le paramètre β_ppermet de régler la raideur de la décroissance. • Incrémenter l’indice i

• Le signal lissé est récupéré dans le tableau f’.

Après cette opération de filtrage, il est finalement possible de retrouver une approximation de s₂ à partir de σθ(b₁) : s₂ ' s0 2 = s₂+ _{N +1}² ((m⁰₂⊗ m₂) ~ s1− (m0 2⊗ m₁) ~ σθ(b₁)) = _{N +1}² (b₂− (m0 2⊗ m₁) ~ σθ(b₁)) ^(10.7) Le signal s⁰₂ alors obtenu peut être réutilisé de manière analogue sur b₁ pour obtenir un signal s⁰₁ proche de s1 :

s₁ ' s⁰₁ = ²

N + 1^(b1− (m⁰₁ ⊗ m₂) ~ s⁰2) (10.8) Il est alors possible d’appliquer à nouveau et si besoin un filtrage avec un niveau de seuil plus bas, permettant ainsi une meilleure approximation de s₁. Ce dernier pourra être utilisé pour retirer le bruit de corrélation du signal b₂ de manière plus efficace qu’au premier filtrage. Ainsi, on est alors en principe capable de reconstruire de proche en proche des versions exactes des chromatogrammes d’origine.

De plus, on remarque :

2

N +1b₁ = s₁+ _{N +1}² (m₂~ m⁰1) ⊗ s₂ = s₁+ _G¹

mε₂ ^(10.9)

où ε2est un terme correspondant à la somme ou à la soustraction de permutations de s2(dépendant de l’allure de la corrélation entre m1et m2).

FIGURE10.5 – Influence de l’ordre de la séquence sur le bruit de corrélation (exemple sur le signal b₁de la figure10.3) pour des séquences de taille 127, 511 et 2047. Signal b₁entier (gauche) et détail du bruit de corrélation (droite)

On rappelle que le gain mixte G_m représentant le rapport entre l’amplitude d’autocorrélation A_p et l’amplitude de la corrélation mixte A_md’une paire idéale est G_m = 2^{Int(M −1}2 )si M n’est pas un multiple de 4. Ainsi, d’après l’équation 10.9, augmenter l’ordre M de la séquence permet de diminuer l’amplitude du bruit de corrélation, ce qui permet un filtrage plus efficace par application d’un seuil plus bas.

L’influence de l’ordre est illustré dans l’exemple de la figure10.5faisant figurer les signaux b1

obtenus de manière simulée pour des injections de taille 127, 511 et 2047. Les gains mixtes Gm

correspondants à ces tailles de séquence sont 8, 16 et 32 respectivement (voir tableau 6.4 page

90). On observe que l’amplitude du bruit de corrélation pour le signal correspondant à N=127 est effectivement deux fois supérieure à celle de l’injection avec N=511 et 4 fois supérieure à l’injection avec N=2047.

FIGURE 10.6 – Influence d’un déséquilibre d’amplitude des pics des signaux s1 et s2 sur les si-gnaux b1et b2

Enfin, si les pics des deux signaux d’intérêt s1et s2sont du même ordre de grandeur (max s1 ' max s₂), alors les signaux b1et b2présenteront tous deux des pics visibles (figure10.6, graphes du haut), et le rapport de taille entre la taille des pics visibles et le bruit de corrélation sera de l’ordre de G_m. Dans ce cas, le filtrage peut être appliqué indifféremment à b₁ ou b₂.

Cependant, si les concentrations d’échantillon sont très déséquilibrées, par exemple si l’échan-tillon s₁est beaucoup plus concentré que l’échantillon s₂(exemple en figure10.6, graphes du bas), alors le signal b2sera noyé dans le bruit de corrélation dû à la grande taille des pics de s1. Toutefois, cela signifie a contrario que les pics de s2induisent un faible bruit de corrélation dans b1. Ainsi, il faudra dans un premier temps appliquer le filtrage à b1 afin d’extraitre le bruit dans b2.

Pour résumer, l’algorithme de déconvolution du signal résultant de l’injection multiple pour deux échantillons est le suivant :

• Choisir une période s_m du régime périodique du signal de sortie. Cette période a la durée de l’injection d’une M-séquence.

• Calculer les signaux b1 et b2(equations10.2et10.3)

• Rechercher le signal b_kayant les pics les plus distincts du bruit (k ∈ {1; 2})

• Effectuer une opération de seuil et de lissage de niveau θ, σ_θ, sur le signal bisélectionné. Le niveau θ doit être supérieur au bruit de corrélation.

• Réutiliser ce signal σθ(b1) ou σθ(b2) pour extraire le bruit dans b2 ou b1 respectivement (équation10.7)

• Ainsi de suite, on peut réutiliser ces signaux de plus en plus exacts pour supprimer complè-tement le bruit de corrélation présent dans b1et b2.