Comparaison au modèle théorique de Stanke & Kino

Pour évaluer la fiabilité des résultats des simulations numériques, les valeurs d’atténuation simulées sont confrontées aux prédictions théoriques quantifiées par la théorie unifiée de Stanke & Kino [5]. Ce modèle théorique est valide dans les trois régimes du phénomène de diffusion qui sont les régimes de Rayleigh, stochastique et géométrique. Le régime de Rayleigh est établi en basses

fréquences (𝜆𝐿⁄𝑑̅ ≫1 ou 𝑘𝐿𝑑̅ ≪ 1). Dans ce régime, le coefficient d’atténuation des ondes longitudinales évolue d’une manière monotone en fonction de la fréquence 𝑓 et de la taille de grains 𝑑̅ selon une loi qui dépend de 𝑓4𝑑̅ ³. Ensuite, le régime de diffusion stochastique se produit aux fréquences intermédiaires (𝜆_𝐿⁄𝑑̅ ≈ 1 ou 𝑘_𝐿𝑑̅ ≈ 1) et le coefficient d'atténuation augmente également en fonction de la fréquence et de la taille de grains selon une loi en 𝑓2𝑑¯. Enfin, dans le régime géométrique à très hautes fréquences (𝜆𝐿⁄𝑑¯ ≪1ou 𝑘𝐿𝑑¯ ≫ 1), le coefficient d'atténuation devient indépendant de la fréquence et ne dépend que de 1 𝑑¯⁄ . Les transitions entre les régimes de Rayleigh-stochastique et Rayleigh-stochastique-géométrique se traduisent par deux bosses successives : une bosse concave et une autre convexe. La dépendance fréquentielle du coefficient d’atténuation dans ces régimes transitoires peut varier avant de converger vers l'asymptote stochastique ou l’asymptote géométrique de 𝑓4 à 𝑓3. Par ailleurs, Bai & Tie [39-41] a montré par son modèle d’atténuation 2D adapté à partir du modèle 3D de Stanke & Kino [5] qu'en 2D la dépendance fréquentielle et dimensionnelle de l’atténuation dans les régimes de Rayleigh et stochastique sont respectivement 𝑓³ 𝑑¯ et 𝑓2 2 𝑑.

D’un point de vue théorique, la comparaison des résultats numériques aux prédictions théoriques nécessite la normalisation du coefficient atténuation par une multiplication avec la taille de grains 𝛼𝐿𝑑̅. Les valeurs théoriques et numériques normalisées sont ensuite tracées sur une échelle logarithmique en fonction de la fréquence normalisée 𝑥0𝐿 exprimée par le produit entre le nombre d’onde longitudinale et la taille moyenne de grains 𝑘_𝐿𝑑̅. Dans cette représentation, l’atténuation calculée par le modèle théorique de Stanke & Kino est exprimée en fonction de 𝑥0𝐿, c’est-à-dire en fonction du rapport 𝜆𝐿⁄𝑑̅ de la longueur d’onde sur la taille moyenne de grains. La Figure IV-10 confronte les courbes d’atténuation simulées en 3D avec la courbe d’atténuation analytique 3D établie par la théorie unifiée de Stanke & Kino [5]. Nous notons que les valeurs d’atténuations numériques sont obtenues par des simulations réalisées pour des microstructures artificielles non maclées qui sont caractérisées par quatre distributions des tailles différentes. Ces distributions sont définies par les tailles moyennes de grains 𝑑 et les écart-types Σ suivants : 𝑑 = 300 𝜇𝑚 et 𝛴 = 130 𝜇𝑚, 𝑑 = 500 𝜇𝑚 et 𝛴 = 200 𝜇𝑚, 𝑑 = 775 𝜇𝑚 et Σ = 278 𝜇𝑚, et 𝑑 = 1000 𝜇𝑚 et 𝛴 = 315 𝜇𝑚.

Figure IV-10 : Comparaison entre les prédictions théoriques d'atténuation des ondes longitudinales calculées par le modèle 3D de Stanke & Kino [5] et les valeurs numériques obtenues des simulations 3D réalisées à 2,25MHz pour des microstructures isotropes de l‘Inconel600, caractérisées par des tailles moyennes de grains et des écart-types : 𝑑 = 300 𝜇𝑚 et 𝛴 = 130 𝜇𝑚, 𝑑 = 500 𝜇𝑚 et 𝛴 = 200 𝜇𝑚, 𝑑 = 775 𝜇𝑚 et 𝛴 = 278 𝜇𝑚, et 𝑑 = 1000 𝜇𝑚 et 𝛴 = 315 𝜇𝑚. Régime de Rayleigh 𝜶𝑳^𝟑𝑫 ∝ 𝒇 𝟒 𝒅^̅ 𝟑 Régime transitoire Régime stochastique 𝜶𝑳^𝟑𝑫 ∝ 𝒇 𝟐 𝒅^̅

La Figure IV-10 montre que les courbes numériques 3D suivent bien l’allure de la courbe théorique 3D du modèle de Stanke & Kino [5]. Elle montre également que la simulation 3D est capable de modéliser qualitativement l'évolution des comportements du phénomène d’atténuation dans le régime de diffusion de Rayleigh et le régime de transition. De plus, aux basses fréquences 𝑥0𝐿< 0,6 (𝑙𝑜𝑔₁₀(𝑥_0𝐿) < −0,22), un très bon accord l’asymptote de Rayleigh et une partie de la courbe numérique obtenue pour la taille moyenne de grains 𝑑 = 300 𝜇m est noté. Cela confirme que la dépendance fréquentielle de quatrième ordre 𝑘𝐿⁴ (ou 𝑓4) est bien établie par la simulation 3D dans le régime de Rayleigh. La transition entre les régimes de diffusion de Rayleigh et stochastique se produit aussi numériquement pour les cas de tailles de grains 𝑑 = 500 𝜇𝑚, 𝑑 = 775 𝜇m et 𝑑 = 1000 𝜇𝑚 à partir d’une fréquence normalisée 𝑥0𝐿> 0,6 (𝑙𝑜𝑔10(𝑥_0𝐿) > −0,22). Ce régime transitoire est défini par une première pente concave se présente sur une plage de fréquence normalisée de 0,6 < 𝑥0𝐿< 3,16 (−0,22 < 𝑙𝑜𝑔₁₀(𝑥_0𝐿) < 0,5) et une deuxième pente convexe établie aux hautes fréquences sur une bande fréquentielle de 3,16 < 𝑥0𝐿< 7,94 (0,5 < 𝑙𝑜𝑔₁₀(𝑥_0𝐿) < 0,9). Les résultats numériques révèlent donc un changement au niveau de la dépendance fréquentielle du coefficient d’atténuation des ondes longitudinales.

Les valeurs d’atténuation simulées en 2D sont calculées pour des microstructures virtuelles caractérisées par trois distributions différentes, définies par les tailles moyennes de grains 𝑑 et les écart-types 𝛴 suivants : 𝑑 = 500 𝜇𝑚 et 𝛴 = 150 𝜇𝑚, 𝑑 = 775 𝜇𝑚 et 𝛴 = 216 𝜇m, et 𝑑 = 1000 𝜇𝑚 et 𝛴 = 278 𝜇𝑚. Sur la Figure IV-11 nous comparons les valeurs d’atténuation simulées avec des prédictions théoriques quantifiées par le modèle 2D Stanke & Kino [39-41]. Nous rappelons que ce modèle est développé par Bai & Tie [39-41] en adaptant la théorie 3D de Stanke & Kino [5] en dimension 2D.

Figure IV-11 : Comparaison entre les prédictions théoriques d'atténuation des ondes longitudinales calculées par le modèle théorique 2D de Stanke & Kino [39-41] et les valeurs obtenues des simulations 2D réalisées à 2,25MHz pour des microstructures isotropes de l‘Inconel600, caractérisées par des tailles moyennes de grains et des écart-types : 𝑑 = 500 𝜇𝑚 et 𝛴 = 150 𝜇𝑚, 𝑑 = 775 𝜇𝑚 et 𝛴 = 216 𝜇𝑚, et 𝑑 = 1000 𝜇𝑚 et 𝛴 =

278 𝜇𝑚.

La figure ci-dessus révèle une bonne cohérence entre la courbe d’atténuation théorique 2D et les courbes numériques 2D dans le régime de Rayleigh et la transition Rayleigh-stochastique. En comparant les courbes d’atténuation 2D et 3D présentées sur la Figure IV-10 et la Figure IV-11, nous constatons que le régime transitoire est établi en 2D légèrement plus tôt qu’en 3D sur une bande de

Régime stochastique 𝜶_𝑳𝟐𝑫 ∝ 𝒇 𝟐 𝒅̅ Régime de Rayleigh 𝜶_𝑳𝟐𝑫 ∝ 𝒇 𝟑 𝒅^̅ 𝟐 Régime transitoire

fréquence normalisée de 0,56 < 𝑥0𝐿< 7,94 (−0,25 < 𝑙𝑜𝑔10(𝑥_0𝐿) < 0,9). En outre, nous remarquons que la première pente concave est reproduite fidèlement aux basses fréquences par les résultats numériques 2D obtenus pour 𝑑 = 500 𝜇𝑚 (courbe verte). Cependant, cette pente n’apparaît pas pour 𝑑 = 775 𝜇𝑚 et 𝑑 = 1000 𝜇𝑚 (courbes rouge et bleue). En effet, aux basses fréquences, nous constatons que la tendance de ces courbes ne se rapproche pas de l’asymptote analytique de Rayleigh mais elle prend une évolution constante sous forme d’un plateau. Par ailleurs, la deuxième bosse théorique convexe est confirmée aux hautes fréquences par les valeurs d’atténuation simulées en 2D pour les tailles de grains 𝑑 = 775 𝜇𝑚 et 𝑑 = 1000 𝜇𝑚. Il est aussi important de noter qu’à cet ordre de grandeur de tailles de grains, les calculs EF 2D et 3D n’explorent pas les régimes stochastique et géométrique.

En se référant à la Figure I-16, la Figure IV-10 et la Figure IV-11, nous pouvons conclure que la dimension 2D surestime l’atténuation dans le régime de Rayleigh et sous-estime l’atténuation dans le régime de transition Rayleigh-stochastique par rapport à la dimension 3D. L’origine de ce changement est liée à la variation de la dépendance fréquentielle du coefficient d’atténuation entre les dimensions 2D et 3D dans ces deux régimes. Cela peut être aussi expliqué par le fait que les simplifications imposées par la dimension 2D à l’échelle microscopique réduit la section efficace de la diffusion des ondes d’un volume de grains 𝑑̅ 3 à une surface de grains 𝑑̅ 2. Au contraire, nous notons que les modèles théoriques montrent que le passage de 3D en 2D n’induit aucun changement au niveau du comportement du coefficient d’atténuation dans le régime stochastique.

Ces résultats sont très cohérents avec des résultats issus des travaux de Bai & Tie [39-41] et Van Pamel [84, 111]. En effet, les auteurs ont montré que l’atténuation par diffusion suit une loi qui peut être exprimée par 𝛼𝐿∝ 𝑓^𝑛+1 𝑑̅ ^𝑛 dans le régime de Rayleigh et 𝛼𝐿 ∝ 𝑓² 𝑑̅dans le régime stochastique où n désigne la dimension du calcul (𝑛 = 1 en 1D, 𝑛 = 2 en 2D et 𝑛 = 3 en 3D).