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CHAPITRE I : ÉTAT DE L’ART DE LA PROPAGATION DES ONDES ULTRASONORES

I.6. M ODELES D ’ ATTENUATION SPECIFIQUES AUX MATERIAUX NON TEXTURES A GRAINS EQUIAXES 24

I.6.3. Modèle de Stanke & Kino

I.6.3.2. Formules d'atténuation ultrasonore dans le cas général

Le point de départ est toujours l'équation d'onde élastique harmonique sans aucun terme source à l'intérieur d’un milieu élastique occupant un domaine Ω, définie par un tenseur d’élasticité 𝐶(𝑥) et une masse volumique 𝜌0. L’équation de la propagation de l’onde s'écrit sous la forme suivante :

𝑑𝑖𝑣𝑥 (𝜎(𝑥, 𝜔)) + 𝜌0 𝜔2 𝑢(𝑥, 𝜔) = 0 (I.114)

où 𝑢(𝑥, 𝜔) désigne la transformée de Fourier du champ de déplacement variable dans le temps 𝑢(𝑥, 𝑡), 𝑑𝑖𝑣𝑥 est l'opérateur de divergence d'un tenseur du second ordre par rapport à la position x, 𝜔 = 2𝜋𝑓 désigne la fréquence angulaire et 𝜎(𝑥, 𝜔) est le tenseur de contrainte défini par la relation suivante :

𝜎(𝑥, 𝜔) = 𝐶(𝑥) ∶ 𝜀(𝑥, 𝜔) (I.115)

avec 𝜀(𝑥, 𝜔) est le tenseur de déformation qui peut être exprimé en fonction du champ de déplacement 𝑢(𝑥) :

𝜀(𝑥, 𝜔) =1

2 [ ∇𝑥(𝑢(𝑥, 𝜔)) + ∇𝑥

𝑇(𝑢(𝑥, 𝜔))] (I.116)

En définissant un opérateur linéaire 𝐿(𝑥), l’équation (I.114) peut s’écrire sous la forme générique suivante :

𝐿(𝑥) 𝑢(𝑥, 𝜔) = 0 (I.117)

Cet opérateur est noté 𝐿0 dans le milieu homogène équivalent. En se basant sur les hypothèses dérivantes de l'hétérogénéité du matériau, 𝐿0 est considéré indépendant de la position x, inversible et légèrement différente de 𝐿(𝑥). De ce fait, nous pouvons développer 𝐿(𝑥) à partir de 𝐿0 grâce à la théorie des perturbations du second ordre [5, 35] :

𝐿(𝑥) = 𝐿0− 𝜉 𝐿1(𝑥) − 𝜉2 𝐿2(𝑥) − 𝑜( 𝜉3) (I.118) 𝐿1(𝑥) et 𝐿2(𝑥) sont respectivement les opérateurs des perturbations du premier et du second ordre caractérisant les effets de l’inhomogénéité du matériau.

L'objectif est de trouver la solution du champ de déplacement moyen 〈𝑢(𝑥)〉. En appliquant l'approximation de Keller du second ordre [35], une équation explicite de 〈𝑢(𝑥)〉 précis à l’ordre de 𝜉2, s’écrit comme suit [5]:

{𝐿0− 𝜉〈𝐿1(𝑥)〉 − 𝜉2[〈𝐿1(𝑥) (𝐿0)−1 𝐿1(𝑥)〉 − 〈𝐿1(𝑥)〉 (𝐿0)−1 〈𝐿1(𝑥)〉

+ 〈𝐿2(𝑥)〉]} 〈𝑢(𝑥)〉 = 0 (I.119)

L’application de l'approximation de Keller du second ordre dans l’équation (I.118) permet de prendre en considération les effets de la diffusion multiple. Pour utiliser cette approximation, nous définissons par la relation (I.79), la perturbation ou la variation du tenseur d'élasticité local par rapport au tenseur d’élasticité isotrope 𝐶0 «non perturbé» : 𝛿𝐶(𝑥) = 𝐶(𝑥) − 𝐶0. Par conséquent, les opérateurs 𝐿0, 𝐿1(𝑥) et 𝐿2(𝑥) sont définis par les relations suivantes :

𝜉 𝐿1(𝑥) 𝑢(𝑥) = − 𝑑𝑖𝑣𝑥 [𝛿𝐶(𝑥) ∶ 𝜀(𝑢(𝑥))] (I.121) 𝜉𝑛 𝐿𝑛(𝑥) 𝑢(𝑥) = 0, 𝑛 > 1 (I.122) En substituant les équations (I.120) – (I.122) dans l’équation (I.119), nous constatons que la solution de déplacement moyen 〈𝑢(𝑥)〉 satisfait à l'équation suivante :

𝜌0 𝜔2 〈𝑢(𝑥)〉 + 𝑑𝑖𝑣𝑥 [𝐶0: 𝜀(〈𝑢(𝑥)〉)] + 𝑑𝑖𝑣𝑥[𝛿𝐶(𝑥): 𝜀(〈𝑢(𝑥)〉)] − 〈𝑑𝑖𝑣𝑥[𝛿𝐶(𝑥): ∫ 𝛻𝑥(𝐺(𝑥 − 𝑥)) Ω : 𝑑𝑖𝑣𝑥 [𝛿𝐶(𝑥): 𝜀(〈𝑢(𝑥)〉)]𝑑Ω]〉 + 𝑑𝑖𝑣𝑥[〈𝛿𝐶(𝑥)〉: ∫ 𝛻𝑥(𝐺(𝑥 − 𝑥)) Ω 𝑑𝑖𝑣𝑥[〈𝛿𝐶(𝑥)〉 ∶ 𝜀(〈𝑢(𝑥)〉)]𝑑Ω] = 0 (I.123)

où le terme (𝐿0)−1 présent dans (I.119), est définie comme une intégrale exprimée en fonction du tenseur de la fonction de Green 𝐺(𝑥 − 𝑥′). nous notons que 𝐺 dans un milieu homogène isotrope est définie par la formule suivante [29]:

𝐺(𝑥 − 𝑥) = 1 4𝜋 𝜌0𝜔2{ 𝛻𝑟(𝛻𝑟( 𝑒 𝑖𝑘0𝑇 𝑟 𝑟 𝑒𝑖𝑘0𝐿 𝑟 𝑟 )) + 𝑘0𝑇 2 𝑒𝑖𝑘0𝑇 𝑟 𝑟 𝐼3 } (I.124) où 𝑟 est un vecteur défini par 𝑟 = 𝑥 − 𝑥, 𝐼3est le tenseur d’identité de dimensions 3 et 𝑘0𝐿 , 𝑘0𝑇 sont les nombres d’ondes L et T qui peuvent être calculées à partir des vitesses 𝑉0𝐿 et 𝑉0𝑇 dans le milieu homogène : 𝑘0𝐿= 𝜔 𝑉0𝐿 (I.125) 𝑘0𝑇 = 𝜔 𝑉0𝑇 (I.126) 𝑉0𝐿= √𝐶11 0 𝜌0 (I.127) 𝑉0𝑇 = √𝐶44 0 𝜌0 (I.128)

où 𝜔 = 2𝜋𝑓 est la fréquence angulaire et 𝐶110, 𝐶440 , 𝐶120 sont les constantes d’élasticité homogénéisées. L'équation (I.123) est valable pour toutes les fréquences sur la base de l'hypothèse fondamentale de faible anisotropie 𝜉 ≪ 1. Les termes situés à gauche de cette relation peuvent être faciles à interpréter. Le premier et le second terme présentent l'approximation du premier ordre 𝑢0 et 𝑢(𝑥) qui caractérisent la solution de l'équation de propagation de l’onde dans le milieu homogène équivalent :

𝑑𝑖𝑣𝑥 [𝐶0: 𝜀(𝑢0)] + 𝜌0 𝜔2 𝑢0 = 0 (I.129) Le troisième terme est impliqué par la perturbation du premier ordre du champ réel due à la diffusion des ondes ultrasonores. Les deux derniers termes sont associés à l'approximation du second ordre, ce qui introduit un certain degré de diffusion multiple puisque les interactions entre deux points arbitraires sont prises en compte. Par ailleurs, les auteurs [5] supposent que la perturbation du tenseur d’élasticité 𝛿𝐶(𝑥) dans chaque grain est constante et est notée 𝛿𝐶𝐼 pour le 𝐼𝑡ℎ grain 𝑔𝐼 où 𝛾𝐼 désigne sa fonction caractéristique (𝛾𝐼= 1 dans 𝑔𝐼 et 𝛾𝐼 = 0 ailleurs). Nous pouvons donc exprimer la perturbation du tenseur d’élasticité par 𝛿𝐶 = ∑ 𝛿𝐶 𝐼 𝐼 𝛾𝐼. La moyenne de la variation du tenseur d’élasticité 〈𝛿𝐶〉 est affectée seulement par la texture cristallographique du matériau texturé et est égale à 0 lorsque le matériau est non texturé. En se basant sur l'hypothèse du matériau monophasé, nous représentons la moyenne sur toutes les orientations cristallographiques par 〈𝛿𝐶𝐼〉. Ce dernier devient par la suite 〈𝛿𝐶𝑔〉 puisqu’il est indépendant de grains. En supposant que la perturbation

des constantes d'élasticité et la fonction caractéristique varient indépendamment, la fonction de corrélation moyenne du tenseur d’élasticité dans deux points différents x et 𝑥 〈𝛿𝐶(𝑥)𝛿𝐶(𝑥)〉 peut-être définie par la relation suivante :

〈𝛿𝐶(𝑥) 𝛿𝐶(𝑥)〉 = 𝑊(𝑟) 〈𝛿𝐶𝑔 𝛿𝐶𝑔〉 + (1 − 𝑊(𝑟)) 〈𝛿𝐶𝑔〉 〈𝛿𝐶𝑔〉 (I.130) où 𝑊 est la fonction de corrélation spatiale permettant de caractériser la distribution géométrique de grains équiaxes dans la microstructure polycristalline. Elle est définie comme la probabilité que deux points x et 𝑥 distants de 𝑟 = |𝑟| = |𝑥 − 𝑥| soient dans le même grain.

Par conséquent, l’équation (I.123) dévient :

𝜌0 𝜔2 〈𝑢(𝑥)〉 + 𝑑𝑖𝑣𝑥 [𝐶0: 𝜀(〈𝑢(𝑥)〉)] + 𝑑𝑖𝑣𝑥 [〈𝛿𝐶𝑔〉 ∶ 𝜀(〈𝑢(𝑥)〉)]

− [〈𝛿𝐶𝑔 𝛿𝐶𝑔〉 − 〈𝛿𝐶𝑔〉 〈𝛿𝐶𝑔〉] ∶ 𝑄(𝑥) = 0 (I.131) où Q est un tenseur d'ordre 7, exprimé par la formule suivante

𝑄𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛𝑝𝑞(〈𝑢〉, 𝑥) = 𝜕 𝜕𝑥𝑗 [∫ 𝜕𝐺𝑘𝑚 (𝑟) 𝜕𝑥𝑙 Ω 𝜕 𝜕𝑥𝑛 [𝑊(𝑟) 𝜕〈𝑢𝑝(𝑥)〉 𝜕𝑥𝑞 ] 𝑑Ω] (I.132)

Pour résoudre l’équation (I.131), le champ moyen du milieu hétérogène est supposé sous la forme d’une onde plane se propageant dans ce milieu :

〈𝑢(𝑥)〉 = 𝑈⃗⃗ 𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑘𝑥. 𝑘⃗ ) (I.133)

où 𝑈⃗⃗ est le vecteur de polarisation, 𝑘⃗ est le vecteur d’onde définissant la direction de propagation et 𝑘 = 𝜔 𝑉⁄ − 𝑖𝛼 désigne le nombre d’ondes complexe exprimé en fonction de la vitesse de phase 𝑉 et le coefficient d’atténuation 𝛼.

La substitution de l’expression (I.133) de 〈𝑢(𝑥)〉 dans l’équation (I.131) permet d’obtenir une nouvelle équation d’une forme similaire à l’équation de Christoffel :

[𝛤 − 𝜌0 𝜔2 / 𝑘2] . 𝑈⃗⃗ = 0 (I.134)

avec Γ est un tenseur acoustique symétrique du second ordre, défini par la relation suivante : 𝛤𝑖𝑘 = {𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙0 + 〈𝛿𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑔 〉 + 𝐴𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛𝑝𝑞 𝑃𝑘𝑙𝑚𝑛} (I.135)

où le terme 𝑃𝑘𝑙𝑚𝑛 est défini par : 𝑃𝑘𝑙𝑚𝑛= ∫ 𝐺𝑘𝑚(𝑟) 𝜕2

𝜕𝑟𝑛𝑟𝑙

𝛺 [𝑊(𝑟) 𝑒𝑖𝑘𝑘⃗ .𝑟] 𝑑𝛺 et le terme 𝐴𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛𝑝𝑞 est exprimé par la formule suivante :

𝐴𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛𝑝𝑞 = [〈𝛿𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑔 𝛿𝐶𝑚𝑛𝑝𝑞𝑔 〉 − 〈𝛿𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑔 〉 〈𝛿𝐶𝑚𝑛𝑝𝑞𝑔 〉] (I.136) Dans le milieu homogène équivalent et en absence de l’atténuation par diffusion, le tenseur acoustique 𝛤0 peut être exprimé de la manière suivante :

𝛤0(𝑘⃗ ). 𝑈⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀0 𝜌𝜔2 𝑘0𝑀2𝑈𝑀

0

⃗⃗⃗⃗⃗ (I.137)

où l’indice 𝑀 définit le mode d’ondes : 𝑀 = 𝐿, 𝑇 et 𝑈⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑈𝐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗ sont les vecteurs de polarisation des ondes 𝑇0

L et T qui sont respectivement parallèle et perpendiculaire à la vecteur d’onde 𝑘⃗ .

Le calcul des coefficients d’atténuation des ondes L et T nécessite la résolution de l’équation (I.134). Pour cette objectif et comme dans le modèle de Weaver [16], Stanke & Kino [5] utilisent une fonction de corrélation spatiale 𝑊 de forme exponentielle :

𝑊(𝑟) = 𝑒𝑥𝑝 [−2 𝑟

𝑑 ] (I.138)

Nous rappelons que 𝑟 = |𝑟| = |𝑥 − 𝑥| est la distance entre les points 𝑥 et 𝑥, et 𝑑 est le diamètre moyen de grains. Une autre hypothèse des grains à symétrie cubique est nécessaire pour évaluer analytiquement la moyenne de la perturbation des constantes d’élasticité du monocristal en deux points différents. Cette hypothèse est définie par les formules suivantes :

〈𝛿𝐶33𝑘𝑙𝑔 𝛿𝐶𝑚𝑛33𝑔 〉 = 〈𝛿𝐶2 𝑘𝑙𝑚𝑛𝐿 (I.139) 〈𝛿𝐶13𝑘𝑙𝑔 𝛿𝐶𝑚𝑛13𝑔 〉 = 〈𝛿𝐶2 𝑘𝑙𝑚𝑛𝑇 (I.140) Les composantes caractérisant la moyenne de la variation du tenseur d’élasticité 〈𝛥𝐶2 〉 est définie par les expressions présentées dans l’Annexe D.1.

Après avoir substitué les expressions (I.133) et (I.138) dans les équations (I.134) et (I.135), et réalisé les calculs de dérivation et d’intégration nécessaires, les auteurs obtiennent un développement analytique sous forme deux équations proportionnelles aux coefficients d’atténuation 𝛼𝐿 et 𝛼𝑇. Ces équations sont présentées dans l’Annexe D.2 (équations (D.3) et (D.4)). Ces dernières sont des équations implicites qui ne possèdent pas des solutions analytiques exactes. Pour cette raison, Stanke & Kino [5] utilisent des méthodes numériques pour obtenir des prédictions unifiées des coefficients d’atténuation. Par ailleurs, il est possible d’appliquer l'approximation de Born pour obtenir des solutions analytiques approchées comme dans le modèle de Weaver [16]. Cette dernière consiste à réaliser les approximations suivantes dans les relations (D.3) et (D.4) : 𝑥𝐿2− 𝑥0𝐿2 ≈ 2 𝑥0𝐿(𝑥𝐿− 𝑥0𝐿), 𝑥𝑇2− 𝑥0𝑇2≈ 2 𝑥0𝑇(𝑥𝑇− 𝑥0𝑇) dans les termes situés à gauche et 𝑥𝐿≈ 𝑥0𝐿, et 𝑥𝑇 ≈ 𝑥0𝑇 dans les termes situés à droite.

Dans la littérature, cette théorie a fait la base des plusieurs études. Dans ce contexte, Kubé [37, 38] a fourni une solution unifiée pour l’atténuation des onde L en résolvant numériquement l’équation (D.3) par une méthode itérative. Les valeurs obtenues de la solution unifiée sont comparées avec celles obtenues par la solution analytique approchée proposée par Stanke & Kino [5] et celle de Weaver [16]. Les prédictions théoriques sont relevées pour le matériau isotrope Inconel600 caractérisé par une taille moyenne de grains de 1000 µm. Les propriétés élastiques de l’Inconel600 sont illustrées dans le Tableau I-2. Les valeurs d’atténuation sont tracées en fonction de la fréquence f sur la Figure I-14.a. Les valeurs du coefficient d’atténuation normalisées 𝛼𝐿𝑑̅ sont aussi présentées en fonction de la fréquence normalisée 𝑥0𝐿= 𝑘0𝐿𝑑̅ en échelle logarithmique sur la Figure I-14.b. Pour évaluer la dépendance fréquentielle et dimensionnelle des courbes d’atténuation, nous traçons également les valeurs asymptotiques dans les trois régimes de diffusion de Rayleigh, stochastique et géométrique, quantifiées par les relations suivantes :

𝛼𝐿𝑅𝑎𝑦𝑙𝑒𝑖𝑔ℎ = 7 20[1 + 3 2( 𝑉0𝐿 𝑉0𝑇) 5 ] 𝜉𝐿2 𝑘0𝐿4 𝑑3 (I.141) 𝛼𝐿𝑠𝑡𝑜𝑐ℎ𝑎𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒= 𝜉𝐿2 𝑘0𝐿2 𝑑 (I.142) 𝛼𝐿𝑔é𝑜𝑚𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒=1 𝑑 (I.143)

où 𝜉𝐿 et 𝜉𝑇 sont respectivement les degrés de l’inhomogénéité des ondes L et T, qui peuvent être approximés par les relations suivantes :

𝜉𝐿24 525 𝑎𝑐2 (𝐶110)2 (I.144) 𝜉𝑇23 700 𝑎𝑐2 (𝐶440 )2 (I.145)

a) b)

Figure I-14 : Variations des valeurs d’atténuation des ondes longitudinales calculées par le modèle de Stanke & Kino [5] appliqué au matériau isotrope Inconel600 caractérisé par une taille moyenne de grains de 1000 μm, en fonction de la : a) fréquence 𝑓 et b) fréquence normalisée 𝑥0𝐿= 𝑘0𝐿𝑑̅ en échelle logarithmique. Les valeurs d’atténuation sont calculées par la solution unifiée obtenue par une méthode numérique, implémentée par Kubé [37, 38] et la solution analytique approchée obtenue par l’application de l’approximation de Born [5].

Sur la Figure I-14.a, nous observons une croissance monotone des valeurs d’atténuation obtenues par le modèle de Stanke & Kino [5] (solution unifiée (courbe rouge) et solution approchée (courbe noire) et le modèle de Weaver [16] (courbe verte) en fonction de la fréquence du capteur sur une plage de [0 – 12] MHz. Il apparaît que les solutions analytiques approchées des deux modèles donnent les mêmes valeurs d’atténuation des ondes L. Par ailleurs, en comparant les valeurs approchées avec celles calculées par la solution unifiée de Stanke & Kino [5], nous constatons que les valeurs d’atténuation sont très similaires sur une plage fréquentielle de [0 – 5] MHz. Ensuite, nous remarquons un changement au niveau de la variation de l’atténuation à partir de 5 MHz. Cette observation est confirmée aussi par la Figure I-14.b. Sur cette figure, un écart maximal de 0,4% entre les courbes des deux solutions approchées et la solution unifiée est observé pour une fréquence normalisée 𝑥0𝐿= 7,94 (𝑙𝑜𝑔10(𝑥0𝐿) = 0,9). Cette figure montre aussi que la dépendance fréquentielle et dimensionnelle de l'atténuation des ondes L respectivement de 𝑘𝐿4 et 𝑑 3est confirmée par les différentes courbes dans le domaine de Rayleigh, aux basses fréquences : 𝑥0𝐿≤ 0,18 (𝑙𝑜𝑔(𝑥0𝐿) ≤ − 0,75). D’autre part, dans le domaine stochastique, nous observons une dépendance fréquentielle et dimensionnelle de l'atténuation respectivement de 𝑘𝐿2 et 𝑑 aux intermédiaires fréquences : 5,75 ≤ 𝑥0𝐿≤ 11,22 (0,76 ≤ 𝑙𝑜𝑔(𝑥0𝐿) ≤ 1, 05). La transition entre les deux régimes de Rayleigh et stochastique est également prouvée par les deux courbes dans laquelle la dépendance en fréquence peut varier avant de converger vers l'asymptote stochastique. Cette transition explique un changement du mécanisme de diffusion qui se produit par une bosse concave et une autre convexe dans une plage des fréquences normalisées de 0,18 ≤ 𝑥0𝐿≤ 5,75 (−0,75 ≤ 𝑙𝑜𝑔(𝑥0𝐿) ≤ 0,76). Les prédictions d’atténuation quantifiées par la théorie unifiée montrent une grande pertinence par rapport à la solution analytique approchée de Stanke & Kino [5] et le modèle de Weaver [16] à reproduire le régime géométrique. Ce dernier se traduit dans la Figure I-14.b par un plateau qui apparaît aux très hautes fréquences : 𝑥0𝐿 = 11,22 (𝑙𝑜𝑔(𝑥0𝐿) = 1,05). Il est donc important de noter que l'application de l'approximation de Born [5, 35] ne peut pas reproduire le régime géométrique puisqu’elle n'est pas valable dans le régime fréquentiel au-delà du régime stochastique.