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CHAPITRE II : MATERIAUX ETUDIES ET METHODES DE CALCUL

III.2. M ODELISATION DES MICROSTRUCTURES POLYCRISTALLINES

III.2.2. Modélisation 3D

III.2.2.1. Modèle 3D de la microstructure équiaxe

Le logiciel DREAM.3D® a été initialement conçu pour l’analyse d’images 3D. Ainsi, à la différence des codes utilisant les diagrammes de Voronoï [80-87] ou des dérivés, le logiciel DREAM.3D® [36, 88-90] crée directement des microstructures discrétisées en voxels.

a) Description géométrique et morphologique

La représentation géométrique et morphologique consiste à définir une subdivision spatiale d’un volume cubique en un ensemble de grains équiaxes 𝑁𝐺 distribués d’une manière spécifique. Par conséquent, chaque grain de la microstructure polycristalline simulée est constitué par un nombre de voxels donné (mailles cubiques) (voir Figure III-14.a). Dans ce contexte, DREAM.3D® [36, 88-90] utilise une approche statistique qui permet de spécifier une distribution cible de taille de grains. Cette distribution est caractérisée par la fonction de densité de probabilité log-normale 𝑓(𝑑) (voir Figure III-14.b) :

𝑓(𝑑) = 1

𝑑 𝜎 √2𝜋𝑒𝑥𝑝(−

(𝑙𝑜𝑔(𝑑) − 𝜇)2

2𝜎2 ) (III.28)

où la variable 𝑑 est le diamètre équivalent de grains et 𝜇, 𝜎 définissent respectivement l’espérance et l’écart-type du logarithme du diamètre de grains 𝑑 (dans l’espace logarithmique).

Il est important de noter que la distribution des tailles de grains peut être indiquée par la moyenne arithmétique du diamètre de grains 𝑑 = 𝑒𝑥𝑝(𝜇 + 𝜎2⁄ ) et par l’écart-type Σ correspondant 2 qui sont exprimés dans l’espace linéaire en 𝜇𝑚. La distribution des tailles de grains cible peut être contrôlée par les paramétres statistiques d’entrée 𝜎 et 𝜇.

La Figure III-14.a présente un exemple de la microstructure équiaxe créée par DREAM.3D®

[36, 88-90] La Figure III-14.b expose la distribution log-normale des tailles de grains obtenue de la microstructure équiaxe générée. Ces figures montrent que la fonctionnalité de DREAM.3D® [36, 88-90] permet de créer des microstructures qui présentent des distributions des tailles beaucoup plus proche de la réalité qu’une tessellation de Poisson-Voronoï [80-87] (dont la distribution est très étroite et ne peut pas être contrôlée).

b) a)

Figure III-14 : Génération de modèle 3D de la microstructure isotrope par le code DREAM.3D®. a) Microstructure de dimensions 10 × 10 × 10 𝑚𝑚3 avec 2010 grains de taille moyenne 1000 μm et b) Distribution log-normale des tailles de grains.

b) Tailles moyennes de grains équiaxes

Les tailles de grains de microstructures artificielles sont exprimées en diamètres équivalents. Le diamètre équivalent représente le diamètre d’une sphère ayant le même volume que le grain considéré. Pour un grain de volume 𝑉𝐺𝑟𝑎𝑖𝑛, le diamètre équivalent 𝑑 est exprimé par la relation suivante :

𝑑 = √6 𝑉

𝐺𝑟𝑎𝑖𝑛

𝜋 3

(III.29) La taille moyenne de grains est donc estimée par le diamètre équivalent moyen 𝑑. Pour évaluer la procédure de modélisation 3D obtenue par DREAM.3D® [36, 88-90], des modèles 3D générés avec différentes tailles moyennes de grains 𝑑 = 500 μm, 𝑑 = 800 μm et 𝑑 = 1000 μm sont présentés sur la Figure III-15. Pour chaque cas, la distribution cible des tailles des grains (en bleu) ainsi que celle obtenue (en rouge) à partir de la microstructure générée sont tracées sur la même figure. En outre, les données statistiques extraites des différentes microstructures sont exposées dans le Tableau III-3.

Tableau III-3 : Données statistiques des modèles 3D des microstructures équiaxes générés par DREAM.3D®.

a) 𝑑 = 500 μm b) 𝑑 = 800 μm c) 𝑑 = 1000 μm

Figure III-15 : Modèles 3D des microstructures équiaxes des dimensions 20 × 20 × 20 𝑚𝑚3 pour différentes tailles moyennes de grains: a) 𝑑 = 500 𝜇𝑚, b) 𝑑 = 800 𝜇𝑚et c) 𝑑 = 1000 𝜇𝑚.

En observant la Figure III-15, nous distinguons la variation de la taille de grains dans les différents modèles de la microstructure équiaxe. Nous observons aussi que ces modèles sont très représentatifs de la géométrie et la morphologie de la microstructure réelle de l’Inconel600 caractérisée par les analyses EBSD (section II.1.5.1). En se référant à la Figure III-15 et au Tableau III-3, nous constatons que les distributions des tailles de grains obtenues sont très proches des distributions souhaitées et introduites en données d’entrée dans DREAM.3D®. À titre d’exemple, sur la Figure III-15.c, la distribution de grains obtenue est caractérisée par une taille moyenne de grains 𝑑𝑂𝑏𝑡 = 999 μm et un écart-type des tailles de grains 𝛴𝑑𝑂𝑏𝑡= 103 μm. Ce qui correspond à un écart de 0,1% par rapport à la distribution de grains voulue définie par une taille moyenne 𝑑𝑉𝑜𝑢= 1000 μm. De même, les paramètres statistiques caractérisant la distribution log-normale d’entrée dans ce cas (𝜇𝑉𝑜𝑢= 0,100 et 𝜎𝑉𝑜𝑢= 6,9028) sont très proches des paramètres statistiques qui définissent la distribution cible de la microstructure générée (𝜇𝑂𝑏𝑡= 0,1039 et 𝜎𝑂𝑏𝑡= 6,9000). Ces résultats montrent la capacité de DREAM.3D® [36, 88-90] à générer une distribution contrôlée avec une taille moyenne et écart-type très précis. Ceci montre aussi la fiabilité de ce logiciel à fournir des modèles géométriques 3D plus fiables que ceux créés en 2D par les digrammes de Poisson-Voronoï [80-87].

Taille moyenne voulue 𝑑𝑉𝑜𝑢 (μm) Paramètres statistiques d’entrée Nombre de grains 𝑁𝐺 Taille moyenne obtenue 𝑑𝑂𝑏𝑡 (μm) Taille minimale obtenue 𝑑𝑚𝑖𝑛𝑂𝑏𝑡 (μm) Taille maximale obtenue 𝑑𝑚𝑎𝑥𝑂𝑏𝑡 (μm) Écart-type obtenue 𝛴𝑑𝑂𝑏𝑡 (μm) Paramètres statistiques de sortie 𝜇𝑉𝑜𝑢 𝜎𝑉𝑜𝑢 𝜇𝑂𝑏𝑡 𝜎𝑂𝑏𝑡 500 0,100 6,2097 90775 498 292 748 53 0,1080 6,2051 800 0,100 6,6796 30318 797 531 1128 84 0,1035 6,6739 1000 0,100 6,9028 15637 999 675 1457 103 0,1039 6,9000

c) Orientations cristallographiques

Pour définir le comportement isotrope de la microstructure synthétique créée par le code DREAM.3D®, des orientations aléatoires sont attribuées à chaque grain équiaxe en se basant sur les trois angles d’Euler (𝜑1, 𝜙, 𝜑2) dans la convention de Bunge [58] :

𝜑1= 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚[−𝜋, 𝜋] 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚[−1, 1])

𝜑2= 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚[−𝜋, 𝜋]

(III.30) Les orientations cristallographiques de grains sont ensuite transformées de la convention de Bunge [58] (rotations successives autour les axes 𝑧𝑐, 𝑥𝑐 et 𝑧𝑐′′) à la convention de Roe [107, 108] (rotations successives autour les axes 𝑧𝑐, 𝑦𝑐 et 𝑧𝑐′′) qui est définie par les angles d’Euler (𝜑, 𝜃, 𝜓). Cette transformation est nécessaire pour la compatibilité avec le code de simulation ATHENA®. Le passage de la convention de Bunge [58] à celle de Roe [107, 108] est présenté dans l’Annexe H. La Figure III-16 présente les trois figures de pôles {001}, {011} et {111} extraites d’un modèle 3D de la microstructure équiaxe simulée par DREAM.3D®.

Figure III-16 : Figures de pôles dans les plans {001}, {011} et {111} obtenues suite à 745 tirages d’angles d’Euler (dans la convention de Roe) pour un modèle 3D de la microstructure équiaxe simulé par DREAM.3D® (microstructure de dimensions 20 × 20 × 20 𝑚𝑚3 et taille moyenne de grains 𝑑 = 1000 𝜇𝑚).

Les figures de pôles ci-dessus montrent une texture cristallographique proche d’une texture isotrope. Toutefois, les figure de pôles synthétiques présentent des renforcements de faible intensité selon des directions privilégiées de l’échantillon. Notamment, nous observons des renforcements des pôles {111} selon les trois directions principales du repère échantillon. La texture semble également présenter plusieurs plans de symétrie (plan (𝑧𝑥) et (𝑧𝑦) notamment). Ces renforcements sont dus à la méthode de tirage des orientations cristallographiques de DREAM.3D® [36, 88-90] et ne peuvent être évitées. Toutefois, ils ne remettent pas en question la nature globalement isotrope de la microstructure générée, car ils sont de faible intensité. Une comparaison avec la texture observée expérimentalement est proposée dans le paragraphe III.4.1. Il apparaît néanmoins que l’approche numérique 3D est capable de modéliser de manière satisfaisante l’isotropie de la microstructure générée.

d) Prise en compte des macles

Pour étudier les effets du maclage sur la propagation des ondes ultrasonores dans les matériaux polycristallins, des modèles synthétiques 3D de microstructure isotrope prenant en compte à la fois les joints classiques (les joints de grains) et les joints spéciaux (les joints de macles) ont été utilisés. Ces microstructures ont été créées avec le code DREAM.3D® [36, 88-90].

D’abord, une microstructure équiaxe avec une phase cubique à faces centrées est générée en se basant sur la procédure présentée dans la section III.2.2.1.a. Ensuite, une proportion de macles est ajoutée à la microstructure équiaxe en utilisant une option dans DREAM.3D® [36, 88-90] qui permet d’introduire deux paramètres définissant le nombre de macles par grain 𝑁𝑀 ainsi que leur épaisseur moyenne 𝑒𝑀. Cette dernière est définie par une fraction du diamètre équivalent du grain non maclé. Les macles générées présentent des désorientations cristallographiques parfaitement déterminées à

l’intérieur des grains équiaxes. Nous notons ici que la version actuelle du logiciel DREAM.3D® [36, 88-90] ne permet de générer que des joints de macles de type 𝛴3. Ces macles sont caractérisées par une désorientation de 60° autour de l’axe cristallographique 〈111〉.

La Figure III-17.a présente un exemple de la microstructure équiaxe obtenue en excluant les macles et un autre en incluant les macles (voir Figure III-17.b). La microstructure non maclée est créée dans le but d’obtenir une distribution cible des tailles de grains caractérisée par 𝑑𝑉𝑜𝑢= 1000 𝜇𝑚. Par ailleurs, la microstructure maclée est obtenue en choisissant deux paramètres d’entrée qui sont le nombre de macles par grain 𝑁𝑀 et l’épaisseur moyenne de macles 𝑒𝑀. Dans la Figure III-17.b, la microstructure maclée est générée en choisissant : 𝑁𝑀= 2 (c’est-à-dire 2 macles par grain) et 𝑒𝑀= 0,2 (c’est-à-dire une épaisseur moyenne de macles de 200 𝜇𝑚 qui représente 20% du diamètre moyen de grains non maclés). Par ailleurs, il est possible de varier les valeurs de ces paramètres selon nos choix.

Il est important aussi de noter que dans la microstructure maclée, nous considérons comme un grain, chaque entité connexe de même orientation. En d’autres termes, un grain scindé en deux par une macle comptera in fine pour 3 grains (2 grains bleus et un grain rouge dans la Figure III-17.b). Les distributions des tailles de grains obtenues pour les deux cas sont tracées sur la Figure III-17.c.

a)

b)

c)

Figure III-17 : Prise en compte du phénomène de maclage dans la modélisation 3D de la microstructure isotrope avec des grains équiaxes (microstructure de dimensions 10 × 10 × 10 𝑚𝑚3) a) Microstructure sans macles, b) Microstructure avec macles et c) Distributions des tailles de grains avec et sans macles.

Les données statistiques extraites des modèles créés sont résumées dans le Tableau III-4. Joint de macle

Joint de grain Grain

Tableau III-4: Données statistiques des modèles 3D des microstructures équiaxes générés par DREAM.3D® en prenant en compte les macles et sans prendre en compte les macles.

La Figure III-17.c montre que la distribution des tailles de grains en présence de macles est repartie autour d’une valeur moyenne plus faible que celle sans macles. Le Tableau III-4 montre que la taille moyenne et l’écart-type de grains de la microstructure non maclée sont de l’ordre de 999 𝜇𝑚 et 105 𝜇𝑚 alors que la taille moyenne et l’écart-type de grains de la microstructure maclée sont 680 𝜇𝑚 et 356 𝜇𝑚. Il apparaît donc que la distribution des tailles de grains avec macles (courbe rouge) est plus large que celle sans macles (courbe verte). Ces résultats sont confirmés par le grand écart entre les paramètres statistiques d’entrée caractérisant la distribution cible des tailles de grains sans macles 𝜇𝑉𝑜𝑢= 0,1 et 𝜎𝑉𝑜𝑢= 6,9028 et les paramètres statistiques de sortie caractérisant la distribution obtenue des tailles de grains avec macles 𝜇𝑂𝑏𝑡 = 0,482 et 𝜎𝑜𝑏𝑡= 6,4297.

Les résultats présentés dans cette section montrent que la prise en compte de macles dans la microstructure induit naturellement une forte diminution de la taille moyenne de grains. Dans ce contexte, des études numériques seront présentées dans le paragraphe IV.1.5 dans le but d’étudier l’influence du phénomène de maclage sur l’atténuation par diffusion qui n’a pas été abordé profondément dans les études précédentes.