Advanced Geometry Tutor

Le Geometry Tutor (Anderson et al., 1985; Guin et al., 1991; Ritter et al., 2010) permet de construire, en utilisant le chaînage avant ou arrière, une preuve qui ne requiert pas la construc- tion de nouveaux points ou segments sur la figure statique fournie. Cependant, il arrive que certains problèmes proposés en classe nécessitent des constructions supplémentaires, donc Matsuda a créé l’Advanced Geometry Tutor (AGT) (Matsuda et VanLehn, 2005; Matsuda, 2004) pour enseigner une stratégie de preuve intégrant des constructions. En fait, il souhaitait savoir s’il était plus facile d’élaborer de telles preuves en chaînage avant ou arrière. Le logiciel proposé dispose d’une première fenêtre qui présente l’énoncé du problème ainsi qu’une figure statique. Cependant, cette figure est utilisée pour compléter des énoncés, en sélectionnant les points appropriés, et c’est sur celle-ci que les constructions apparaissent. Dans le cadre de l’AGT, les constructions consistent essentiellement à relier, par un segment, deux points déjà existants. Le logiciel offre aussi une fenêtre montrant la preuve en deux colonnes que l’élève doit compléter. Celui-ci doit proposer des énoncés, ainsi que les justifications et prémisses associées, en chaînage avant ou arrière selon la version d’AGT qu’il utilise. Une troisième fe- nêtre présente un navigateur de postulats dans lequel la figure utilisée à titre d’exemple peut

s’adapter pour correspondre à celle associée au problème à résoudre. Les différentes étapes pour produire une inférence sont aussi affichées. Celles-ci correspondent à toutes les étapes qui touchent autant les actions physiques que les démarches intellectuelles que l’élève doit utiliser pour progresser dans la résolution du problème. Elles sont représentées sous forme de hiérarchie et l’étape courante, qui correspond aux instructions du tuteur, est affichée en gras. L’objectif est de faire prendre conscience du processus de résolution et d’imposer une stra- tégie systématique de travail. Enfin, le tuteur discute avec l’élève à l’intérieur d’une fenêtre de messages interactive. En effet, l’élève doit confirmer la lecture de chaque message soit en exécutant une action ou en appuyant sur le bouton «OK». Il lui est aussi possible d’accéder à la chronologie des messages du tuteur. Ce dernier utilise quatre types de messages pour interagir avec l’élève. Lors d’une première erreur, il lui propose d’essayer à nouveau. S’il fait une seconde erreur consécutive, alors le tuteur lui propose un message qui dépend de son niveau de compétence. Trois niveaux sont possibles, soit d’encourager l’élève à travailler sur l’étape courante, de lui dicter les actions à réaliser ou de lui démontrer ce qu’il devait faire. À chaque erreur consécutive, le message est plus précis et la compétence de l’élève est ajustée selon le message qui lui a permis de réaliser l’action escomptée.

Les messages du tuteur sont basés sur une solution du problème généré par GRAMY (Mat- suda et VanLehn, 2004), un système de preuve formelle automatique intégrant les construc- tions. Celui-ci travaille avec les postulats de la géométrie euclidienne pour construire une preuve. Les auteurs ont fait l’hypothèse que les constructions simples sont habituellement associées à un pas de preuve. L’emploi d’un postulat, dans AGT, peut donc s’accompagner d’une construction lorsque c’est nécessaire. La stratégie de GRAMY est d’appliquer les pos- tulats en chaînage avant, sur une figure de départ, jusqu’à atteindre la conclusion fournie ou jusqu’à ce qu’aucun nouveau fait ne puisse être généré. Dans ce dernier cas, il applique des postulats en chaînage arrière et s’arrête lorsqu’une construction est nécessaire, c’est-à-dire que certaines prémisses qui ne font pas partie de la figure peuvent y être ajoutées. Cette opération ajoute de nouveaux faits qui peuvent être utilisés par le moteur en chaînage avant. Une combinaison de chaînages permet donc à GRAMY de produire une preuve intégrant des constructions. Dans AGT, on récupère la preuve la plus courte pour un problème donné et pour chacun des pas de résolution, on lui attache la liste des étapes à réaliser pour appliquer le postulat. On ordonne ensuite les pas selon que l’on désire que l’élève travaille en chaînage avant ou arrière. L’agent tutoriel de l’AGT parcourt enfin cette liste qui indique, en détail, toutes les étapes que l’élève doit réaliser et produit des messages appropriés. L’élève est donc forcé à travailler dans un ordre préétabli sur la solution la plus courte au problème posé. La chronologie des actions étant déterminée à l’avance, le système tutoriel n’a qu’à connaitre la dernière action de l’élève pour lui proposer des messages d’aide. L’AGT n’offre pas de bouton

pour obtenir une explication concernant une erreur ou un indice par rapport à la prochaine étape à réaliser. Seules des actions erronées permettent d’obtenir de l’aide. Deux versions de l’AGT, l’une employant le chaînage avant et l’autre, le chaînage arrière, ont été utilisées pour comparer la performance de ces deux stratégies pour la résolution de problèmes à l’aide de prétest et post-test. Par contre, il n’y a pas eu d’étude sur l’efficacité du logiciel par rap- port à une approche classique. En résumé, l’AGT est intéressant, car il propose des preuves contenant des constructions simples, il offre un navigateur de postulats qui s’ajuste au pro- blème posé et il est en mesure d’ajuster son niveau d’intervention à la compétence de l’élève. Par contre, le système est très directif et n’offre pas la possibilité d’explorer le problème ou même de travailler sur une solution qui n’est pas optimale, ce qui est incompatible avec nos objectifs. En fait, il offre plutôt des exemples guidés qu’un système tutoriel intelligent.

2.3.4 ANGLE

Les logiciels utilisant une approche formelle, comme le Geometry Tutor (Anderson et al., 1985; Guin et al., 1991; Ritter et al., 2010), sont en mesure d’aider l’élève à préparer la rédaction de sa preuve. En effet, ils le contraignent à travailler selon un ordre précis et l’obligent à fournir l’ensemble des inférences nécessaires. Cependant, en analysant la stratégie utilisée par les experts, Koedinger et Anderson (1990) se sont aperçus que ceux-ci préparaient un plan avant d’ajouter les éléments manquants à leur démonstration. Ils ont donc conçu le logiciel ANGLE (Koedinger et Anderson, 1993; Koedinger, 1991) afin d’apprendre aux élèves à planifier leur démonstration et les aider à reconnaître les éléments importants d’une figure. Dans ce contexte, ils ont développé une théorie concernant les «Diagram Configurations» (DC) (Koedinger et Anderson, 1990), soit les configurations qui semblent être utilisées par les experts pour produire un plan de résolution. Il s’agit, en fait, de configurations remarquables dans une figure qui ont été judicieusement déterminées. Par exemple, nous pourrions identifier comme étant congrus deux triangles ayant un côté en commun et nous laissant croire que les autres côtés homologues sont congrus, ce qui est décrit comme un énoncé complet dans la théorie. Une fois identifiés, nous savons que les angles correspondants seront congrus et qu’il en sera de même pour les côtés. Cette observation nous permet de produire six énoncés partiels qui découlent de l’énoncé complet. Pour être en mesure de prouver la congruence, il suffit de prouver un sous-ensemble particulier des énoncés partiels, ce qui correspond aux moyens de prouver le DC. Un plan de résolution contient donc un ensemble de DC et pour compléter la preuve on doit ajouter les énoncés partiels qui permettent de les relier, ainsi que les justifications associées. ANGLE contient donc un moteur qui est en mesure de résoudre les problèmes en utilisant les DC. Pour créer l’arbre des solutions, le moteur commence par extraire les DC qu’il est en mesure de trouver dans la figure associée au problème et il

produit tous les énoncés partiels associés à ceux-ci. Il fusionne ensuite les énoncés semblables provenant de différents DC et des hypothèses du problème et propage le statut prouvé aux différents éléments. Si, à la fin du processus de propagation, la conclusion est prouvée, cela signifie qu’il existe au moins une démonstration pour le problème posé. Cette stratégie permet de réduire l’espace de recherche des solutions, par rapport à l’approche formelle, et semble correspondre à la stratégie utilisée par les experts. Les DC permettent aussi une modélisation de l’espace des solutions plus naturelle qui comprend les éléments de la planification.

L’interface du système ANGLE (Koedinger et Anderson, 1993; Koedinger, 1991) a, par consé- quent, été conçue afin de permettre la planification et la résolution de problèmes de preuve géométrique à l’aide des DC (Koedinger et Anderson, 1990). Il offre une fenêtre unique dans laquelle on retrouve, au départ, l’énoncé du problème ainsi que la figure correspondante dans le coin supérieur gauche. À gauche, une série de boutons est disponible pour créer différents objets et interagir avec le logiciel. Le reste de la fenêtre est au départ une feuille vierge dans laquelle l’élève pourra construire un arbre de preuve en utilisant les DC. Pour construire un DC, l’élève doit cliquer sur le bouton approprié et choisir les éléments de la figure qui corres- pondent. Si l’élève choisit un DC qui ne se trouve pas dans la figure ou s’il choisit les mauvais éléments, un message lui indiquant son erreur apparait. Les DC acceptés par le système peuvent ensuite être placés dans la fenêtre à l’endroit choisi par l’élève. ANGLE n’impose aucune contrainte par rapport à l’ordre d’ajout ou l’emplacement des différents éléments. L’élève peut aussi ajouter des énoncés partiels, de façon similaire, en utilisant le bouton ap- proprié. Il doit ensuite relier les différents éléments pour former un arbre de preuve. ANGLE vérifie si les liens sont valides et indique les erreurs à l’aide de messages. Enfin, l’élève, à l’aide d’un autre bouton, doit ajouter une justification pour chacun des liens créés afin de compléter sa preuve. ANGLE laisse cependant une totale liberté à l’élève qui peut utiliser les différents outils dans un ordre quelconque et il peut même ajouter des pas de preuve qui ne seront peut-être pas utiles dans sa preuve finale. La sélection d’un élément permet de l’afficher en surbrillance sur la figure originale. Lorsque l’élève est bloqué, il peut demander un indice en appuyant sur un bouton. ANGLE offre quatre niveaux d’indices allant du plus générique au plus précis. L’aide offerte dépend de la progression de l’élève, mais se produit toujours en chaînage avant. Par exemple, s’il manque des DC pour avoir un plan complet, le système va suggérer de construire le prochain DC manquant. Dans le cas où tous les DC nécessaires seraient présents, ANGLE propose de travailler sur les énoncés partiels et ainsi de suite. Le système a été comparé à Geometry Tutor (Anderson et al., 1985; Guin et al., 1991; Ritter et al., 2010) à l’aide d’une procédure de prétest et post-test et son efficacité est similaire. Ce logiciel est intéressant, car il offre à l’élève une totale liberté et lui permet d’appliquer une phase exploratoire sous forme de découverte des DC contenus dans la figure de base. De plus,

les DC proposent une stratégie de résolution semblable à celle utilisée par les experts et la démonstration est présentée sous forme d’arbre. Par contre, dans le cadre de l’enseignement de la preuve au secondaire, le paradigme utilisé est plus près de la géométrie formelle que des DC et notre objectif n’est pas de forcer l’élève à imiter les stratégies d’un expert, mais bien de lui permettre de développer les siennes. L’aide en chaînage avant, qui ne respecte pas toujours l’état cognitif de l’apprenant, et l’absence de figure dynamique constituent deux autres lacunes de ce système.

2.3.5 Baghera

Le but du projet Baghera (Webber et al., 2001; Balacheff et al., 2003) est d’offrir une ar- chitecture informatique, pour la conception d’environnements d’apprentissage, qui est basée sur des théories didactiques. Pour valider le concept, les auteurs ont conçu un système multi- agent pour l’enseignement des preuves en géométrie. Il s’agit d’une plateforme web qui offre une interface autant pour les enseignants que pour les élèves. D’une part, l’enseignant est en mesure de créer de nouveaux problèmes ou de modifier ceux qui sont existants et de les faire parvenir aux élèves. Il lui est aussi possible de suivre, en temps réel, la progression du travail des élèves et de discuter avec eux au moyen d’une fenêtre de clavardage à l’intérieur d’une classe virtuelle. L’interface de l’enseignant est gérée par deux agents distincts, soit l’un qui s’occupe de l’interface et des accès et l’autre qui assiste l’enseignant dans la conception et la diffusion des problèmes. De son côté, l’élève a premièrement accès à une liste de problèmes regroupés par thème, soit un sac d’école virtuel créé par l’enseignant. Il peut alors choisir un problème pour faire apparaitre l’interface de résolution. Dans celle-ci, on retrouve l’énoncé du problème accompagné d’une figure dynamique gérée par Cabri-Java (Cabri-Java Project, 2004). Cette dernière peut être manipulée pour permettre de découvrir des conjectures, mais il n’est pas possible d’y ajouter de nouvelles constructions. L’élève doit rédiger sa preuve dans une fenêtre, acceptant du texte libre, en utilisant le clavier, différents outils et un dictionnaire de théorèmes. Lorsqu’il croit avoir complété sa preuve, il la soumet au système d’analyse qui lui retourne ensuite une preuve annotée. Pour chaque inférence, un diagnostic local est fourni par rapport à la cohérence de celle-ci. On indique aussi si la preuve, dans son ensemble, est cohérente et complète, c’est-à-dire qu’elle relie les hypothèses à la conclusion. Le système d’analyse est aussi en mesure de détecter et d’indiquer les inférences qui sont des analogies, c’est-à-dire qu’elles sont semblables à d’autres, utilisées précédemment dans la preuve. L’in- terface ne contient aucun système pour soutenir et aider l’élève lors de l’écriture de sa preuve. Pour gérer les interactions de l’élève, trois agents ont été implantés. Le premier permet de gérer l’interface et les accès de l’élève et est responsable de communiquer les informations utiles aux autres agents. Un second s’occupe de prendre des décisions didactiques et pédago-

giques concernant le cheminement de l’élève en lui proposant des problèmes appropriés selon son profil d’apprenant. Le dernier agent sert de médiateur en choisissant le système d’analyse qui servira à extraire les informations pertinentes de la solution de l’élève et en interprétant la réponse obtenue.

Le principal intérêt de ce système est la théorie didactique, cK¢(Balacheff et Margolinas, 2005), sur laquelle est basé son modèle de l’apprenant. Cette théorie définit les différentes conceptions (C), correctes ou erronées, de l’apprenant par la relation C = (P, R, L, Σ). Cette dernière signifie que pour une conception donnée, on y associe un ensemble de problèmes (P) dans lesquels l’utilisation de celle-ci permet de les résoudre en partie. En effet, pour résoudre un problème il faut habituellement faire intervenir plusieurs conceptions. L’ensemble des opérateurs (R) permet de transformer, en respectant la conception, un problème. On peut penser, par exemple, à l’emploi de propriétés ou de définitions pour justifier une conjecture en géométrie. Pour exprimer les opérateurs et les problèmes, un système de représentation (L), soit un langage, est utilisé. Enfin, un système de contrôle (Σ) permet de savoir dans quels contextes il est légitime d’appliquer la conception et contient des mesures permettant d’éviter sa contradiction. Dans le système Baghera (Webber et al., 2001; Balacheff et al., 2003), un agent existe pour chaque élément du modèle cK¢, par exemple, un agent est créé pour chaque opérateur établi. Selon les actions de l’élève, les agents correspondants sont activés et forment des coalitions. Ces dernières correspondent aux conceptions de l’élève décrites selon le modèle cK¢. Le défi consiste donc à relier les actions de l’élève, sous forme d’une preuve discursive, aux différents agents implantés. Pour y arriver, les concepteurs de Baghera ont eu recours à un moteur de preuve automatique capable de vérifier une preuve formelle fournie en logique du premier ordre. Ce moteur autorise notamment les inférences implicites et permet d’ajouter des points manquants à une figure. L’agent médiateur est responsable de convertir la preuve discursive en logique du premier ordre. Malheureusement, l’interprétation de l’analyse issue du moteur de déduction n’était qu’au stade de projet dans la documentation recensée. Une validation du système multi-agent a été réalisée en comparant ses diagnostics à ceux d’experts et ceux-ci concordent dans la majorité des cas. Le principal intérêt de ce système est la mise en oeuvre d’un modèle de l’apprenant basé sur une théorie didactique en utilisant une architecture multi-agent. L’élève est aussi libre d’explorer le problème et de rédiger sa preuve dans un ordre arbitraire et a accès à une figure dynamique pour découvrir des conjectures. De plus, il offre une interface pour construire des problèmes et une classe virtuelle pour permettre à l’enseignant d’interagir avec les élèves. Par contre, même si le modèle multi-agent a été validé, il ne peut être utilisé, car l’analyse des rapports du moteur de déduction n’a pas été implémentée. Le principal problème de ce système est cependant l’absence totale de système tutoriel pour aider l’élève à rédiger sa preuve.

2.3.6 DEFI

Des expérimentations (Gras, 1988) visant à comprendre les difficultés des élèves à produire des preuves, il en est ressorti deux constats importants. Le premier concerne la figure qui est souvent perçue en tant que simple représentation de l’énoncé et dont les propriétés sont mal interprétées par les élèves. D’autre part, la rédaction de la preuve est difficile, car les élèves n’en comprennent pas toujours l’objectif, n’ont pas de plan précis pour la produire et peuvent confondre les éléments qui la composent. Dans le but d’aider à changer la perception des élèves face aux preuves, le logiciel DEFI (Démonstration et Exploration de la Figure Interactives) (Gras, 1988; Almouloud, 1992) a été développé. Au démarrage du logiciel, l’élève sélectionne d’abord un problème et l’énoncé correspondant est affiché. À partir de celui-ci, il doit construire une figure sur papier qui lui servira à répondre à des questions par la suite. Par contre, dans la version Cabri-DEFI (Luengo et Balacheff, 1998), la figure est construite à l’écran à l’aide de Cabri-Géomètre (Baulac, 1990; Kordaki et Mastrogiannis, 2006; CABRILOG SAS, 2009) et peut ensuite être validée par DEFI. Ce dernier utilise des oracles pour vérifier si la figure est complète et si elle respecte l’énoncé et fournit enfin un verdict à l’élève. Lorsque celui-ci a terminé de construire sa figure, il passe au module d’exploration de la figure dont l’objectif est de l’aider à planifier sa preuve. L’exploration est mise en oeuvre par une série de questions, en mode texte, auxquelles l’élève doit répondre en se reportant à la figure construire précédemment. Elles ont pour but d’aider l’élève à découvrir un plan adéquat pour résoudre le problème et de s’assurer qu’il est en mesure de le mettre en oeuvre. Si l’élève ne donne pas de réponses satisfaisantes, DEFI lui propose de revoir les hypothèses et de recommencer l’exploration de la figure. Lorsque son plan a été validé, il passe ensuite au module de démonstration qui lui permet de rédiger sa preuve. Dans ce cas, il doit, pour chaque pas de preuve, d’abord fournir la conclusion de celui-ci. Il choisit un énoncé parmi ceux qui sont offerts et ajoute ensuite le nom des éléments géométriques permettant de le compléter. Par la suite, il sélectionne la justification et termine par les hypothèses. Le pas est analysé par DEFI et une rétroaction concernant la cohérence entre