= Fonction périodique f (x) A
2.4.2. Acquisition des données 1. Prise de mesures
La morphologie dentaire du genre Mus ne présente pas de dimorphisme sexuel. Nous avons donc pris de façon aléatoire des individus mâles et femelles parmi le matériel actuel des collections.
Les images de chaque molaire ont été acquises sous forme numérique à partir d’une caméra vidéo couplée à un stéréomicroscope.
Le contour des molaires a été extrait semi-automatiquement à l’aide du logiciel Optimas 6.5 selon le protocole suivant :
1. La molaire n’étant pas un objet plan, il est impossible d’en extraire automatiquement le contour à partir de l’image en utilisant les locus de pixels, dont la clarté passe de 0 à 1 ou de 1 à 0 selon un transect vertical et horizontal de la silhouette. Un dessin préalable à la chambre claire du contour externe de la molaire peut être numérisé pour l’extraire automatiquement. Nous avons privilégié un tracé manuel du contour directement sur l’image car l’optimisation de celle-ci et le confort d’acquisition nous ont semblé plus performants avec l’aide de l’analyseur d’image (Optimas 6.5).
2. La molaire est orientée en position anatomique (vue occlusale antéro-postérieur) afin que la surface occlusale soit la plus plane possible. Le point de départ du contour se situe au maximum de courbure du lobe antérieur de la M1, ce qui correspond à un point-repère de type 2 selon Bookstein (1991). L’absence d’asymétrie directionnelle sur les dents (Alibert et al., 1994), permet la comparaison de molaires droites et gauches. Cependant, les contours d’une molaire droite et d’une molaire gauche ne peuvent être comparés directement, car le parcours du point sur les ellipses qui l’approximent s’effectue toujours selon la même direction. Pour comparer les M1
droites et gauches, nous avons obtenu une image miroir des M1 droites en effectuant un retournement horizontal de l’image. Cette transformation d’une image de molaire droite en molaire gauche permet de conserver toujours le même sens pour le tracé manuel du contour. Cette manipulation est très facile et rapide sous Optimas ou Photoshop et permet à l’opérateur de ne pas perturber son « tour de main », ce qui devrait diminuer les erreurs de mesure (non testé).
3. Il arrive que la M2 soit présente dans la rangée dentaire de la mandibule, surtout pour du matériel actuel, et que sa face mésiale se décale et recouvre la face distale de la M1 en vue occlusale. Des tests (MANOVA sur les scores des six premières composantes
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principales) ont démontré que l’empiètement de la M2 sur la M1 n’a pas de conséquences significatives sur la forme du contour de cette dernière (Cucchi, 2001). Dans des cas de recouvrement, il est donc possible de suivre le contour de la M2 sur la zone d’empiètement.
4. Une calibration (mm) a été effectuée en vue du traitement ultérieur de la taille.
5. Par défaut, Optimas 6.5 extrait les coordonnées de 64 points équidistants sur le contour. Les TFE ne nécessitent pas une équidistance des points sur le contour, ce qui permet d’augmenter le nombre de points sur les régions à forte courbure ou qui portent le plus d’informations biologiques. Cependant, considérant la performance des différenciations taxonomiques obtenues pas Renaud, nous n’avons pas jugé utile de changer ni la position, ni le nombre des points sur le contour. Nous avons donc obtenu, pour chaque contour une série de 64 coordonnées x, y de points équidistants.
2.4.2.2. Standardisation et coefficients de Fourier
La TFE à partir des coordonnées x, y a été réalisée à l’aide du logiciel EFAwin (Isaev, 1992). Les coefficients des harmoniques des EFA sont indépendants de la position du contour sur la grille à digitaliser, car cette information est contenue dans les deux coefficients (a0 et
b0) de l’harmonique 0. En revanche, les décompositions en série de Fourier elliptique sont sensibles à la rotation, au point de départ du contour de l’objet et à sa taille (Ferson et al., 1985). Des standardisations sont donc nécessaires. Si l’objet le permet, il est préférable d’effectuer des transformations sur des données déjà standardisées grâce à des normalisations lors de la digitalisation. Si cela n’est pas possible, le logiciel de transformation employé permet d’effectuer des standardisations pendant le calcul. Le cas du contour de la première molaire inférieure est extrême par rapport à des organismes comme un bivalve ou une aile de moustique, qui possèdent soit un axe de symétrie, soit des points-repères situés sur leur contour externe. Le contour d’une molaire de souris ne possédant ni l’un ni l’autre, il nécessite des standardisations après la digitalisation :
1. Bien que nous ayons défini au préalable un point de départ, nous avons choisi de standardiser ce point, car la maximum de courbure est défini « à vue ». Une ACP (Analyses des Composantes Principales) a été menée simultanément sur les coefficients de contours standardisés et non standardisés selon le point de départ. Elle a montré que les deux premières composantes principales décrivaient davantage de variance pour les contours standardisés (54 %) que pour les contours non standardisés (46 %). C’est pourquoi nous avons choisi de standardiser également le point de départ.
2. La M1 ne possède pas deux points homologues susceptibles de fournir un axe d’orientation sur lequel positionner toutes les molaires, comme le suggère Rohlf (1990). Une orientation commune à toutes les dents n’est pas possible, Il faut donc standardiser sa rotation.
L’invariance du point de départ et de la rotation avec EFAwin est obtenue selon une procédure arbitraire :
a) Le contour subit une rotation afin que l’axe majeur de l’ellipse, défini par les coefficients de l’harmonique 1, soit parallèle à l’axe des abscisses.
b) Le contour est repris à partir du point le plus extrême sur l’ellipse de l’harmonique 1 en direction du pôle positif sur l’axe des abscisses.
3. Comme nous l’avons précisé, les méthodes géométriques permettent de distinguer la taille isométrique de la forme (conformation). Pour n’obtenir que des coefficients de Fourier dépendant de la forme, il faut effectuer une standardisation de la taille. Dans le cas présent d’un contour en deux dimensions, la taille isométrique est définie par l’aire de l’ellipse ajustée au mieux au contour original. Cette ellipse est définie par les coefficients de l’harmonique 1. Pour que les coefficients de Fourier soient indépendants de la taille du contour, ils sont divisés par la racine carrée de cette aire. L’aire de harmonique 1 sera réintégrée à un stade ultérieur de l’analyse en tant que variable représentant la taille isométrique de la M1.
2.4.2.3. Combien d’harmoniques ?
Nous avons vu que plus le rang de l’harmonique est élevé, plus leur cumul décrit les détails du contour. À partir d’un certain rang, les erreurs de mesure deviennent prépondérantes sur les informations morphologiques. Il faut donc filtrer les harmoniques qui contiennent surtout du bruit de fond (Renaud et al., 1996). Il est possible de supprimer des harmoniques car elles sont indépendantes. L’objectif est de choisir un seuil de troncature qui présente le meilleur compromis entre l’information biologique de la forme originale et le bruit induit par l’erreur de mesure. Un mauvais choix méthodologique serait de se contenter de choisir le nombre d’harmonique, uniquement en fonction du rang à partir duquel le contour reconstitué est le plus proche de la forme originale, par ajout successif d’harmoniques selon la transformée inverse.
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Les études précédentes sur d’autres rongeurs ont démontré qu’il existait une congruence des résultats de deux méthodes destinées à choisir le seuil de troncature au-delà duquel les harmoniques pouvaient être exclues de l’analyse de la forme du contour (Renaud et Millien, 2001).
La première méthode, développée par Renaud et al. (1996) consiste à estimer l’erreur de mesure à l’aide de répliquas. Elle est exprimée par la moyenne des coefficients de variation (écart-type/moyenne) de l’amplitude des harmoniques (= v(a n 2+bn2+cn2+dn2)). Le seconde est celle développée par Crampton (1995), qui estime le nombre d’harmonique à partir du « spectre de puissance de Fourier». Le spectre de puissance des harmoniques permet de mesurer la quantité d’information de forme contenue dans chaque harmonique. Pour un nombre n d’harmonique, le « spectre de puissance » se calcule de la façon suivante : (a n 2
+bn2+cn2+dn2)/2.
Nous avons appliqué ces deux méthodes sur dix mesures répétées pour un individu choisi de façon arbitraire. Le résultat montre que l’erreur de mesure exprimé par le coefficient de variation de l’amplitude de l’harmonique augmente à partir du rang 8 (Fig. 10A). L’information de la forme du contour obtenue par l’ajout successif d’harmoniques et exprimée par leur puissance cumulée montre que 99% de la puissance totale est atteinte avec l’harmonique 7 (Fig. 10B). Ceci est confirmé par la visualisation de cette accumulation d’informations obtenues grâce aux transformées inverses (Fig. 10C). À partir de ces résultats, qui confirment la congruence des deux méthodes, nous pouvons décider de ne pas retenir les harmoniques au-delà du 7ème rang pour les traitements ultérieurs.
Les standardisations décrites précédemment utilisent les paramètres de l’harmonique 1 ; les coefficients de cette harmonique (a1-c1) deviennent par conséquent résiduels. De plus, il a
été démontré que cette harmonique rend compte de la quasi-totalité de la variance, puisqu’elle représente l’ellipse la plus ajustée à la forme originale. Elle tend donc à dominer toutes les analyses statistiques (Crampton, 1996) sans contenir de variation majeure dans la forme du contour. Selon les conseils de Crampton (1995), l’harmonique 1 doit être éliminée des analyses statistiques. Par ailleurs, rappelons que l’harmonique 0 contient l’information de la position du contour sur la table à digitaliser. En conséquence, les harmoniques 0 et 1 sont exclues des traitements ultérieurs. Nous ne retenons donc que six harmoniques (Ha2-Ha7), contenant chacune quatre coefficients de Fourier (an-dn). Nous obtenons donc 24 variables par
HA1 HA2 HA3 HA4 HA5 HA6
HA7 HA8 HA9 HA30 HA64
0 2 4 6 8 10 12 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Harmoniques C o e ff ic ie n t d e v a ri a ti o n d e l' a m p li tu d e d e s h a rm o n iq u e s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Harmoniques % P o w e r 99,3 %
B
C
Figure 10 : A - Quantification de l'erreur de mesure en fonction du rang de l'harmonique. B - Information cumulée (Power) en fonction du rang de l'harmonique. C - Reconstitution d'un contour par ajout successif d'harmoniques. Han = rang de l'harmonique correspondant.
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