Table des matières

Table des matières

Applications des équations de 2 fluides ... 4

Diffusion et mobilité dans un plasma faiblement ionisé ... 4

( A ) Champ électrique et magnétique nuls ... 5

( B ) Avec champ électrique mais sans champ magnétique... 5

( C ) Avec champ électrique et magnétique... 8

( D ) La diffusion ambipolaire ... 12

( E ) Applications de l’équation de diffusion... 15

État stationnaire avec source ... 18

L’équilibre de la colonne électronique... 23

La « pré-gaine »... 29

Liste des équations... 36

Liste des figures

Figure 1 Géométrie du problème... 9

Figure 2 Dérive diamagnétique ... 11

Figure 3 Illustration physique de la dérive diamagnétique... 11

Figure 4 Dans la colonne cylindrique, le gradient de densité et le champ électrique sont de sens opposé ... 14

Figure 5 Comparaison entre la fonction de Bessel et une parabole... 17

Figure 6 Géométrie du problème... 19

Figure 7 Profil de densité... 21

Figure 8 Profil de densité avec un terme source au bord de la colonne ... 22

Figure 9 Géométrie cylindrique... 24

Figure 10 Limite de Brillouin... 28

Figure 11 Trajectoire trochoïdale ... 29

Figure 12 Plasma en contact avec une plaque ... 30

Figure 13 Le profil du nombre de Mach (tirets), de la densité(ligne continue) et du potentiel (ligne pointillée) dans la pré-gaine (la surface de la gaine commence à droite du graphe).... 33

Problèmes

Problème 5. 1... 7

Problème 5. 2... 23

Problème 5. 3... 28

Problème 5. 4... 31

Applications des équations de 2 fluides

Diffusion et mobilité dans un plasma faiblement ionisé

Le flux de particules est une quantité importante dans le calcul du transfert du transport dans un plasma, et peut être écrit :

( )

^{v dv nu}

f v

Γr r r r r

=

=

∫

5. 1 La variation de Γr

est déterminée par les équations fluides :

( )

^{nu 0}

t

n +∇• =

∂

∂ r r

5. 2

[

^{E u B}

]

^{mnν u}

nq P u

t u

mn r rr +∇r•t − r +r×r₀ =− _αnr

 + •∇

∂

∂

5. 3

NOTE : on a une paire d’équations pour chaque espèce de particule dans le plasma. On a supposé que les collisions les plus importantes sont celles avec le gaz de fond : ν_αn . Traitons tout d'abord du problème avec les hypothèses suivantes:

• À l’état stationnaire il n’y a pas de variation dans le temps : t ^≡0

∂

∂

5. 4

• La vitesse ur reste petite et on peut négliger le terme d'inertie

( )

^{u u nq}

[

^{EP u B0}

]

n

m r r r

t r r

r r

× +

<<

•

∇

<<

∇

•

5. 5

• il n’y a pas d’effet de viscosité et P est scalaire.

Dans ce cas on a

( )

^nu =⁰

•

∇r r

5. 6

c'est à dire que le flux Γr nur

= est constant dans l'espace dans le cas ou il n'y a pas de sources (ionisation, recombinaison, …) dans l'équation de conservation de particules 5.2. De plus on a de l'équation 5.3

[

^{E u B}

]

^{mnν u}

nq

Pt r r r_{0 αn}r

r• − + × =−

∇ 5. 7 ( A ) Champ électrique et magnétique nuls

Supposons 0Er =Br =

. On a vu que P=nkT et si on prend T constant dans l'espace (∇rT=0 ) on peut écrire:

u mnν n

kT

Pt r _αnr

r • = ∇ =−

∇ 5. 8 et le flux de particule devient:

n mν D

n Γ kT

αn

∇

−

∇ =

−

= ^r

r r

5. 9

On voit donc qu'il y a un flux de particules proportionnel au gradient de la densité. Le coefficient de proportionnalité est appelé coefficient de diffusion D ( en m²/s)donné par:

mναn

D= kT 5. 10

et la relation 5.9 est appelé la loi de Fick.

Dans le cas ou il y a aussi un gradient de température, le flux de particule est la somme des flux causés par les deux gradients mais on considère le plus souvent un gradient de température nul.

( B ) Avec champ électrique mais sans champ magnétique Supposons maintenant que Br =0

mais Er ≠0

. De nouveau avec P=nkT avec n et T indépendant de la position ( donc ∇rP=0

) on obtient:

u mnν E

nqr _αnr

−

=

− 5. 11

et le flux de particule devient:

E mν nµ

E Γ nq

αn

r r

r = = 5. 12

On voit maintenant un flux de particule causé par le champ électrique. La direction de ce flux est donnée par le signe de la charge q et est directement proportionnelle au champ avec la constante de proportionnalité:

mναn

µ= q 5. 13

Cette quantité est la mobilité de l'espèce α ( en m²/Vs)sous l'effet du champ électrique avec un signe qui dépend de celui de la charge de la particule. Nous utilisons le même symbole pour la mobilité et le moment magnétique, à ne pas confondre.

La densité de courant électrique total du à ces flux d'ions et d'électrons peut être écrit comme la somme du courant ionique et du courant électronique ( rj_α q_αΓr_α

= ):

( )

E σ

E eµ n

E eµ n eµ n j

e e

e e i i

r r

r r

=

−

≅

−

=

5. 14

On voit que la mobilité des électrons est beaucoup plus grande que celle des ions. Donc, le transport des électrons domine le courant.

Ici nous avons introduit la quantité:

en e

2 e

ν m

e

σ= n 5. 15

la conductivité électrique du plasma ( en (Ωm)^-1).

On note que le coefficient de diffusion et la mobilité dépendent tous deux de la fréquence de collision entre les particules (ion ou électron) et les “atomes”, mais on trouve pour le rapport des deux :

q kT q

mν mν

kT µ

D _αn

αn

=



 







 



= 5. 16

la relation dite d'Einstein

Dans un état stationnaire on trouve, de façon générale qu’il y a un flux (courant) causé par des gradients de pression et des champs électriques ( gradients de potentiel ) :

φ nµ n D

E nµ n D Γ

∇

−

∇

−

=

+

∇

−

= r r

r r

r

5. 17

où nous avons utilisé Er =−∇rφ Problème 5. 1

Considérons un plasma sans champ magnétique à une pression p de 1 Torr. La section efficace σ^en de collision entre les électrons et les neutres est donnée approximativement par 6 π a02 ou a0 = 0.53 10^-8 cm est le rayon de la première orbite de Bohr. Le plasma est maintenu avec une température électronique Te = 2 eV.

a) Calculez le taux de collisions e-n Ren = < σ^en v > en cm³/s ou la moyenne est prise en terme de la fonction de distribution des électrons.

La fréquence de collision entre les électrons et les neutres est donnée par

ν

^en

= n

n

R

en

ou nn est la densité de neutre à la pression de 1 Torr à la température de la pièce.

b) Calculez la fréquence de collision.

c) Calculez le coefficient de diffusion

d) Si la densité de courant est de 200 mA/cm² et la densité du plasma de 10¹⁰ cm^-3, calculez le champ électrique.

( C ) Avec champ électrique et magnétique

S’il y a un champ magnétique, il ne peut pas affecter le mouvement des particules parallèles à B, mais il peut affecter le mouvement perpendiculaire à B. Considérons donc, le mouvement perpendiculaire à B avec les même hypothèses que précédemment (éq 5.4 et 5.5) et avec

u//

u

ur=r_⊥ +r :

(

^{E u B}

)

^{kT n mnνu 0}

nq r + r_⊥×r − ∇r − r_⊥ =

5. 18 Considérons un champ magnétique dans la direction z de telle sorte que le vecteur vitesse dans le plan perpendiculaire est donné par:

(

^{u ,u ,0}

)

ur_⊥ = _{x y}

5. 19 de telle sorte que

(

^{u B, u B,0}

)

B

ur_⊥×r = _y − _x

5. 20 et les projections selon les axes x et y de l'équation 5.18 s'écrivent:

0 u x mnν kT n B nqu

nqE_{x y} − _x =

∂

− ∂

+ 5. 21

0 u y mnν kT n B nqu

nqE_{y x} − _y =

∂

− ∂

− 5. 22

Figure 1 Géométrie du problème

À partir de l'équation 5.22 on peut écrire:



 





∂

− ∂

−

= y

kT n B nqu mν nqE

nu_y 1 _{y x}

5. 23 ce qui, après substitution de 5.23 dans 5.21, permet d'écrire:

[

^1+ωc2τ2

]

^{ux =µEx +ωc2τ2 E}_B^{y − D}_n ^∂_∂x^{n −ωc2}_n^{τ2 kT}_qB^∂_∂ⁿ_y 5. 24 où nous avons utilisé

m B

ω_c = q la fréquence cyclotron et ν

τ= 1 le temps entre les collisions donc l'inverse de la fréquence de collision.

De la même manière, dans la direction y on a :

[

^1+ωc2τ2

]

^{uy =µEy +ω2cτ2 E}_B^{x −D}_n ^∂_∂ⁿ_y ^−ωc2_n^{τ2 kT}_qB∂^∂_xⁿ 5. 25 On peut définir la mobilité et le coefficient de diffusion perpendiculaire à B :

2 2 cτ ω 1 µ µ

= +

⊥ 5. 26 et

2 2 cτ ω 1 D D

= +

⊥ 5. 27 de telle sorte que les expressions pour les composantes de la vitesse deviennent:

[

^1ωωττ

]

^EB

[

^1ωωττ

]

^{nq1 kTB yn}

x n n E D µ

u _{2 2}

c 2 2 y c

2 2 c 2 2 x c

x ∂

 ∂



 





− + + +

∂

− ∂

= _⊥ ^⊥ 5. 28

et

[

^1ωωττ

]

^EB

[

^1ωωττ

]

^{nq1 kTB xn}

y n n E D µ

u _{2 2}

c 2 2 c x

2 2 c 2 2 c y

y ∂

 ∂



 



 + +

+ +

∂

− ∂

= _⊥ ^⊥ 5. 29

Définissons la dérive ExB

E 2

B B v E

r

r = r× 5. 30

et la dérive diamagnétique

D 2

B B P nq v 1

r

r ∇r ×



 



−

= 5. 31

ou P est la pression cinétique. On note qu'en présence d’un champ magnétique, les courants sont modifiés. Si le champ magnétique est fort, la mobilité et le coefficient de diffusion sont réduits par un facteur important. Le champ magnétique sert à « confiner » le plasma, en freinant la réponse au gradient perpendiculaire à B. On note aussi que dans un plasma,

mν

D≈ kT parallèle au champ magnétique c'est -à-dire que les collisions empêchent la diffusion, tendis que dans un

champ magnétique intense ₂

mωc

D_⊥ ≈ kTν les collisions augmentent la diffusion.

On a aussi des vitesses de dérive causées par le champ magnétique. La première (5.30) est la vitesse ExB qu’on trouve pour le mouvement des particules individuelles. La deuxième (5.31)

est une vitesse de dérive causée par la présence du plasma. On note que la direction de cette dérive est une fonction de la charge q :

Figure 2 Dérive diamagnétique

Figure 3 Illustration physique de la dérive diamagnétique

La Figure 3 illustre la raison physique pourquoi on n’obtient pas cette vitesse de dérive avec les équations de mouvement pour les particules. Le centre guide de chaque particule est stationnaire, mais à travers un volume quelconque, il y a plus d’ions qui se déplacent vers le bas qu’il n’y en a qui se déplacent vers le haut à cause du gradient de densité. Il en résulte donc un flux net perpendiculaire au gradient de densité et au champ magnétique même si les centres guide des trajectoires sont stationnaires.

( D ) La diffusion ambipolaire

Considérons le cas de B=0 , et l’état stationnaire. Dans ce cas, si le potentiel du plasma ne change pas il faut avoir Γe = Γi , c’est-à-dire que le courant électrique total est nul . On suppose aussi que ne = ni (neutralité du plasma). Donc

E µ n n D

Γr_{i i}r _{i i i}r +

∇

−

= 5. 32 et

E µ n n D

Γr_{e e}r _{e e e}r +

∇

−

= 5. 33

L'égalité des flux et des densités nous permet d'écrire:

( )

(

e i

)

i e

µ µ

D D n E n

−

−

=∇ r r

5. 34 de telle sorte que le flux est donné par

( )

( )

n D

µ µ

D µ D nµ

µ µ

D D n nµ n n D Γ

a

i e

e i i e

i e

i e e

e

∇

−

≡

−

∇ −

−

=

−

− + ∇

∇

−

=

v r

r r r

5. 35

Da s’appelle le coefficient de diffusion ambipolaire. Physiquement, le champ électrique dans le plasma est le résultat d’une perte d’une espèce. S’il n’y a pas de champ magnétique les électrons diffusent plus rapidement à cause de leur petite masse (D est inversement proportionnel à m et la fréquence de collision est comparable pour les électrons et les ions): Avec Te de l'ordre de Ti nous avons De >> Di . Avec la perte des électrons, une charge d’espace positive est crée, qui essaie de retenir les électrons et d'éloigner les ions.

Avec la relation d'Einstein (5.16) et qe = -e et qi = e on obtient:



 



 +

≅ +



 



 +

=

i i e

e i i e

i i e

a

T 1 T D

D D T 1 T

T 1 T D D

5. 36

Dans le cas ou les températures sont égales pour les ions et les électrons (Te = Ti), le coefficient de diffusion ambipolaire devient égal au double du coefficient de diffusion des ions. Donc le champ électrique cause une augmentation de la perte ionique. Si Te >> Ti on pourra écrire 5.36 sous la forme :

i e i

a T

D T

D ≅ 5. 37 Le champ électrique de 5.34 prend donc la forme

( )

( )

( )

( )

i i e e

i e

i i i e

e e

i e

i e

i e

kT eD kT eD

D D n

n

kT D q kT

D q

D D n

n µ µ

D D n E n

+

−

−∇

=

−

−

=∇

−

−

= ∇

r r r r

5. 38

et, dans le cas ou les températures sont égales (Te = Ti = T) avec Di << De ( car me << mi) on a:

( )

( )

e kT n

n

e kT D D

D D n E n

i e

i e

−∇

≅

+

−

−∇

= r r r

5. 39

c'est à dire que le champ électrique est dans la direction opposée au gradient de densité

Figure 4 Dans la colonne cylindrique, le gradient de densité et le champ électrique sont de sens opposé

On note qu'en présence d’un champ magnétique, les pertes de particules perpendiculaire à B sont réduites par un facteur important. Dans le cas ω^cτ >>1 on a :

en e e e

ν m

D = kT et _{e 2} ^e₂ m_eν_en B

e D _⊥ ≅ kT

in i i i

ν m

D = kT et _{i 2} ⁱ₂ m_iν_in B e D_⊥ ≅ kT

Dans le cas ou les fréquences de collisions sont comparables de même que les températures on obtient Di_⊥ >>De_⊥et de la même façon que l'équation 5.36 on obtient dans ce cas :



 



 +

≅

+



 



 +

=

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

e e i

i i e

e

i e i e a

T 1 T D

kT D D e

kT e

kT e kT D e D D

5. 40

Dans le cas ou les températures sont égales, le coefficient de diffusion ambipolaire perpendiculaire devient égal au double du coefficient pour les électrons. Le coefficient de diffusion est donc déterminé par l’espèce qui diffuse le moins rapidement. Dans ce cas le champ électrique est dans la même direction que le gradient de densité

e kT n E≅∇n ⁱ

r r

5. 41

NOTE : ce raisonnement n'est valide que pour un problème à une dimension. En général, il faut satisfaire ^{∇r •}

( )

^{nur =0} pour chaque espèce et très souvent on peut avoir la majorité des électrons perdus par un processus différent de celui qui gère les ions.

( E ) Applications de l’équation de diffusion

Dans le cas d’une décharge cylindrique (colonne), le champ électrique peut être inclus dans le coefficient de diffusion et on considère l’équation 5.35:

n D Γr =− _a∇r

5. 42 L’équation de continuité nous donne :

(

^{D n}

)

t 0 n t Γ

n

a∇

•

∇

∂ −

=∂

=

•

∇

∂ +

∂ r r r r

5. 43

Avec qui a la forme

mν

D_a∝ kT , on conclu que si T est constant et si ν est constant dans l’espace on peut écrire :

n t D

n ₂

a∇

∂ =

∂

5. 44 Ceci est l’équation à résoudre pour la densité de particule d’une post-décharge luminescente lorsque la perte de particule du plasma est déterminée par la diffusion ambipolaire.

Posons la séparation de variable: n(r,t) = R(r)T(t)- L'équation (5.44) devient alors en supposant

la symétrie cylindrique ( 0

0 z

θ ≡

∂

≡ ∂

∂

∂ ) :



 



= 

dr rdR dr

d r T1 dt D

RdT _a

5. 45 qui s'écrit :

τ 1 dr

rdR dr

d r 1 R D dt dT T

1 _a

−

=



 



=  5. 46

ou τ est constante.

On obtient alors pour T(t)

τ 1 dt dT T

1 =− 5. 47 qui admet comme solution:



 



−

= τ

exp t T

T(t) ₀

5. 48 Pour la partie radiale, nous devons solutionner l'équation:

τ 0 1 dr rdR dr

d r 1 R D_a

= +



 





5. 49 qui a la forme:

τ 0 D

R dr dR r 1 dr

R d

a 2

2

= +

+ 5. 50 En multipliant 5.50 par r² et en posant z = λr (

a 2

τD

λ = 1 ) on obtient une équation de la forme de l’équation de Bessel décrite dans l’encadré et la solution prend la forme (avec ν = 0) :

( )

_^









= 

a

0 τD

J r r

R 5. 51

Équation de Bessel L’équation suivante

(

^{z ν}

)

^{W 0}

dz zdW dz

W

z d ₂ ^{2 2}

2

2 + + − =

est appelée équation de Bessel et est bien connue en physique. Lorsque ν est une constante quelconque la solution de cette équation s’écrit :

( ) ( ) ( )

( )

2k ν 0

k

k

ν 2

z 1 k ν Γ k!

z 1 J z W

∞ +

=



 



 + +

= −

=

∑

ou Γ(ν+k+1) est la fonction Gamma et les fonctions J_ν(z) sont appelées fonctions de Bessel du premier type d’ordre ν. Lorsque ν n’est pas entier, J-ν(z) est aussi une solution.

Pour plus de détails, voici quelques références :

K.S. Miller, Engineering mathematics, Rinehart & Company, N.Y.

A. Bronwell, Advanced Mathematics in Physics and Engineering, McGraw-Hill

Figure 5 Comparaison entre la fonction de Bessel et une parabole

Les zéros de la fonction de Bessel d'ordre zéro sont à z = 2.4, 5.5, 8.6, 11.8, …

Conditions de frontière : J0(kr) = 0 quand r = a où a est le rayon de la colonne de plasma.. On a:

a 2.4 τD

k 1 2.4

ka

a

=

⇒ =

≅ donc

a 2

D 5.8

τ= a 5. 52

NOTE : on a des zéros de J0 pour d’autres valeurs de ka , mais le temps de relaxation de ces autres modes est beaucoup plus court :

...

D , 139.2 , a D 74.0 , a D 30.3 , a D 5.8 τ a

a 2

a 2

a 2

a 2

≅ 5. 53

En principe on peut avoir une distribution qui est une combinaison de tous les modes :

( )

^{r a J}

( )

^kr

R _{0 i}

i

∑

i

= 5. 54

Une distribution « non idéale » peut être maintenue s’il y a des sources, mais dans la post luminescence, la distribution approche le mode fondamental.

État stationnaire avec source

Considérons un plasma cylindrique avec rayon b. Au milieu de la colonne il y a une source ( de rayon a ) qui est constante(Figure 6). Déterminons le profil de la densité en supposant T constant, à l’état stationnaire et en posant la symétrie cylindrique.

Figure 6 Géométrie du problème

Dans la région I on a:

S n D_a∇² =

− 5. 55 qui s'écrit en coordonnées cylindriques:

Da

S r

r n r r

1 =−



 





∂

∂

∂

∂

5. 56 après une première intégration on obtient:

2 r D

S r

r n

2

a r

0

−

∂ =

∂

5. 57 d'ou

2D r S r

n

a

−

∂ =

∂

5. 58 en intégrant une deuxième fois on obtient:

r

0 2

a r

0 2

r 2D

n =− S 5. 59

qui donne finalement

( ) ( )

a 2

4D 0 Sr n r

n = − 5. 60

qui décrit la densité pour la région I (r U a ) avec comme condition frontière:

( ) ( )

a 2

4D 0 Sa n a

n = −

5. 61 Pour la région II, comme il n'y a pas de source, nous devons solutionner:



 





∂

∂

∂

= ∂

=

∇

− r

r n r r 0 1 n D_a ²

5. 62



 



= 

= ⇒

∂

∂

a Kln r n

r K

r n ^r_a

5. 63 qui donne:

( ) ( )

^{r =n a +Kln}_^_a^r_^

n 5. 64

mais comme n(b) = 0 on peut déterminer K et obtenir:

( )



 



− 

=

a ln b

a K n

5. 65

Le profil complet de la densité est donc donné par:

( ) ( )

( )

^{a r b}

a ln b

a ln r 4D 1

0 Sa n

a r 4D 0

0 Sr n r n

a 2 a 2

<

<



















 







 





 −



 



 −

=

<

<

−

=

5. 66

Figure 7 Profil de densité Exemple :

Calculons le profil de la densité quand la source est plus forte à l’extérieur. Considérons un plasma cylindrique avec transport diffusif.

Écrivons le terme source comme Kr^m

m

2 Kr

r r n r r n D

D =



 





∂

∂

∂

− ∂

=

∇

− 5. 67

rm

D K r

r n r r

1 =−



 





∂

∂

∂

∂

5. 68

1

rm

D K r

r n r

− +

=



 





∂

∂

∂

∂

5. 69

2 m

r D K r

r n

2 m

− +

=



 





∂

∂ ⁺

5. 70

2 m

r D K r

n ^{m 1}

− +

∂ =

∂ ⁺

5. 71

( ) ( )

²

2 m

0 m 2

r D n K r

n = − +⁺ 5. 72

À titre d'exemple, considérons une source de forme parabolique ( m = 2 ). On obtient alors:

( )

^{r n K}_D16^r

n

4 0 −

= 5. 73

Si on suppose que n(a) = 0 (la densité devient nulle au bord, la ou le terme source est`maximal) on obtient

16 a D n K

4

0 = et le profil de densité est donné par:

( )











 



 



−

=

4

0 a

1 r n r

n 5. 74

Figure 8 Profil de densité avec un terme source au bord de la colonne

C'est-à-dire que même avec une source hors-axe, à cause de la diffusion, la densité est maximale sur l’axe.

Problème 5. 2

Un plasma faiblement ionisé a, dans la géométrie cartésienne, un profil de densité:

( )

^{x n} _L^{x L x L}

n  − ≤ ≤



 



=  cos 2

0 π

ou n0 est typiquement de 10¹⁰ cm^-3. À la fermeture du réacteur, le plasma se dissipe à cause de la diffusion et de la recombinaison. Si le taux de diminution de la densité du à la recombinaison est donné par:

Rn2

t n =−

∂

∂

ou R est le taux de recombinaison de 10^-9 cm³/s.

a) Calculez la densité à laquelle le taux de diminution dû à la diffusion est égal à celui dû à la recombinaison si L = π cm et D = 4000 cm²/s.

b) Étant donné cette valeur de la densité, que pouvez-vous conclure du rôle de la recombinaison dans cette situation?

L’équilibre de la colonne électronique

Figure 9 Géométrie cylindrique

On suppose qu’il y a un faisceau qui se propage dans la direction z. En plus on suppose : que le problème est indépendant du temps et qu'il n'y a pas de dépendance sur z et θ

( )

^{r , n}_z ⁰

n

n =

∂

= ∂

( )

^{r , u}_z ⁰

u

u =

∂

=r ∂r

r

À l’équilibre ^{ur =}

(

^0,uθ

( ) ( )

^{r ,uz r}

)

et il n'y a pas de composante radiale de la vitesse. La conservation de particules : ^{∇r •}

( )

^{nur =0} est satisfait automatiquement. On suppose que le champ électrique ^Er =

(

^Er^,0,0

)

est déterminé par l’équation de Poisson dont la forme générale est:

( )

⁼

∑ ( )

∂

∂

α 0

α r α

ε r n rE q

r r 1

5. 75 une première intégration donne:

( )

^{r dr}

n ε r

rE q _α

r

α 0 0 α

r ⁼

∑ ∫

5. 76 qui donne:

( )

^{r dr}

n ε r q r

E 1 _α

r

α 0 0

r ⁼

∑

α

∫

5. 77

Pour les électrons dans le vide, on considère 5.77 seulement pour les électrons donc:

( )

^{r dr}

n r r ε

E e _e

r

0 0

r ⁼⁻

∫

5. 78 On suppose que Br =

(

0,0,Bz

)

un champ magnétique externe et on ne tient pas compte du champ magnétique qui pourrait être généré de façon interne par le déplacement des charges considérées dans le problème. La conservation de la quantité de mouvement s'écrit (on néglige les collisions)

( )

^{u u P nq}

[

^{E u B}

]

⁰

mn r•∇r r+∇r •t − r +r×r =

5. 79 On suppose un plasma froid, c'est-à-dire P = 0. De plus,

( )





 



−

=

∇

• ,0,0

r u u

u

2

r θ

r r

5. 80

Rappel

En coordonnées cylindriques, nous avons la relation :

( )



 





∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂



 



 +

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂



 



 −

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇

•

z A B θ B r A 1 r A B zˆ

B rA 1 z A B θ B r A 1 r A B θˆ

B rA 1 z A B θ B r A 1 r A B rˆ B A

z z θ z

r z

r θ θ

z θ θ θ r

θ θ r

z r θ r r

r r r

de telle sorte que 5.79 devient:

[

^{E u B}

]

⁰

r nq mnu

z θ r 2

θ − + =

− 5. 81

qui donne une équation quadratique pour la vitesse:

0 m r ru qE m

u²_θ +qB^z _θ + ^r = 5. 82

qui admet comme solution

m r qE 4m

r B q 2m

r

u qB ₂ ^r

2 2 z 2

θ =− z ± − 5. 83

À titre d'illustration, considérons le profil de densité:

n(r) = n0 0 < r < a = 0 a < r l’équation 5.78 donne pour le champ électrique:

2ε r e dr n

n r r ε E e

0 0 0

r

0 0

r =−

∫

=− 5. 84 pour 0<r<a et 5.83 pour la vitesse:

0 2 0 2 2

2 2 z 2 θ z

2mε r n e 4m

r B e 2m

r

u =+ eB ± − 5. 85

Dans 5.85 il faut avoir le terme sous la racine carré positif ce qui implique:

0 2 0 2 2

2 2 z 2

2mε r n e 4m

r B

e ≥ 5. 86

c'est-à-dire

e 2 z 0

0 2m

B

n ≤ε 5. 87

cette condition s'appelle la limite de Brillouin. On peut écrire la condition 5.86 en terme du paramètre Q

2 z 0

e 0 2 ce 2 pe

B ε

m n ω

Q≡ω = 5. 88

ou ωce est la fréquence cyclotron électronique et ωpe la fréquence plasma électronique.

e 0

2 2 0

pe ε m

e

ω ≡ n 5. 89

La limite de Brillouin s'écrit alors:

2

Q≤1 5. 90

On peut écrire la vitesse sous la forme d'une vitesse de rotation à partir de 5.85 avec

0 0 2 2

2 z 2 z θ θ

2mε n e 4m

B e 2m eB r

ω =u = ± − 5. 91

on voit qu’il y a deux solutions : une rotation rapide ω⁺ et une rotation lente ω^- . La fréquence de rotation est indépendante de r - la colonne tourne comme un corps rigide à la fréquence de rotation:

[

^{1 1 2Q}

]

2

ω_θ =ω^ce ± − 5. 92

Figure 10 Limite de Brillouin On note qu’à faible densité Q << 1 on a pour les deux solutions:

ce ce

2ω ω Q

ω ω

≈

≈

− +

5. 93 Problème 5. 3

Faire l’expansion en série de Taylor de 5.92 pour obtenir 5.93

La première solution (ω+) correspond à la rotation rapide des particules individuelles qui suivent des orbites hélicoïdales autour des lignes du champ magnétique. La deuxième solution (ω-

)correspond à la rotation de la colonne à la vitesse ExB

( )



 



=

×



 



−

=

= ×

0 B r, 2ε

e 0, n

B 0, 0, 0 0, 2ε r,

e n B

1 B

B v E

z 0

0

z 0

0 2 z E 2

r r r

5. 94

Il en résulte donc une rotation

( )

ce

ce 2 pe z

e e 0

2 0

z 0

0 θ E θ

2Qω 1

ω ω 2 1 eB

m m ε

e n 2 1

B 2ε

e n r

ω v

=

=

=

=

= r

5. 95

On peut démontrer que cette situation correspond à une trajectoire trochoïdale de l’électron dans le champ électrique (Figure 11)

Figure 11 Trajectoire trochoïdale

La « pré-gaine »

Nous avons vu, en analysant les équations pour la gaine, que la présence d’une gaine stable (c'est- à-dire un potentiel qui varie de façon monotone ) impose une limite inférieure sur la vitesse avec laquelle les particules les moins mobiles entrent dans la gaine :

i e

s m

c kT

v≥ ≡ 5. 96

On veut maintenant regarder de l’autre coté : Le mouvement du fluide ( plasma ) dans la pré- gaine où le plasma est quasi- neutre. On suppose un plasma semi-infini en contact avec une plaque de nouveau dans l’état stationnaire :

Figure 12 Plasma en contact avec une plaque

À cause du fait qu’il y a une perte de particules à la plaque, il faut supposer une source de particules. On prend cette source comme uniforme dans l’espace. On suppose que la vitesse d’écoulement du plasma vers la plaque est nulle très loin de la plaque et que le plasma est quasi- neutre (ne = ni) partout. On suppose aussi que le champ électrique dans le plasma sert à repousser les électrons et accélérer les ions. Les équations fluides peuvent être écrites :

( )

^nu

( )

^{nu S}

t

n +∇• =∇• =

∂

∂ r r r r

5. 97

[ ]

[ ]

^{u u P nq}

[

^{E u B}

]

^muS

mn

B u E nq P u

t u mn

r r r r

t r r

r r r r r t

r r r r

−

=

× +

−

•

∇ +

∇

•

=

× +

−

•

∇

 +

 

 + •∇

∂

∂

5. 98

Dans une dimension, avec Pt =P=nkT

on obtient:

( )

^{nu S}

x =

∂

∂

5. 99

muS x nqE

P x

mnu u − =−

∂ + ∂

∂

∂

5. 100

où on a pris la direction x parallèle à B.

NOTE : on a une paire d’équations pour chaque espèce (ions et électrons) dans le plasma. On suppose ni = ne = n , et relie n et E ( ou V ) par une relation de Boltzmann :

( ) ( )



 



−

=

e

0 kT

x exp eV

n x

n 5. 101

où n0 est la densité à l’infini . On peut maintenant écrire pour le champ électrique:

x n n 1 e kT

n ln n e kT x x

E V

e

0 e

∂

− ∂

=



 



 



 





∂

− ∂

∂ =

− ∂

=

5. 102

Problème 5. 4

Déduire l’équation 5.101. Pour ce faire, considérez l’équation de quantité de mouvement selon l’axe x et faites l’approximation que la masse des électrons est nulle. Utilisez le fait que le champ électrique soit donné par le gradient du potentiel ( E=−∇rφ

) et une pression scalaire P = nkT avec T indépendant de x

Cette relation signifie physiquement que les électrons étant très mobiles et seraient donc accélérés à de très hautes énergies s’ils étaient soumis à une force nette. Il doit donc y avoir une balance entre la force électrostatique et la force de gradient de pression et cette condition donne lieu à la relation de Boltzmann.

On peut considérer l’écoulement des ions comme étant isothermique ( Ti = constante ) ou adiabatique. Pour tenir compte de ces différentes possibilités on écrit :

x kT n x γ

P

i

i ∂

= ∂

∂

∂

5. 103

où γi = 1 ( isothermique ) ou 5/3 ( adiabatique ) . Cette hypothèse remplace l’équation de l’énergie. Pour les ions, on obtient donc l'ensemble d'équations:

x S n u x

u n =

∂ + ∂

∂

∂

5. 104

x muS n n 1 e nZekT x kT n x γ

nu u

m_{i i i} ^e −

∂

− ∂

∂

− ∂

∂ =

∂

5. 105 Ou la charge des ions est donnée par qi = Ze avec Z le degré d'ionisation. En introduisant la vitesse ionosonore (ion sound speed)

i e i

2 i

s m

ZkT kT

c ≡ γ +

5. 106 l'équation 5.105 devient

n uS x n n c x u u

2

s −

∂

− ∂

∂ =

∂

5. 107

Écrivons 5.106 en terme du nombre de Mach cs

M= u

n MS c x n n c x M M

c ^s

2 2 s

s −

∂

− ∂

∂ =

∂

5. 108 mais l'équation de continuité (5.103) s'écrit

x nc M x S

M n

c_{s s}

∂

− ∂

∂ =

∂

5. 109 On peut isoler la dérivé de la densité dans 5.108 et substituer dans 5.107 pour obtenir une équation différentielle pour M:

n MS x

nc M nM S

1 x

M M

c_{s s} −



∂

− ∂

−

∂ =

∂

5. 110 d'ou



 +

−

=

 

 −

∂

∂ M

M 1 n S M

M c x c

M _s

s 5. 111

qui s'écrit finalement

2 2

s 1 M

M 1 nc

S x M

−

= +

∂

∂

5. 112 avec la condition de frontière M(-∞) = 0

Figure 13 Le profil du nombre de Mach (tirets), de la densité(ligne continue) et du potentiel (ligne pointillée) dans la pré-gaine (la surface de la gaine commence à droite du graphe) On voit que la dérivé spatiale de M est positive et donc M augmente vers la plaque. On ne peut pas, cependant, permettre M = 1 , parce que dans ce cas la dérivée devient infinie. Ce point est évidemment la surface de la gaine, où l’hypothèse de neutralité (ne = ni) ne tient plus.

Donc, du point de vue du plasma il faut avoir M < 1. Du point de vue de la gaine, il faut avoir M > 1. La solution à la surface de la gaine est donc : M = 1 Cette conclusion importante s'appelle le critère de Bohm

Calculons maintenant la densité en fonction de M. L'équation de continuité peut s'écrire à partir de 5.109:

x nc M x S

M M M n

c_{s s}

∂

− ∂

∂ =

∂

∂

∂

5. 113 et en substituant (5.111)

2 2

s 2 s

2

s

s 1 M

M 1 nc nc S M S

1 M 1 nc M S M c

n

−

− +

=



 





− +

∂

∂

2 2 2

2

M 1 S 2M M

1 M 1 n SM M

n

− −

=



 





− +

∂

∂

qui devient

M2

1 2M M

n n 1

− +

∂ =

∂

5. 114 Posons Y = 1 + M² de telle sorte que 2M dM = dY. Et 5.114 devient

2 0

0 1 M

1 Y

Y n

n Y

Y n

n

= +

⇒ =

−∂

∂ =

5. 115 Donc, à la surface de la gaine, où M = 1 , on a que nsg = n0/2 . L’accélération des ions a réduit leur densité par un facteur 2 ! On peut aussi calculer la variation du potentiel dans la « pré- gaine » :

( )

_



 



= 

0 e

n ln n(x) e x kT

V 5. 116

ou

( )

_



 





= ^e + ₂

M 1 ln 1 e M kT

V 5. 117

À la surface de la gaine, M = 1 et donc

e 0.69 kT e

kT 2 ln 1

V_sg  ^e =− ^e



 



=  5. 118

Pour calculer la forme précise de M(x) , n(x) et V(x) il faut proposer un modèle pour S(x) , mais les résultats pour la surface de la gaine sont généraux. Le comportement général est illustré à la Figure 13 en posant une dépendance exponentielle pour M.

Liste des équations

( )

^{v dv nu}

f v

Γr r r r r

=

=

∫

5. 1... 4

( )

^{nu 0}

t

n +∇• =

∂

∂ r r

5. 2 ... 4

[

^{E u B}

]

^{mnν u}

nq P u

t u

mn r rr +∇r•t − r + r×r₀ =− _αnr



∇

•

∂ +

∂ 5. 3 ... 4 t ≡0

∂

∂ 5. 4 ... 4

( )

^{u u nq}

[

^{EP u B0}

]

n

m r r r

t r r

r r

× +

<<

•

∇

<<

∇

• 5. 5... 4

( )

^nu =⁰

•

∇r r

5. 6... 4

[

^{E u B}

]

^{mnν u}

nq

Pt r r r_{0 αn}r

r • − + × =−

∇ 5. 7 ... 5 u

mnν n

kT

Pt r _αnr

r • = ∇ =−

∇ 5. 8... 5 n

mν D n Γ kT

αn

∇

−

∇ =

−

= r r

r 5. 9... 5

mναn

D= kT 5. 10 ... 5 u

mnν E

nqr _αnr

−

=

− 5. 11... 5 E

mν nµ E Γ nq

αn

r r

r = = 5. 12 ... 6

mναn

µ= q 5. 13... 6

( )

E σ

E eµ n

E eµ n eµ n j

e e

e e i i

r r r r

=

−

≅

−

=

5. 14... 6

en e

2 e

ν m

e

σ= n 5. 15... 6

q kT q

mν mν

kT µ

D _αn

αn

=



 







 



= 5. 16 ... 7

φ nµ n D

E nµ n D Γ

∇

−

∇

−

=

+

∇

−

= r r

r r

r

5. 17... 7

(

^{E u B}

)

^{kT n mnνu 0}

nq r +r_⊥×r − ∇r − r_⊥ =

5. 18 ... 8

(

^{u ,u ,0}

)

ur_⊥ = _{x y} 5. 19... 8

(

^{u B, u B,0}

)

B

ur_⊥×r = _y − _x 5. 20 ... 8

0 u x mnν kT n B nqu

nqE_{x y} − _x =

∂

− ∂

+ 5. 21... 8 0

u y mnν kT n B nqu

nqE_{y x} − _y =

∂

− ∂

− 5. 22... 8



 





∂

− ∂

−

= y

kT n B nqu mν nqE

nu_y 1 _{y x} 5. 23... 9

[

^1+ωc2τ2

]

^{ux =µEx +ωc2τ2 E}_B^{y − D}_n ^∂_∂x^{n −ωc2}_n^{τ2 kT}_qB^∂_∂ⁿ_y 5. 24... 9

[

^1+ωc2τ2

]

^{uy =µEy +ω2cτ2 E}_B^{x −D}_n ^∂_∂ⁿ_y ^−ωc2_n^{τ2 kT}_qB∂^∂_xⁿ 5. 25... 9

2 2 cτ ω 1 µ µ

= +

⊥ 5. 26... 10

2 2 cτ ω 1 D D

= +

⊥ 5. 27 ... 10

[

^1ωωττ

]

^EB

[

^1ωωττ

]

^{nq1 kTB yn}

x n n E D µ

u _{2 2}

c 2 2 y c

2 2 c 2 2 x c

x ∂

 ∂



 





− + + +

∂

− ∂

= _⊥ ^⊥ 5. 28... 10

[

^1ωωττ

]

^EB

[

^1ωωττ

]

^{nq1 kTB xn}

y n n E D µ

u _{2 2}

c 2 2 c x

2 2 c 2 2 y c

y ∂

 ∂



 



 + +

+ +

∂

− ∂

= _⊥ ^⊥ 5. 29... 10

E B2

B v E

r

r = r× 5. 30... 10

D 2

B B P nq v 1

r

r ∇r ×



 



−

= 5. 31... 10 E

µ n n D

Γr_{i i}r _{i i i}r +

∇

−

= 5. 32 ... 12 E

µ n n D

Γr_{e e}r _{e e e}r +

∇

−

= 5. 33 ... 12

( )

(

e i

)

i e

µ µ

D D n E n

−

−

=∇ r r

5. 34... 12

( )

( )

n D

µ µ

D µ D nµ

µ µ

D D n nµ n n D Γ

a

i e

e i i e

i e

i e e

e

∇

−

≡

−

∇ −

−

=

−

− + ∇

∇

−

=

v r

r r r

5. 35... 12



 



 +

≅ +



 



 +

=

i e i

e i i e

i i e

a

T 1 T D

D D T 1 T

T 1 T D D

5. 36 ... 13

i i e

a T

D T

D ≅ 5. 37 ... 13

( )

( )

( )

( )

i i e e

i e

i i i e

e e

i e

i e

i e

kT eD kT eD

D D n

n

kT D q kT

D q

D D n

n µ µ

D D n E n

+

−

−∇

=

−

−

=∇

−

−

= ∇

r r r r

5. 38... 13

( )

( )

e kT n

n

e kT D D

D D n E n

i e

i e

−∇

≅

+

−

−∇

= r r r

5. 39... 13



 



 +

≅

+



 



 +

=

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

e e i

i i e e

i e i e a

T 1 T D

kT D D e

kT e

kT e kT D e D D

5. 40 ... 14

e kT n E≅∇n ⁱ

r r

5. 41 ... 14 n

D Γr =− _a∇r

5. 42 ... 15

(

^{D n}

)

t 0 n t Γ

n

a∇

•

∇

∂ −

=∂

=

•

∇

∂ +

∂ r r r r

5. 43 ... 15 n

t D

n ₂

a∇

∂ =

∂ 5. 44 ... 15



 



= 

dr rdR dr

d r T1 dt D

RdT _a 5. 45... 15

τ 1 dr

rdR dr

d r 1 R D dt dT T

1 _a

−

=



 



=  5. 46 ... 15

τ 1 dt dT T

1 =− 5. 47... 16



 



−

= τ

exp t T

T(t) ₀ 5. 48 ... 16 τ 0

1 dr rdR dr

d r 1 R D_a

= +



 



 5. 49... 16

τ 0 D

R dr dR r 1 dr

R d

a 2

2

= +

+ 5. 50... 16

( )

_^









= 

a

0 τD

J r r

R 5. 51... 16

a 2

D 5.8

τ= a 5. 52... 18

...

D , 139.2 , a D 74.0 , a D 30.3 , a D 5.8 τ a

a 2

a 2

a 2

a 2

≅ 5. 53 ... 18

( )

^{r a J}

( )

^{k r}

R _{0 i}

i

∑

i

= 5. 54... 18 S

n D_a∇² =

− 5. 55... 19

Da

S r

r n r r

1 =−



 





∂

∂

∂

∂ 5. 56... 19

2 r D

S r

r n ²

a r

0

−

∂ =

∂ 5. 57... 19 2D r

S r

n

a

−

∂ =

∂ 5. 58... 19

r

0 2

a r

0 2

r 2D

n =− S 5. 59... 20

( ) ( )

a 2

4D 0 Sr n r

n = − 5. 60 ... 20

( ) ( )

a 2

4D 0 Sa n a

n = − 5. 61... 20



 





∂

∂

∂

= ∂

=

∇

− r

r n r r 0 1 n

D_a ² 5. 62 ... 20



 



= 

= ⇒

∂

∂

a Kln r n

r K

r n ^r_a 5. 63... 20

( ) ( )

^{r =n a +Kln}_^_a^r_^

n 5. 64... 20