MATHÉMATIQUES II

MATHÉMATIQUES II

Le but du problème est d’établir quelques propriétés des cônes et coni- ques dans le cadre de la théorie des formes quadratiques.

Dans tout le problème, le corps de base est . Si est un espace vectoriel réel, on désigne par l’espace vectoriel réel des formes quadratiques définies sur . Si , on désigne par le cône isotrope de , c’est-à-dire l’ensemble des vecteurs tels que .

Les parties sont largement indépendantes et de difficulté croissante. La résolu- tion des questions préliminaires A et B n’est pas indispensable pour la suite du problème.

Question préliminaire A.

Soit un plan vectoriel réel et ; en vue de décrire on intro- duit une base de et on désigne par

la matrice de relativement à .

Quelle est la signature de ? Montrer que est réduit à ou est la réunion d’un ensemble fini de droites, dont on précisera le cardinal. On utilisera pour toute cette question une décomposition de Gauss et la discussion portera entre autres sur le signe de .

Partie I - Cônes contenant cinq vecteurs donnés

On rapporte l’espace vectoriel euclidien muni de son produit scalaire cano- nique < .,.> à sa base orthonormale canonique et on considère deux vecteurs et de composantes respectives et , avec . On note l’ensemble des formes quadratiques telles que contienne et ; est un sous-espace vectoriel de (on ne demande pas de le vérifier).

I.A - Soit ; donner une condition nécessaire et suffisante portant sur la matrice de relativement à pour que contienne ; en déduire que contient , et si, et seulement si, il existe , , réels tels que :

. (1)

IR E

Q E( )

E q∈Q E( ) C_q q

x∈E q x( ) = 0

E₂ q∈Q E( ₂)–{ }0 C_q

B = ( , )i j E₂

M r s s t

=

q B

q C_q { }0

rt–s²

IR³

B_c = (i j k, , )

e e′ (a b c, , ) (a′ b′ c′, , )

abca′b′c′ 0≠ Q_{e e, ′} q∈Q IR( ³)

C_q i j k e, , , e′ Qe e, ′ Q IR( ³)

q∈Q IR( ³)

q B_c C_q i C_q

i j k α β γ

∀X = (x y z, , ) IR∈ ³, q X( )=αyz βzx γxy+ +

Filière MP

I.B - On désigne par et les formes linéaires sur qui à un triplet associent respectivement :

et .

I.B.1) Donner une relation entre le rang de la famille et la dimension de .

I.B.2) Lorsque cette dimension vaut , montrer que tous les éléments non nuls de ont le même cône isotrope.

I.B.3) À l’aide de Vect , interpréter la condition (2) suivante :

(2) On suppose (2) vérifiée. Déterminer une base de . Déterminer le rang des formes quadratiques non nulles de . Montrer que les éléments de ont une signature différente de . Quelles sont les valeurs possibles de cette signature ?

Dans la suite on sera amené à envisager des propriétés affines de dont les éléments seront alors considérés comme des points. En particulier le point sera le vecteur .

Partie II - Nature d’une section conique

Question préliminaire B

Déterminer les éléments communs aux cônes isotropes de toutes les formes qua- dratiques du type .

On fixe maintenant, pour toute la partie II , le triplet non nul et on désigne pour simplifier par le cône isotrope de .

Dans toute la suite du problème, on désigne par et les plans d’équa-

tions respectives et et,

pour tout triplet , on désigne par la forme quadratique

qui à associe .

l l′ IR³

τ = (α β γ, , ) l( )τ = αbc βca γab+ + l′ τ( ) = αb′c′ βc′a′ γa′b′+ +

l l′ ( , ) Q_{e e, ′}

1 Q_{e e, ′}

e e′ ( , ) bc′ b′c–

( ) ca′ c′a( – ) ab′ a′b( – ) 0≠

Q_{e e, ′}

Q_{e e, ′} Q_{e e, ′}

( , )3 0

IR³

O 0 0 0, ,

( )

P₀ P₁ x+y+z = 0 x+y+z = 1

τ = (α β γ, , ) IR∈ ³ q_τ M=(x y z, , )∈IR³ αyz βzx γxy+ +

q_τ

τ = (α β γ, , )

C_τ q_τ

II.A - Étude de

Justifier l’existence d’une base de qui soit une famille orthonor- male pour le produit scalaire canonique de et telle que la restriction ait dans une matrice de la forme :

Discuter selon et la nature de . II.B - Étude de

II.B.1) Soit comme en II.A, et qui la complète en une base orthonormale de . Dans cette base, les coordonnées du point courant de

seront désignées par et .

a) Montrer que, relativement au repère , a une équation de la forme où prend l’une ou l’autre de deux valeurs que l’on précisera.

b) De quelle forme est la matrice de relativement à ? En conclure que si

, alors . En déduire que .

On supposera désormais que , de sorte que .

c) Montrer que, relativement au repère , est définie par un sys- tème du type :

En déduire que est une conique dont on précisera le genre en fonction de et .

II.B.2) Mettre en relation le genre de et la nature de .

Partie III - Sections circulaires d’un cône

Soient , , des scalaires non nuls, et les plans d’équations respectives

et .

Soit un triplet non nul et la forme quadratique qui lui est associée ; en désigne le cône isotrope ; désigne enfin l’application carré scalaire canonique dans .

III.A - Montrer que si vérifient

(3) C_τ∩P₀

B₀ = (I J, ) P₀

IR³ q_τP₀

B₀ α′ 0 0 β′

α′ β′ C_τ∩P₀

C_τ∩P₁

B₀ B = (I J K, , )

IR³ M

IR³ X Y, Z

O ; B ( ) P₁ Z = z₀ z₀

q_τ B

α′ β′,

( ) = (0 0, ) rg( ) 2q_τ ≤ (α′ β′, )=(0 0, )⇒αβγ=0 αβγ 0≠ (α′ β′, )≠(0 0, )

O ; B

( ) C_τ∩P₁

α′ X²+β′Y²+γ′X δ′Y ε′+ + = 0

Z = z₀





C_τ∩P₁ α′ β′

C_τ∩P₁ C_τ∩P₀

a b c Π₀ Π₁

x a--- y

b--- z c--

+ + = 0 x a--- y

---b z --c + + = 1

τ q_τ C_τ

q₀ IR³

a b c, , , , ,α β γ αbc

b²+c²

--- βac a²+c²

--- γab a²+b² ---

= =

il existe et tel que ,

Dans ce cas, montrer que est inclus dans une sphère. En conclure que est un cercle. Que représente-t-il pour les points , et

?

On admettra que les relations (3) constituent une condition nécessaire et suffi- sante pour que soit un cercle.

III.B - Montrer que pour tout point , il existe tel que et que soit le barycentre de , et affectés des masses respectives , et . Si est tel que soit un cercle, donner une expression simple de à l’aide de , , , et des carrés des distan- ces , , .

Partie IV - Couple foyer — directrice d’une conique

Dans cette partie, on note pour simplifier le cône d’équation . Pour la suite, désigne un réel donné.

IV.A - Soit le point de coordonnées . Montrer qu’il existe un réel tel que, pour tout , la distance de à la droite soit égale à . En déduire la nature de .

IV.B - On suppose désormais . Soit le plan d’équation ; comment se déduit-il de ? Pour , on désigne par l’application qui à

de coordonnées dans associe .

Montrer que pour un unique , est l’équation d’une sphère . En donner le centre et le rayon et la situer par rapport à .

IV.C -

IV.C.1) Soit un plan non parallèle à ; montrer qu’il existe une droite incluse dans et un scalaire tels que :

,

où désigne la distance de à .

Indication : on pourra s’intéresser à la relation ; un croquis pourra être utile.

λ IR∈ ^* l∈L(IR³,IR)

∀M = (x y z, , ) IR∈ ³ q_τ(M)–λq₀(M) x a--- y

b--- z c-- + +

 

  l M⋅ ( )

=

C_τ∩Π₁

C_τ∩Π₁ A a 0 0( , , ) B 0 b 0( , , )

C 0 0 c( , , )

C_τ∩Π₁

M x y z( , , ) Π∈ 1 (x′ y′ z′, , ) IR∈ ³

x′ y′ z′+ + = 1 M A B C

x′ y′ z′ τ C_τ∩Π₁ q_τ(x y z, , ) λ x′ y′ z′

BC ² CA ² AB ²

C₀ yz+zx+xy = 0 a

Ω_a (a a a, , )

d_a≥0 M∈C₀\ O{ } Ω_a (OM)

d_a C₀

a≠0 P_a x+y+z = a

P₁ λ IR∈ Φ_λ

M (x y z, , ) IR³ (x+y+z–a)²+λ yz zx xy( + + )

λ₀∈IR Φ_λ0(M) = 0 Σa

C₀

Π P_a D

Π µ

M x y z( , , )

∀ ∈Π (x+y+z–a)² = µ d M D( ( , ))²

d M D( , ) M D

x+y+z–a = 0

IV.C.2) On suppose, de plus, que est tangent à en un point . Pour tout , exprimer à l’aide de .

IV.D - Conclure de ce qui précède que est une conique de foyer et de directrice . Faire un croquis d’ensemble sans nécessairement chercher à repré- senter le repère canonique.

Partie V - Centre d’une conique

Dans cette partie, on considère , dont on désigne par la forme polaire.

V.A - Soient et deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans et

soit la symétrie qui à , où , associe

. Pour , exprimer à l’aide de

. En déduire que :

(4) On suppose non dégénérée ; on ne demande pas de prouver l’existence et l’uni- cité de automorphisme de tel que

, .

V.B - Si est un élément non nul de , on pose .

Soit un sous-espace vectoriel de ; montrer que :

V.C - En déduire que l’hyperplan possède un supplémentaire vérifiant : ,

si et seulement si . Montrer que est alors unique et en donner une description.

On choisit maintenant , de sorte que . Soit , avec ; on choisit , on lui associe comme ci-dessus et on appelle la matrice de relativement à la base canonique.

V.D - Déterminer la comatrice de . Montrer que :

(5) V.E - Si , on définit comme ci-dessus, puis à partir de la décomposition en somme directe . Décomposer alors un vecteur ainsi que son image sur la somme directe . En déduire que

Π Σ_a F

M∈Π Φ_λ

0(M) FM

C₀∩Π F

D

q∈Q IR( ³) f

E′ E″ IR³

s∈L IR( ³) X = X′ X″+ (X′ X″, )∈E′ E″× s X( )=X′–X″ (X′ X″, )∈E′ E″× q X( ′ X″+ )–q X( ′ X″– ) f

[

]

u IR³

X Y ( , )

∀ ∈IR³×IR³ f X Y( , ) = < u X( ), >Y

V IR³ H X∈IR³ < V X, > 0=

 

 

 

=

F IR³

[

]

H F

X Y ( , )

∀ ∈F×H,f X Y( , )=0

< u^–1( )V, > 0V ≠ F

V = (1 1 1, , ) H = P₀ τ = (α β γ, , )

αβγ 0≠ q = q_τ u M

q

M

< u^–1( )V, > 0V ≠ ⇔α²+β²+γ²≠2(αβ βγ γα+ + )

< u^–1( )V, > 0V ≠ F s

IR³ = F⊕P₀

X∈IR³ s X( ) F⊕P₀

laisse stable . En déduire que possède un centre de symétrie dont on donnera les coordonnées.

V.F - On suppose au contraire que .

V.F.1) Quelle est la nature de ? On pourra utiliser II.B.2.

V.F.2) On définit une base orthonormale de telle que soit colinéaire à et directement colinéaire à . Étudier soigneusement la forme de la matrice de relativement à et retrouver la nature de . Que représente la direction de pour cette conique ?

••• FIN •••

s P₁ C_q∩P₁

< u^–1( )V, >V = 0 C_q∩P₁

B = (I J K, , ) IR³ J

u^–1( )V K V

q B C_q∩P₁

J