Trigonométrie et Dérivation Feuille 1

Trigonométrie et Dérivation Feuille 1

Généralités sur les fonctions numériques

Exercice1.1

Soitf une fonction deRdansR.

Parmi les assertions suivantes, déterminer celles qui sont vraies. On justifiera les réponses.

1. Sif est croissante etf(a)< f(b)alorsa < b.

2. Sif est croissante etf(a)≤f(b), alorsa≤b.

3. Sif est strictement croissante etf(a)≤f(b)alorsa≤b.

Exercice1.2

Soientf:N−→Netg:N−→Ndéfinies, pour toutx∈Nparf(x) = 2xetf(x) = jx

2 k

. 1. (a) Démontrer quef est injective et non surjective.

(b) Pour tout y ∈ N, résoudre l’équationf(x) = y d’inconnuex ∈ N. Retrouver ainsi le fait quef est injective et non surjective.

2. Étudier l’injectivité et la surjectivité deg.

3. Préciserg◦f etf◦g.

Exercice1.3

Déterminer les applicationsf, deRdansR, telles que,

∀x∈R, f(x) +xf(1−x) = 1 +x

Trigonométrie

Exercice1.4

Résoudre l’équation (E) : tan

3x− π 5

= tan Å

x+4π 5

ã .

Exercice1.5

Résoudre l’équation (E) : 3 cos(5x) = cos(2x) + cos(12x).

Exercice1.6

Résoudre l’équation (E) : arcsinx= arcsin4

5 + arcsin 5 13.

Exercice1.7

Résoudre l’équation (E) : 2 arcsinx= arcsin(2x√

1−x²).

Exercice1.8

Résoudre l’équation (E) : cosx+ cos 2x−3 cos 3x= 1.

Exercice1.9

Calculer le sinus, le cosinus et la tangente des nombres réels π 12, 5π

12 et 7π 12.

Quentin De Muynck Sous licencecbea

FEUILLE I - TRIGONOMÉTRIE ET DÉRIVATION

Exercice1.10

Résoudre l’équation cos 3θ= cos 4θ.

En déduire les solutions de l’équation(E) : 8x⁴−4x³−8x²+ 3x+ 1 = 0.

Exercice1.11

Résoudre l’inéquation (I) : 2 sinx−1<√

1−4 cos²x.

Exercice1.12

Résoudre surRl’équation (E) :√

1−x= 2x²−1 + 2x√ 1−x².

Dérivation

Exercice1.13

Sans en rechercher les domaines de définition, dériver les fonctions suivantes : f(x) = ln»

|tanx|, g(x) =

… sin1

x eth(x) = 1 2(e^x+ e^−x)²

Exercice1.14

Sans en rechercher les domaines de définition, calculer les dérivées des fontions suivantes : f(x) = cos (exp (3xsin lnx)), g(x) = (ln³(x²+ 1)−ln(x²+ 1))⁵eth(x) = sinx²

(x+ lnx)⁹

Exercice1.15

SoitI un intervalle etf:I −→Rune application dérivable surI et telle quef ne s’annule pas surI.

On définit la dérivée logarithmiquef^∗defpar la formulef^∗ = f⁰ f. 1. Démontrer que(f g)^∗ =f^∗+g^∗,

Åf g

ã∗

=f^∗−g^∗ et pour toutn∈Z, (fⁿ)^∗ =nf^∗.

Montrer que sif est à valeurs dansR^∗₊, alors pour toutx∈I, pour toutα∈R, (f^α)^∗ =αf^∗. 2. Calculer la dérivée de f(x) = x²(lnx+ 1)(x²+ 3)(e^−x+2x)√

xtanx

(17 e^2x+1)(x⁶+ 5x⁴+ 2x²+ 203) . On ne demande pas d’étudier le domaine de définition.

Exercice1.16

Calculer la dérivéen-ième def:x7−→cos²xet deg:x7−→ 2x x²−1.

Exercice1.17

Montrer que, pour toutt∈R, arctant= arcsin Å t

√ 1 +t²

ã .

Exercice1.18

Résoudre l’équation suivante, en l’inconnuex∈R: arccos

Å1−x 1 +x

ã

+ arcsin Å2√

x 1 +x

ã

=π

Exercice1.19

Simplifierf(x) = arcsin

Ç 1 +x p2(1 +x²)

å .

Exercice1.20

Soitx∈R. Déterminer les périodes des applications suivantes : f:R−→R

θ7−→cos(xsinθ)

etg:R−→R

θ7−→sin(xsinθ)

Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea