Dérivation et Intégration Feuille 2
Sans changement de variable ou intégration par parties
Exercice2.1
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. Une fonction périodique est bornée.
2. Le produit de deux fonctions impaires est une fonction paire.
3. La dérivée d’une fonction impaire est paire.
4. Une primitive d’une fonction paire est impaire.
5. Le produit de deux fonctions croissantes est une fonction croissante.
Exercice2.2
Soitaun réel strictement positif différent de1.
Résoudre l’inéquationloga2x >loga3(2−3x)
Exercice2.3
Démontrer que∀t∈R∗+, arctant > t 1 +t2
Exercice2.4
CalculerA= Z π3
0
tanxp
1 + tan2x dxet Z π
0
sint 1 + cos2t dt
Exercice2.5
Calculer Z
cos4tsin2t dt
Exercice2.6
CalculerI = Z 2
0
√ex dx, J = Z π
2 16
π2 36
√ dx
xcos2√
x, K = Z π
3
π 6
dx
tanx etL= Z 1
0
eex+x dx.
Exercice2.7
Calculer les primitives des fonctions suivantes : f(x) =
p√x+ 1
√x , g(x) = cosx
√2 + sinx, h(x) = ln2x x
i(x) = 1
xlnxln(lnx), j(x) = 1 x+√
x, k(x) = tanhx
`(x) = x3
1 +x2, m(x) = 1
√x+√
x−1, n(x) = tan2x, p(x) = (1 + tanx)2
Exercice2.8
Déterminer les applications continuesf de[a, b]dansRvérifiant Z b
a
f(t) dt= (b−a) sup
t∈[a,b]
|f(t)|
Quentin De Muynck Sous licencecbea
FEUILLE II - DÉRIVATION ET INTÉGRATION
Exercice2.9
Étude de la fonctionf(t) = t2−2t−1 t e−1/t.
Exercice2.10
Déterminer les fonctions continues surRtelles que
∀x∈R, ∀a∈R∗+, f(x) = 1 2a
Z x+a x−a
f(t) dt
Exercice2.11
CalculerI = Z 1
−2
x
x2+ 4x+ 13 dx.
Indications :On pourra commencer par calculer Z 1
−2
1
x2+ 4x+ 13 dxen utilisant quex2+ 4x+ 13 = (x+ 2)2+ 9.
Exercice2.12
Déterminer les applications f, de NdansN, strictement croissantes telles quef(2) = 2, et, pour toutp, q ∈ N, f(pq) =f(p)f(q).
Exercice2.13
Soienta, b, ctrois nombres réels positifs ou nuls. Démontrer que l’un au moins des trois nombres réels4b(1− c), 4c(1−a)et4a(1−b)est inférieur ou égal à 1.
Exercice2.14
Lemme de Gronwall :
Soitf:R+−→R+continue, telle qu’il existek∈R+pour lequel
∀x∈R∗+, f(x)≤k Z x
0
f(t) dt Montrer quefest nulle.
Exercice2.15
Soitf une application de[0,+∞[dansR, de classeC1, telle quef(0) = 0et telle quef0(x)∈ [0,1]pour tout x≥0.
Montrer que Z x
0
f3(t) dt≤ ÅZ x
0
f(t) dt ã2
.
Avec changement de variable ou intégration par parties
Exercice2.16
Soitn∈N. Calculer Z e
1
tnlnt dt.
Exercice2.17
Calculer les primitives des fonctions suivantes :
f(x) = (x2−1) e2x, g(x) =x3e−x2, h(x) = ln2x
Exercice2.18
Calculer Z
cos4tsin3t dt.
Exercice2.19
On souhaite calculerI = Z 2π3
π 3
x sinx dx.
1. TransformerIen posant d’abordu= x
2 puist= tanu.
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FEUILLE II - DÉRIVATION ET INTÉGRATION
2. Soitα >0. En posantx= 1
t, calculer Z α
1 α
lnt 1 +t2 dt.
3. Achever le calcul deI.
Exercice2.20
Pour toutn∈N, on poseIn= Z 1
0
xntanx dx.
Calculer les limites de(In)n∈Net de(nIn)n∈Nlorsquentend vers+∞.
Exercice2.21
Calculer Z p
1 +√ 1−t2
√
1−t2 dt.
Exercice2.22
En posantu=π−t, calculerI = Z π
0
tsint 1 + cos2t dt.
En posantu= π
2 −t, calculerJ = lim
x→π
2
ÅZ x 0
dt 1 + tan2018t
ã . En posantu=√
t2+t+ 1−t, calculerK= Z 1
0
√ dt
t2+t+ 1.
Exercice2.23
On poseI = Z π
2
0
cosx
√1 + cosxsinx dxetJ = Z π
2
0
sinx
√1 + cosxsinx dx.
Montrer queI =J puis calculerI.
Exercice2.24
Calculer Z
P(x) eax+b dx, oùP(X)∈C[X]eta, b∈R.
Quentin De Muynck 3 Sous licencecbea
