L3 – Partiel d’Alg`ebre – Fevrier 2007 Question 1

L3 – Partiel d’Alg`ebre – Fevrier 2007

Question 1 Soient f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel V etW un sous- espace vectoriel f-stable de V. Notons f⁰ ∈EndK(W) l’endomorphismef restreint

` a W.

(a) Montrer que χ_f⁰(X) divise χ_f(X).

(b) Montrer que µ_f⁰(X) divise µ_f(X). En d´eduire que si f est diagonalisable alors f⁰ est diagonalisable.

Question 2Soientfetgdeux formes lin´eaires sur unK-espace vectorielV. Montrer que Kerf = Kerg si et seulement si f et g sont colin´eaires.

Exercice 1 On consid`ere l’applicaton lin´eaire T :R³[X] → R³[X]

f 7→ 2f −Xf⁰+ (X²+ 1)f⁰⁰− ²₃f⁰⁰⁰

(a) Choisir une base de R³[X] et d´eterminer la matrice de T dans cette base. En d´eduire les polynˆome caract´eristique et minimal de T.

(b) D´eterminer la forme de Jordan de T et donner une base de Jordan (en terme des polynˆomes).

(c) D´eterminer tous les sous-espaces T-stables. (indication : utiliser un argument sur dimension et Question 1)

Exercice 2 on consid`ere la matrice

A=













0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0













(a) Supposons A ∈ M5(R). Est-ce que A est trigonalisable ? Est-ce qu’elle est dia- gonalisable ? pourquoi ? Si oui donner une base de Jordan.

(b) Les mˆemes questions si on suppose A∈M₅(C).

(c) Les mˆemes questions si on suppose A∈M5(Z/5Z).

Exercice 3

(a) Soient A et B deux matrices complexes de M3(C) telles que A² = B³ = 0 et rangA= rangB. Montrer que A etB sont semblables.

(b) Donner un example pour montrer que (a) est faux si A et B appartiennent `a M4(C).