1. Alg` ebre des polynˆ omes invariants sous l’action d’un groupe fini 2. Compression de donn´ ees sans perte

Universit´ e Grenoble Alpes 2017-2018 M1 Math´ ematiques g´ en´ erales

Sujets de TER 2017-2018

Envoyer un mail au responsable du M1 (didier.piau@univ-grenoble-alpes.fr), avec le titre M1 MG TER, indiquant votre nom et les num´ eros des quatre sujets que vous sou- haiteriez obtenir, par ordre de pr´ ef´ erence d´ ecroissante, avant le jeudi 30 novembre ` a minuit.

Liste des sujets :

1. Alg` ebre des polynˆ omes invariants sous l’action d’un groupe fini 2. Compression de donn´ ees sans perte

3. Corps non commutatifs

4. Courbes alg´ ebriques r´ eelles maximales 5. Courbes nodales al´ eatoires

6. Des in´ egalit´ es isop´ erim´ etriques ` a la g´ eom´ etrie sous-riemannienne de contact 7. Diagrammes de Coxeter

8. Estimation ` a noyau de la densit´ e

9. Facteurs premiers de certaines formes polynomiales 10. Films de savon et th´ eorie des courants

11. Fonctions harmoniques, graphes de Cayley et propri´ et´ e de Liouville 12. Graphes al´ eatoires et fonctions de seuil

13. Groupe de Witt d’un corps 14. Groupe fondamental et SO(3)

15. In´ egalit´ es de concentration et applications 16. In´ egalit´ es g´ eom´ etriques et courbure positive

17. Int´ egration num´ erique par m´ ethode de quasi Monte Carlo 18. K-th´ eorie de Milnor

19. Le lemme des mariages vu par les graphes, la moyennabilit´ e des groupes et les d´ ecompositions paradoxales

20. Le probl` eme de Waring

21. Marches auto-´ evitantes, constante de connectivit´ e 22. Magn´ etisation spontan´ ee

23. M´ ethodes modernes de factorisation des entiers 24. Orbites de familles de champs de vecteurs 25. Probl` eme de Kakeya

26. Probl` eme de Schwarz

27. Th´ eor` eme de Poincar´ e-Bendixson 28. Topologie du plan

29. Un sch´ ema de chiffrement bas´ e sur les syst` emes polynomiaux : HFE et sa crypta-

nalyse

1 Alg` ebre des polynˆ omes invariants sous l’action d’un groupe fini

Il est connu que les polynˆ omes en n ind´ etermin´ ees invariants sous l’action du groupe sym´ etrique S _n forment une alg` ebre de polynˆ omes en les polynˆ omes sym´ etriques ´ el´ emen- taires (voir le cours d’Alg` ebre 1 du M1).

Plus g´ en´ eralement, si k est un corps, tout sous-groupe fini G de GL _n (k) agit naturelle- ment par automorphismes d’alg` ebres sur A = k[X <sub>1</sub> , . . . , X <sub>n</sub> ], en stabilisant les compo- santes homog` enes. On s’int´ eressera ` a l’alg` ebre A ^G des polynˆ omes invariants par G, dont un exemple simple montre qu’elle n’est pas toujours un anneau factoriel.

On cherchera ` a d´ eterminer cette alg` ebre pour certains exemples de groupes G (petits groupes d’isom´ etries, groupes A n ), et on en verra quelques propri´ et´ es g´ en´ erales : existence d’un nombre fini de g´ en´ erateurs, th´ eor` emes de Noether et Molien pour aider ` a les trouver, etc.

On ´ etudiera notamment le th´ eor` eme de Chevalley-Shephard-Todd (en caract´ eristique nulle) selon lequel A <sup>G</sup> a une structure d’alg` ebre de polynˆ omes si et seulement si le groupe fini G est engendr´ e par des pseudo-r´ eflexions de k ⁿ . On verra que dans ce cas les degr´ es des g´ en´ erateurs de A ^G sont li´ es ` a la structure de G.

Pr´ e-requis

On utilisera pour ce travail des notions vues dans le cours d’Alg` ebre 1 du M1, et aussi, de mani` ere limit´ ee, dans le cours d’Alg` ebre 2 du M1, dont ce sujet donne une illustration naturelle.

Bibliographie

Benson-Grove, Finite reflection groups, deuxi` eme ´ edition, chapitre VII.

Cox-Little-O’Shea, Ideals, varieties and algorithms, chapitre VII.

Arnaudi` es-Bertin, Groupes et g´ eom´ etrie, tome 2, chapitre XXI.

2 Compression de donn´ ees sans perte

Le stockage de donn´ ees redondantes (lettres dans un texte, bases d’acides amin´ es dans une s´ equence ADN) ´ ecrites via un alphabet A commence par une op´ eration de traduction.

Par exemple, le stockage de donn´ ees informatiques revient ` a se donner une application injective

c : A → [

k∈ N

{0, 1} ^k

appel´ ee code. Le but de la compression (optimale) de donn´ ees est de trouver un code c qui minimise la longueur de la suite de 0 et de 1 utilis´ ee pour stocker une suite de mots.

Supposons que les lettres que l’on souhaite stocker sont g´ en´ er´ ees par une loi de probabilit´ e p sur l’alphabet A. Une lettre est donc mod´ elis´ ee par une variable al´ eatoire A de loi p.

On peut montrer que pour tout code « raisonnable » c, la longueur moyenne d’une lettre cod´ ee est minor´ ee par l’entropie de p, c’est-` a-dire

E [`(c(A))] > H(p),

o` u ` est la fonction longueur et H(p) est l’entropie de p, d´ efinie par H(p) = − X

a∈A

p({a}) log ₂ p({a}).

Le travail propos´ e consiste ` a ´ etudier les codes optimaux, dits codes de Huffman, et leur facteur de compression. On pourra ´ egalement impl´ ementer ces algorithmes de co- dage/d´ ecodage.

Pr´ e-requis

Probabilit´ es discr` etes.

Bibliographie

O. Catoni (2004). Statistical learning theory and stochastic optimization. ´ Ecole d’´ et´ e de Probabilit´ es de Saint-Flour XXXI-2001 (Chapitre 1).

T.M. Cover, J.A. Thomas (2012). Elements of information theory. John Wiley & Sons

(Chapitre 5).

3 Corps non commutatifs

La d´ efinition fran¸ caise d’un corps n’impose pas qu’il soit commutatif. Le corps non commutatif le plus connu est le corps H des quaternions, d´ efini comme la R-alg` ebre associatice et unif` ere engendr´ ee par deux ´ el´ ements I et J v´ erifiant les relations

I ² = −1, J ² = −1 et IJ = −J I.

Ce corps des quaternions est utilis´ e dans diff´ erents contextes : ainsi en arithm´ etique il permet de d´ emontrer que tout nombre entier positif est somme de quatre carr´ es. En physique, la forme bilin´ eaire trace (z, z ⁰ ) 7→ tr(zz ⁰ ), o` u la trace d’un ´ el´ ement z est la trace de l’op´ erateur de multiplication par z, correspond ` a l’espace-temps de Minkowski : elle est donn´ ee dans la base (1, I, J, IJ ) par l’expression 4(tt ⁰ − xx ⁰ − yy ⁰ − zz ⁰ ).

Sur le corps des r´ eels, une classification est donn´ ee par le th´ eor` eme de Frobenius : Th´ eor` eme (Frobenius). Une R-alg` ebre de dimension finie qui est un corps est iso- morphe ` a R, C ou H.

Si on se place sur un autre corps commutatif, comme celui des rationnels Q, alors il est facile d’obtenir diverses alg` ebres non commutatives qui sont des corps et qui ne sont pas isomorphes, en consid´ erant les relations

I ² = a, J ² = b et IJ = −J I

avec a, b ∈ Q, et il est naturel d’essayer d’en trouver une classification.

De mani` ere plus pr´ ecise, soit K un corps. Les classes d’isomorphismes des alg` ebres de dimension finie sur K qui sont un corps et dont le centre est K forment un ensemble.

Ce qui est remarquable est que cet ensemble peut ˆ etre muni naturellement d’une loi de groupe. On obtient ainsi le groupe de Brauer Br(K).

Ce groupe est un invariant fondamental qui revient dans de tr` es nombreux contextes en math´ ematiques, aussi bien pour la classification des quadriques sur un corps quelconque, qu’en th´ eorie des nombres ou mˆ eme en g´ eom´ etrie.

Pr´ e-requis

Le contenu des unit´ es d’alg` ebres du L3 et du premier semestre de M1.

Bibliographie

[1] A. Blanchard, Les corps non commutatifs, Presses Universitaires de France, Paris (1972).

[2] N. Bourbaki, Alg` ebre, Chapitre III, §2, Springer-Verlag, Berlin (1970).

[3] N. Bourbaki, Alg` ebre, Chapitre VIII, Springer-Verlag, Berlin (2012).

4 Courbes alg´ ebriques r´ eelles maximales

Un polynˆ ome r´ eel en une variable r´ eelle de degr´ e d poss` ede au maximum d racines r´ eelles, et cette borne est toujours atteinte. Qu’en est-il en deux variables ? Cette fois le lieu d’annulation est la r´ eunion d’un certain nombre de courbes, des cercles topologiques pour les composantes born´ ees. Peut-on borner le nombre de ces composantes par une fonction du degr´ e ? Cette borne est-elle toujours atteinte ?

Cette vieille et jolie question a ´ et´ e r´ esolue ´ el´ egamment par Axel Harnack en 1876. Le travail propos´ e montre qu’on peut r´ esoudre des probl` emes d’alg` ebre avec de l’analyse, de la topologie et de la g´ eom´ etrie.

Pr´ e-requis

Cours de L3, surtout calcul diff´ erentiel.

Bibliographie

Bochnak, Jacek, Coste, Michel, Roy, Marie-Fran¸ coise, G´ eom´ etrie alg´ ebrique r´ eelle, Sprin-

ger Science & Business Media, 1987.

5 Courbes nodales al´ eatoires

Le laplacien sur la sph` ere ronde poss` ede un spectre discret, infini, tendant vers l’infini et de plus en plus d´ eg´ en´ er´ e. Nazarov et Sodin ont d´ emontr´ e qu’il existe une constante a > 0 telle que, si l’on tire au hasard une grande valeur propre L, alors, avec grande probabilit´ e, le nombre de composantes connexes du lieu d’annulation de la fonction propre associ´ ee

`

a la valeur propre L est tr` es proche de aL.

Le travail propos´ e consiste ` a comprendre la d´ emonstration de ce r´ esultat.

Pr´ e-requis

Cours de L3 d’analyse, calcul diff´ erentiel et probabilit´ es.

Bibliographie

F. Nazarov, M. Sodin, On the number of nodal domains of random spherical harmonics,

Amer. J. Math. 131 (2009), no. 5, 1337-1357.

6 Des in´ egalit´ es isop´ erim´ etriques ` a la g´ eom´ etrie sous-rie- mannienne de contact

Le probl` eme de d´ epart vient de l’Antiquit´ e : la l´ egende raconte que la princesse Elisha de Tyr (´ egalement nomm´ ee Dido) aurait ´ et´ e chass´ ee de Tyr et qu’elle se serait r´ efugi´ ee dans l’actuelle Tunisie o` u on lui aurait conc´ ed´ e tout le territoire que pourrait enfermer une peau de boeuf. Elisha aurait alors d´ ecoup´ e cette peau en une longue bande de plusieurs kilom` etres qui lui aurait permis de d´ elimiter un territoire cons´ equent et ainsi de fonder Carthage.

Elisha de Tyr a donc cherch´ e la forme que doit prendre cette bande (pour nous, une courbe de longueur donn´ ee) afin de d´ elimiter la surface la plus grande possible.

Le travail propos´ e consiste ` a ´ etudier le lien entre cette question et la g´ eom´ etrie sous- riemannienne de contact, ce qui fournit une occasion de d´ ecouvrir une version simple du principe du maximum de Pontryagin, th´ eor` eme fondamental de la th´ eorie du contrˆ ole optimal.

Ce sujet est li´ e au th` eme du M2R Math´ ematiques fondamentales propos´ e en 2018-2019.

Bibliographie

L. Pontriaguine, V. Boltianski, R. Gamkrelidze, E. Michtchenko, Th´ eorie math´ ematique des processus optimaux. Traduit du russe par Djilali Embarek. (French), Moscou, Edi- tions Mir (1974).

D. Barilari, Introduction to Riemannian and sub-Riemannian geometry, preprint.

7 Diagrammes de Coxeter

La th´ eorie des diagrammes de Coxeter ´ etablit des liens remarquables entre trois classes d’objets :

1. combinatoires (des graphes dont les arˆ etes sont ´ etiquet´ ees par des entiers)

2. alg` ebriques (des groupes abstraits, appel´ es groupes de Coxeter, engendr´ es par des involutions et des relations entre celles-ci)

3. g´ eom´ etriques (des groupes de sym´ etries de l’espace euclidien engendr´ es par des r´ eflexions)

Le travail propos´ e consiste ` a utiliser la th´ eorie des diagrammes de Coxeter pour classer les groupes de r´ eflexions finis. Selon le temps et l’envie, on pourra aller jusqu’` a ´ etudier les liens entre cette th´ eorie et les alg` ebres de Lie.

Pr´ e-requis Cours d’alg` ebre de L3 et une bonne visualisation g´ eom´ etrique.

Bibliographie

Coxeter, H.S.M. (1934), Discrete groups generated by reflections, Ann. of Math., 35 (3) : 588-621.

Coxeter, H.S.M. (1935), The complete enumeration of finite groups of the form r _i ² = (r _i r _j ) ^k

= 1, J. London Math. Soc., 1, 10 (1) : 21-25.

Humphreys, James E. (1992) [1990], Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge

Studies in Advanced Mathematics.

8 Estimation ` a noyau de la densit´ e

On souhaite estimer la densit´ e f de la variable al´ eatoire X en un point x. Pour cela, on dispose d’un ´ echantillon X ₁ , X ₂ , · · · , X _n de variables al´ eatoires ind´ ependantes et identi- quement distribu´ ees selon la loi de X. Pour simplifier, on suppose que X est ` a valeurs r´ eelles et que f est la densit´ e par rapport ` a la mesure de Lebesgue λ sur R . On souhaite construire un estimateur de f en n’importe quel point x sans hypoth` ese param´ etrique sur la densit´ e inconnue f.

Le travail propos´ e consiste ` a ´ etudier et impl´ ementer ` a l’aide du logiciel R la proc´ edure dite ` a noyau de f et ` a ´ etudier ses propri´ et´ es asymptotiques.

Bibliographie

A.B. Tsybakov, Introduction ` a l’estimation non-param´ etrique (Chapitre 1).

9 Facteurs premiers de certaines formes polynomiales

Il s’agit d’un sujet d’arithm´ etique. On ´ etudiera les facteurs premiers des formes polyno- miales ∆ _m (P ) = Q

α

(1 − α ^m ), o` u les nombres α ´ enum` erent les racines d’un polynˆ ome P unitaire de Z [X], de sorte que, pour tout m, ∆ m (P) est un entier.

Suivant [L], on ´ etablira des propri´ et´ es arithm´ etiques des facteurs premiers des ∆ _m (P) ; un int´ erˆ et est que ces facteurs permettent de construire de grands nombres premiers.

On verra aussi, suivant [P], un crit` ere en terme de ∆ p−1 (P ) pour que la r´ eduction de P modulo p premier admette une racine dans F p . On ´ etudiera plus particuli` erement le cas o` u P est de degr´ e 2 ou 3.

Notons que [L] contient la formulation par Lehmer de son probl` eme concernant la mesure de Mahler M(P) = Q

α

max(1, |α|) des polynˆ omes unitaires P .

Pr´ e-requis

Ce travail utilisera des ´ el´ ements du cours d’Alg` ebre 1 (anneaux et corps) ainsi que la notion de r´ esultant et la d´ ecomposition des id´ eaux premiers de Z dans l’anneau d’entiers d’une extension finie de Q (voir [S] chapitre V).

Bibliographie

[L] D. Lehmer, Factorization of certain cyclotomic functions, Annals of Mathematics 34 (1933), 461-479.

[P] T. Pierce, The numerical factors of the arithmetic forms

n

Q

i=1

(1 − α ⁿ _i ), Annals of Mathematics 18 (1919), 53-64.

[S] P. Samuel, Th´ eorie alg´ ebrique des nombres, Hermann, 1971.

10 Films de savon et th´ eorie des courants

Le probl` eme de Plateau (du nom du physicien belge Joseph Plateau, 1801-1883), consiste

`

a d´ eterminer la surface d’aire minimale qui borde un contour donn´ e. La question revient (` a peu pr` es) ` a d´ eterminer le film de savon obtenu quand on plonge un fil ´ electrique (le contour) dans une eau savonneuse. Une approche, due ` a Federer et Fleming, est de consid´ erer la th´ eorie des courants.

Le travail propos´ e consiste ` a comprendre cette formalisation et la solution du probl` eme de Plateau dans ce cadre. Si le temps le permet, on consid` erera aussi la formulation du probl` eme due ` a Reifenberg (` a la mˆ eme p´ eriode que Federer et Fleming) en termes d’homologie (topologie alg´ ebrique).

Pr´ e-requis

Th´ eorie de la mesure (L3), Calcul diff´ erentiel (L3), Analyse fonctionnelle (M1).

Bibliographie

M. Do Carmo, Differential forms and applications, Springer (1994).

F. Morgan, Geometric measure theory : A beginner’s guide, Academic Press (2016).

11 Fonctions harmoniques, graphes de Cayley et propri´ et´ e de Liouville

Une fonction ` a valeurs r´ eelles d´ efinie sur un graphe est dite harmonique si elle vaut en chaque sommet la moyenne de ses valeurs sur les sommets voisins. Sur un graphe fini et connexe, il n’est pas difficile de montrer que toutes les fonctions harmoniques sont constantes, mais le cas de graphes infinis (par exemple les r´ eseaux Z <sup>d</sup> , les arbres, etc.) est plus int´ eressant. On dit qu’un tel graphe a la propri´ et´ e de Liouville si toutes les fonctions harmoniques born´ ees y sont constantes ; savoir si un graphe donn´ e poss` ede cette propri´ et´ e est en g´ en´ eral difficile, et exhiber un graphe qui ne l’a pas demande d´ ej` a un peu de r´ eflexion.

Le travail propos´ e consiste tout d’abord ` a comprendre ces notions et la preuve du fait que les r´ eseaux Z <sup>d</sup> ont la propri´ et´ e de Liouville, ce qui peut se faire de plusieurs fa¸ cons et notamment en utilisant comme outils des marches al´ eatoires, puis la construction d’un arbre qui porte une fonction harmonique born´ ee non constante. On ´ etudiera ensuite une classe de graphes dits graphes de Cayley, construits ` a partir de groupes et qui fournissent des exemples int´ eressants de graphes ayant des propri´ et´ es vari´ ees.

Le but final est de comprendre un r´ esultat de Amir et Kozma qui ´ enonce que tout graphe de Cayley ` a croissance exponentielle porte une fonction harmonique positive.

Pr´ e-requis

Le programme de L3.

Bibliographie

Djalil Chafa¨ı, Florent Malrieu, Recueil de mod` eles al´ eatoires, Springer, 2016.

G. Amir, G. Kozma, Every exponential group supports a positive harmonic function,

arXiv 1711.00050 (2017).

12 Graphes al´ eatoires et fonctions de seuil

On consid` ere le mod` ele de graphes al´ eatoires dit d’Erd˝ os-R´ enyi, dans lequel un graphe G poss` ede un nombre N de sommets et des arˆ etes apparaissent entre ces sommets avec une certaine probabilit´ e p. On se propose d’´ etudier le comportement de la probabilit´ e

P(N, p, M(G))

o` u M est une caract´ eristique donn´ ee du graphe G, par exemple : G est connexe, G poss` ede un sommet isol´ e, G admet un cycle qui visite chaque sommet une fois, etc. Plus pr´ ecis´ ement, on fixe une fonction probabilit´ e p(N ) variant avec N et on consid` ere le comportement de P (N, p(N ), M (G)) quand N → ∞.

Depuis le travail fondateur d’Erd˝ os, on sait que pour un grand nombre de propri´ et´ es M (G), la limite

N→∞ lim P(N, p(N ), M (G))

passe assez rapidement de 0 ` a 1 quand la fonction p(N ) est proche d’une fonction f _M (N ) appel´ ee fonction seuil de la propri´ et´ e M .

Le travail propos´ e consiste ` a ´ etudier la notion de fonction seuil et ` a ´ etablir son existence et sa valeur pour certaines propri´ et´ es M importantes, notamment le fait d’ˆ etre connexe, ou de contenir un sous-graphe donn´ e, ou d’admettre une composante g´ eante.

Plus g´ en´ eralement, on ´ etudiera pour diff´ erentes fonctions p(N ) le comportement probable de la taille des composantes connexes de G.

Le cas ´ echeant, ce travail pourra ˆ etre ´ etendu ` a d’autres propri´ et´ es des graphes al´ eatoires, comme l’existence de certains cycles, la k-connectivit´ e, ou les coloriages du graphe.

Pr´ e-requis

Cours de probabilit´ e de L3 et L2.

Bibliographie

B. Bollobas, Random Graphs.

P. Erd˝ os, A. R´ enyi (1959), On Random Graphs I, in Publ. Math. Debrecen 6, p. 290-297.

13 Groupe de Witt d’un corps

Etant donn´ ´ e un corps k, on cherche ` a classifier les formes bilin´ eaires sym´ etriques sur k non d´ eg´ en´ er´ ees ` a isom´ etrie pr` es, i.e. classifier les matrices sym´ etriques inversibles ` a coefficients dans k ` a conjugaison pr` es. Pour ce faire, Ernst Witt a introduit ce qu’on appelle aujourd’hui le groupe de Witt de k. Le but du projet est de calculer ce groupe pour certains corps et d’en tirer des r´ esultats de classification via le th´ eor` eme de sim- plification de Witt, qui est un r´ esultat fondamental de la th´ eorie. On red´ ecouvrira par exemple le th´ eor` eme d’inertie de Sylvester qui se traduit par le fait que le groupe de Witt des nombres r´ eels est juste Z .

Le projet est bas´ e sur le livre de T.Y. Lam, Introduction to quadratic forms over fields

(AMS, Graduate Studies in Mathematics, 67, 2005).

14 Groupe fondamental et SO(3)

Ou :

Pourquoi une rotation d’un angle de 2π n’est pas l’identit´ e (mais une rotation d’un angle de 4π l’est. . . )

Le groupe fondamental π ₁ (T, t) d’un espace topologique T contenant un point t est un invariant qui donne une r´ eponse rigoureuse ` a la question floue : combien l’espace T contient-il de trous ? Par ailleurs, lorsque l’espace T est « assez gentil », on peut construire ` a l’aide du groupe fondamental un recouvrement universel V → T qui a la propri´ et´ e de « d´ eplier » totalement l’espace T .

Le travail propos´ e consiste ` a ´ etudier la construction du groupe fondamental et du re- couvrement universel. On les calculera tous les deux dans des cas importants (surfaces compactes, certains groupes g´ eom´ etriques) en s’attardant particuli` erement sur le cas du groupe fondamental de SO(3). On verra que dans ce cas le groupe fondamental est Z /2 Z et que le recouvrement universel peut ˆ etre muni d’une structure de groupe isomorphe ` a SU (2). Le cas ´ ech´ eant, on verra comment cet exemple, anecdotique de prime abord, est reli´ e ` a la physique des particules, o` u c’est un ´ el´ ement central de notre compr´ ehension de la notion de spin des particules sous-atomiques.

Pr´ e-requis

Cours d’alg` ebre et topologie du L3.

Bibliographie

Massey, Algebraic Topology.

Rotman, An introduction to Algebraic Topology.

Berger, G´ eom´ etrie.

15 In´ egalit´ es de concentration et applications

Les in´ egalit´ es de concentration fournissent des majorants de la probabilit´ e qu’une va- riable al´ eatoire X s’´ eloigne d’une certaine valeur prescrite (g´ en´ eralement sa moyenne ou sa m´ ediane). Un exemple simple est l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev : soit X une variable al´ eatoire de carr´ e int´ egrable, de variance Var(X), alors, pour tout a > 0,

P (|X − E [X] | > a) 6 Var(X) a ² .

Le travail propos´ e consiste ` a ´ etudier plusieurs in´ egalit´ es de concentration (de Hoeffding, de Bernstein, etc) et les principales m´ ethodes utilis´ ees pour les obtenir. On pourra ´ egale- ment s’int´ eresser ` a certains de leurs cadres d’application, comme les matrices al´ eatoires, les sommes permut´ ees, ou certains probl` emes statistiques.

Pr´ e-requis Probabilit´ es (L3).

Bibliographie

S. Boucheron, G. Lugosi, P. Massart (2013). Concentration inequalities : A nonasymp-

totic theory of independence, Oxford University Press, 2013 (Chapitres 1 et 2).

16 In´ egalit´ es g´ eom´ etriques et courbure positive

En g´ eom´ etrie riemannienne, la positivit´ e de la courbure implique des in´ egalit´ es g´ eom´ e- triques comme celles de Poincar´ e ou de Brunn-Minkowski, aux applications nombreuses.

Le travail propos´ e consiste ` a ´ etudier comment, dans un espace m´ etrique mesur´ e, on peut ´ etendre ces r´ esultats sous une condition de courbure positive au sens du transport optimal.

Pr´ e-requis

Th´ eorie de la mesure (L3), Calcul diff´ erentiel (L3), Analyse fonctionnelle (M1). Aucun pr´ e-requis : en g´ eom´ etrie diff´ erentielle.

Bibliographie

C. Villani, Optimal transportation : old and new, Springer (2008).

17 Int´ egration num´ erique par m´ ethode de quasi Monte Carlo

La m´ ethode de quasi Monte Carlo (QMC) permet l’int´ egration num´ erique par l’utilisa- tion de suites dites ` a discr´ epance faible. Elle est une alternative ` a la m´ ethode de Monte Carlo (MC) qui utilise des suites de nombres pseudo-al´ eatoires.

Les m´ ethodes MC et QMC permettent d’approcher l’int´ egrale d’une fonction f par la moyenne des valeurs de la fonction ´ evalu´ ee en un ensemble de points x ₁ , . . . , x _N , c’est-

` a-dire

Z

[0,1]

f (u)du ≈ 1 N

N

X

i=1

f (x _i ).

La diff´ erence entre MC et QMC tient dans le choix des points x _i dans [0, 1] ^d . Alors que MC utilise une suite de nombres pseudo-al´ eatoires, QMC utilise des suites d´ eterministes telles que la suite de Halton, la suite de Sobol ou la suite de Faure, connues pour leur discr´ epance faible, c’est-` a-dire leur capacit´ e ` a bien remplir le cube unit´ e en dimension d. L’un des avantages est de permettre une convergence plus rapide par QMC, pouvant aller jusqu’` a O _N ¹

alors que MC est en O

√ 1 N

.

Bibliographie

C. Lemieux, Monte Carlo and quasi-Monte Carlo sampling, Springer, 2009.

18 K-th´ eorie de Milnor

Si k est un corps, on d´ efinit l’anneau de K-th´ eorie de Milnor comme l’alg` ebre tensorielle du groupe ab´ elien k <sup>∗</sup> modulo une certaine relation appel´ ee relation de Steinberg. Le r´ esultat est un anneau gradu´ e et les composantes homog` enes de degr´ e n, not´ ees K _n ^M (k), sont les groupes de K-th´ eorie de Milnor en poids n. Bien que d´ efinie de mani` ere ´ el´ e- mentaire, la K-th´ eorie de Milnor est paradoxalement devenue l’un des objets centraux de la K-th´ eorie alg´ ebrique et par extension joue un rˆ ole tr` es important en g´ eom´ etrie alg´ ebrique et en th´ eorie des nombres. Une des questions fondamentales est de proposer des m´ ethodes de calcul, et la mani` ere naturelle de le faire est d’´ etudier les propri´ et´ es fonctorielles des groupes K _n ^M (k) ainsi que leurs relations avec d’autres objets classiques des math´ ematiques comme la cohomologie galoisienne ou les groupes de Witt. Ces re- lations ont d’ailleurs fait l’objet des fameuses conjectures de Milnor et de Bloch-Kato, r´ esolues r´ ecemment par Voevodsky.

Le but du projet est de lire l’article fondateur de Milnor, Algebraic K-theory and qua-

dratic forms (Invent. Math., 1970, 9, 318-344).

19 Le lemme des mariages vu par les graphes, la moyen- nabilit´ e des groupes et les d´ ecompositions paradoxales

« Tout le monde » connaˆıt le th´ eor` eme de Cantor-Bernstein : si A et B sont deux en- sembles, et s’il existe une injection de A dans B et une injection de B dans A, alors il existe une bijection entre A et B. L’´ enonc´ e semble ´ evident, mais sa preuve est parfois v´ ecue comme une ´ episode obscur et embarrassant de la th´ eorie des ensembles.

Il existe une preuve de ce r´ esultat, qu’on peut juger ´ eclairante, ` a base de th´ eorie des graphes. Un graphe est la donn´ ee d’un ensemble V (de sommets) et d’un ensemble E (d’arˆ etes) avec des applications d’attachement (qui disent quels sont les sommets extrˆ emit´ es de chaque arˆ ete). Le vocabulaire de la topologie (chemin, composante connexe, etc.) s’y trouve pratique. Une traduction de l’´ enonc´ e de Cantor-Bernstein en terme de graphes nous procure un graphe dont les composantes connexes sont tr` es simples, et qui donne tr` es intuitivement la bijection cherch´ ee, composante par composante. Ce sera le point de d´ epart du travail propos´ e.

Une am´ elioration de l’argument permet de montrer, de mani` ere ´ egalement agr´ eable, le lemme des mariages de Hall, qui dit que, si l’on a deux ensembles d’individus, disons A et B, tels que :

— ` a chaque personne de A correspond un sous-ensemble fini de B pr´ ef´ er´ e,

— pour chaque sous ensemble fini X de A, l’union des sous-ensembles de B pr´ ef´ er´ es par les ´ el´ ements de X est plus grande (en cardinal) que X,

alors il y a une application (dite, de mariage) de A vers B qui est injective, et telle que l’image de chaque ´ el´ ement appartient ` a la partie pr´ ef´ er´ ee de l’´ el´ ement. Un certain nombre de variations sont possibles, dans lesquelles, par exemple, A et B jouent le mˆ eme rˆ ole.

Une application qui devrait ˆ etre le but du travail propos´ e est de comprendre comment ce r´ esultat est reli´ e aux groupes moyennables. Un groupe est moyennable, s’il admet une moyenne invariante par multiplication (du groupe, ` a gauche). Une moyenne est une application de l’ensemble des parties dans [0, 1] qui est finiment additive, et qui vaut 1 sur le groupe entier.

S’il est trivial que tout groupe fini est moyennable, il n’est pas si facile de le voir pour Z . Cela peut ˆ etre vu par une utilisation du th´ eor` eme de Hahn-Banach. Enfin, l’exis- tence de groupes non-moyennables est peut ˆ etre surprenante, mais pas difficile du tout.

L’exemple le plus simple est celui du groupe libre ` a deux g´ en´ erateurs. C’est le point cl´ e du c´ el` ebre paradoxe de Banach-Tarski (le d´ ecoupage de la boule unit´ e de R ³ (euclidien) en un ensemble fini de parties, qui, d´ eplac´ ees dans R ³ (isom´ etriquement !) reconstruisent pr´ ecis´ ement deux boules de mˆ eme rayon que la premi` ere).

Le lemme des mariages, vu plus haut, nous place ` a l’entr´ ee du th´ eoreme de Tarski-

F¨ olner, qui caract´ erise les groupes moyennables, en terme, par exemple, d’absence de

d´ ecomposition paradoxale, comme celle de Banach-Tarski.

Le sujet est assez modulable/´ etirable. La r´ ef´ erence qui sert ` a l’introduction, et au th´ eo- r` eme de Tarski-F¨ olner est une (petite) partie du livre r´ ecent en r´ ef´ erence.

Saveurs :

Graphes, groupes, analyse fonctionnelle.

Bibliographie

Tullio Ceccherini-Silberstein, Michel Coornaert, Cellular automata and groups, Springer

Monographs in Mathematics, Springer, 2010.

20 Le probl` eme de Waring

En 1770, Edward Waring pose la question de savoir si, pour tout entier strictement positif d, il existe un entier s tel que tout entier positif s’´ ecrive comme somme de s puissances d-` emes. Autrement dit :

∀n ∈ N, ∃(x ₁ , . . . , x _s ) ∈ N ⁿ , n =

s

X

i=1

x ^d _i .

Une r´ eponse positive est donn´ ee par Hilbert en 1909. Depuis, la m´ ethode du cercle a permis non seulement de montrer l’existence de solutions mais d’en estimer le nombre.

Cette m´ ethode repose sur une application simple de la formule ´ el´ ementaire Z 1

0

exp(2iπkt)dt =

( 0 si k 6= 0, 1 si k = 0. .

Pr´ e-requis

Modules d’analyse de la licence, modules d’alg` ebre de la licence et du premier semestre de M1.

Bibliographie

[1] Epreuve commune de 6 heures ENS 2007. ´

www.ens.fr/IMG/file/concours/2007/MP/mp_math_mpi1.pdf

[2] R. C. Vaughan, The Hardy-Littlewood method, Cambridge Tracts in Math. 125, Cam-

bridge University Press (2003).

21 Marches auto-´ evitantes, constante de connectivit´ e

Une marche al´ eatoire auto-´ evitante sur un r´ eseau est un chemin sur ce r´ eseau qui ne passe jamais deux fois par le mˆ eme sommet. Si c _n d´ esigne le nombre de tels chemins issus d’un sommet fix´ e et de longueur n, un argument de sous-multiplicativit´ e implique qu’il existe une constante µ, qui d´ epend du r´ eseau, pour laquelle

c n = µ ^n+o(n) .

Cette constante porte le nom de constante de connectivit´ e du r´ eseau ; on ne sait pas en g´ en´ eral calculer sa valeur.

Un r´ esultat marquant obtenu r´ ecemment par Duminil-Copin et Smirnov est que, dans le cas du r´ eseau hexagonal (en « nid d’abeille »),

µ = q

2 +

√ 2.

Le travail propos´ e consiste ` a comprendre la preuve de ce r´ esultat, qui a la particularit´ e d’ˆ etre bas´ ee sur des m´ ethodes ´ el´ ementaires (mais tr` es astucieuses).

Pr´ e-requis

Aucun (il faut savoir ce qu’est un nombre complexe).

Bibliographie

N. Madras, G. Slade. The Self-avoiding Walk. Birkh¨ auser, 1993.

H. Duminil-Copin, S. Smirnov, The connective constant of the honeycomb lattice equals p 2 + √

2. Annals of Mathematics, 175 (2010), 1653–1665.

22 Magn´ etisation spontan´ ee

Le travail propos´ e consiste ` a comprendre la preuve donn´ ee par le physicien th´ eoricien Rudolf Peierls en 1936 du ph´ enom` ene de magn´ etisation spontan´ ee du mod` ele d’Ising dans le plan ` a basse temp´ erature. Avant d’aborder la preuve proprement dite, on commencera par d´ efinir chacun de ces termes math´ ematiquement. Si le temps le permet, on pourra ensuite s’int´ eresser au calcul exact du point de Curie et ` a la solution du mod` ele d’Ising propos´ ee par le physicien et chimiste Lars Onsager en 1942.

Pr´ e-requis

Cours de probabilit´ es de L2 et de L3. Une absence d’aversion pour les mod` eles math´ e- matiques inspir´ es de la physique.

Bibliographie

Barry Cipra, An Introduction to the Ising Model, Amer. Math. Monthly 94, 937-959, 1987.

Sacha Friedli, Yvan Velenik, Statistical Mechanics of Lattice Systems : a Concrete Ma- thematical Introduction, Cambridge, 2017 (Chapitre 3).

Robert B. Griffiths, Peierls proof of spontaneous magnetization in a two-dimensional Ising ferromagnet, Phys. Rev. 136, A437-A439 (1964).

Ross Kindermann, J. Laurie Snell, Markov Random Fields and their Applications, Con-

temporary Mathematics 1, AMS, 1980 (Chapitre 1).

23 M´ ethodes modernes de factorisation des entiers

Il est (relativement) facile de d´ eterminer si un grand nombre entier N est premier, mais beaucoup plus difficile de le factoriser en g´ en´ eral. Les records actuels sont bas´ es sur deux algorithmes. La premi` ere m´ ethode, factorisation par courbes elliptiques, est efficace quand un des facteurs de N n’est pas trop gros. La deuxi` eme m´ ethode appartient

`

a la famille des calculs d’indice, dont le principe de base est d’essayer de combiner des relations non triviales afin d’obtenir une congruence de carr´ es modulo N . Le crible des corps de nombres utilise les anneaux d ?entiers d’extensions des rationnels afin d’obtenir ces relations rapidement.

Pr´ e-requis

Cours d’alg` ebre du premier semestre. Cours d’introduction ` a la cryptologie du deuxi` eme semestre. Absence d’aversion pour l’algorithmique.

Bibliographie

H. Lenstra, Factoring Integers with Elliptic Curves, Annals of Mathematics 126, 1987.

C. Pomerance, A Tale of two Sieves, Notices of the AMS 43, 1996.

24 Orbites de familles de champs de vecteurs

Le travail propos´ e consiste ` a lire et ` a comprendre la preuve du th´ eor` eme de Sussmann.

Soit M une vari´ et´ e connexe et F 1 , . . . , F k des champs de vecteurs sur M .

Le th´ eor` eme de Sussmann (1973) ´ etablit que l’orbite de tout point q, c’est-` a-dire ici l’ensemble des points que l’on peut obtenir ` a partir de q en int´ egrant alternativement les champs de vecteurs F 1 , . . . , F k en temps positifs ou n´ egatifs, est une sous-vari´ et´ e immerg´ ee de M .

Ce r´ esultat permet de red´ emontrer le th´ eor` eme de Chow et Rashevskii (1939-1938) qui assure, sous des hypoth` eses locales en chaque point de la vari´ et´ e, que l’orbite de chaque point est la vari´ et´ e toute enti` ere.

Ces deux th´ eor` emes sont fondamentaux, en particulier en th´ eorie du contrˆ ole pour r´ e- pondre ` a la question de la contrˆ olabilit´ e, c’est-` a-dire la possibilit´ e effective de contrˆ oler un syst` eme, d’amener le syst` eme d’un ´ etat ` a un autre.

Ce sujet est li´ e au th` eme du M2R Math´ ematiques fondamentales propos´ e en 2018-2019.

Bibliographie

H.J. Sussmann, Orbits of Families of Vector Fields and Integrability of Distributions, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 180, pp. 171-188 (1973).

W.L. Chow, Uber Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung ˝ (en Allemand), Mathematische Annalen, 117 : 98-105 (1939).

P.K. Rashevskii, About connecting two points of complete non-holonomic space by ad-

missible curve (en Russe), Uch. Zapiski ped. inst. Libknexta (2) : 83-94 (1938).

25 Probl` eme de Kakeya

Voici deux questions de nature g´ eom´ etrique :

Question 1 (Kakeya, 1917) : Quelle est l’aire minimale n´ ecessaire pour retourner une aiguille dans le plan ?

Question 2 (Conjecture de Kakeya) : Quelle peut ˆ etre la dimension de Hausdorff d’un ensemble de Kakeya en dimension n ?

Un ensemble de Kakeya en dimension n > 2 est un sous-ensemble de R ⁿ ` a l’int´ erieur duquel un segment unit´ e peut ˆ etre tourn´ e continˆ ument d’un tour complet, revenant ` a sa position initiale. Il existe des ensembles de Kakeya de mesure de Lebesgue nulle donc l’aire minimale pour retourner une aiguille est 0.

Le travail propos´ e consiste ` a donner des solutions aux deux questions pr´ ec´ edentes (pour la seconde, seulement dans le plan). On construira en particulier un ensemble de Kakeya de mesure nulle ` a partir d’ensembles de Cantor. La r´ eponse ` a la deuxi` eme question est largement ouverte pour n > 3. On ´ etudiera le cas plus simple des corps finis qui admet une solution simple et surprenante (due ` a Zvir en 2007).

Pr´ e-requis

Th´ eorie de la mesure (L3), quelques notions sur les corps finis (M1).

Bibliographie

K. Falconer, The geometry of fractal sets, Cambridge University Press (1986).

T. Wolff, Lectures on harmonic analysis, American Mathematical Society (2003).

26 Probl` eme de Schwarz

On s’int´ eressera ` a la monodromie des solutions de l’´ equation diff´ erentielle hyperg´ eom´ e- trique, dans le but de classifier les exposants pour lesquels ces solutions sont alg´ ebriques (ce probl` eme a ´ et´ e r´ esolu par H.A. Schwarz en 1873). Il faudra comprendre l’analogue du th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz dans le contexte des fonctions holomorphes, utiliser le principe de prolongement analytique et comprendre la notion de groupe fondamental pour d´ efinir le groupe de monodromie. On traduira ensuite la condition d’alg´ ebricit´ e en un probl` eme de g´ eom´ etrie sph´ erique assez ´ el´ ementaire (` a savoir, quand le groupe engendr´ e par deux rotations sur la sph` ere est-il discret ?).

Pr´ e-requis

Equations diff´ ´ erentielles. Fonctions holomorphes.

Bibliographie

G. D. Mostow, Braids, hypergeometric functions, and lattices, Bulletin AMS (16) 2, 1987.

C. Moreau-d’Halluin, M.-C. Gaultier de Kermoal, Th´ eorie de Galois des ´ equations diff´ e- rentielles lin´ eaires homog` enes du second ordre ` a solutions alg´ ebriques, Th` eses de l’uni- versit´ e de Lille 1, 1982.

J. Gray, Linear Differential Equations and Group Theory from Riemann to Poincar´ e,

Birkh¨ auser 1986.

27 Th´ eor` eme de Poincar´ e-Bendixson

Il s’agit d’un th´ eor` eme sur la th´ eorie qualitative des syst` emes d’´ equations diff´ erentielles dans le plan, qui pr´ edit l’existence de solutions p´ eriodiques. La d´ emonstration utilise entre autres le th´ eor` eme de redressement du flot, et le th´ eor` eme de Jordan (toute courbe ferm´ ee simple dans le plan s´ epare le plan en deux composantes connexes, l’une hom´ eo- morphe ` a un disque, l’autre non born´ ee), dont il faudra donner une preuve.

Pr´ e-requis

Equations diff´ ´ erentielles, champs de vecteurs, topologie ´ el´ ementaire.

Bibliographie

S. Cantat, Th´ eor` eme de Poincar´ e-Bendixson, Journal de maths des ´ el` eves de l’ENS Lyon (1) 1995, 140–145.

G. Teschl, Ordinary differential equations and dynamical systems, Graduate Studies in Mathematics 140 (2012).

S. Benzoni-Gavage, Calcul diff´ erentiel et ´ equations diff´ erentielles, Dunod, 2010.

28 Topologie du plan

Le travail propos´ e consiste ` a d´ emontrer quelques r´ esultats de topologie dans le plan, ` a savoir :

Th´ eor` eme de Brouwer : Toute application continue du disque unit´ e ferm´ e dans lui- mˆ eme admet un point fixe.

Th´ eor` eme de l’image ouverte : L’image de tout ouvert du plan par une application continue injective est ouverte.

Th´ eor` eme de Jordan : Si Γ est l’image d’un lacet simple dans le plan, alors le compl´ e- mentaire de Γ comporte exactement deux composantes connexes, et la fronti` ere commune de ces composantes connexes est Γ.

Les outils n´ ecessaires g´ en´ eralisent la notion d’indice d’un lacet de classe C ¹ par morceaux dans le plan complexe et font appel aux notions d’homotopie et de d´ etermination continue du logarithme, ainsi qu’au th´ eor` eme de Tietze-Urysohn dans le cas d’un espace m´ etrique.

Pr´ e-requis

Topologie des espaces m´ etriques, fonctions holomorphes (un peu), groupes (un peu).

Bibliographie

E. Amar, ´ ´ E. Matheron, Analyse Complexe, Cassini (2004).

29 Un sch´ ema de chiffrement bas´ e sur les syst` emes poly- nomiaux : HFE et sa cryptanalyse

Etant donn´ ´ ee une application polynomiale de K ⁿ dans K ^m , d´ eterminer un ant´ ec´ edent d’un ´ el´ ement de K ^m revient ` a r´ esoudre un syst` eme de m ´ equations polynomiales en n variables. Mais la r´ esolution d’un tel syst` eme est difficile en g´ en´ eral, ce qui pourrait fonder la s´ ecurit´ e d’un protocole de cryptographie. Pour obtenir un sch´ ema de chiffrement, Patarin a propos´ e en 1996 le syst` eme HFE (Hidden Field Equations), utilisant une transformation polynomiale de (F p ) ⁿ dans (F p ) ⁿ induite par une application facilement inversible de F p

dans F p

, masqu´ ee par des transformations lin´ eaires al´ eatoires. Il se trouve que les syst` emes polynomiaux ainsi cr´ e´ es ne sont pas assez difficiles ` a inverser, ce qui a permis ` a Faug` ere et Joux de r´ esoudre en 2002 plusieurs challenges HFE.

Pr´ e-requis

Cours d’alg` ebre du premier semestre. Cours d’introduction ` a la cryptologie du deuxi` eme semestre. Absence d’aversion pour l’algorithmique.

Bibliographie

J.-C. Faug` ere et A. Joux, Algebraic Cryptanalysis of Hidden Field Equation (HFE) Cryp- tosystems Using Gr¨ obner Bases. Advances in Cryptology - CRYPTO 2003, LNCS 2729.

J. Patron, Hidden Field Equations (HFE) and Isomorphisms of Polynomials (IP) : two

new Families of Asymmetric Algorithms. Advances in Cryptology - EUROCRYPT ’96,

LNCS 1070