Alg`ebre de base

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Alg`ebre de base

Jean-Paul Cerri

2015–2016

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Table des mati` eres

1 Relations d’´equivalence 7

1.1 D´efinitions, exemples . . . 7

1.2 Classes d´equivalence . . . 8

2 Groupes 11 2.1 Lois de composition interne . . . 11

2.2 Groupes . . . 15

2.3 Sous-groupes . . . 18

2.4 Th´eor`eme de Lagrange . . . 19

3 Anneaux, corps 21 3.1 Anneaux . . . 21

3.2 L’exemple “cryptographique” Z/nZ . . . 24

3.3 Anneaux produits . . . 25

3.4 Id´eaux . . . 25

3.5 Anneaux quotients . . . 27

3.6 Morphismes d’anneaux . . . 28

3.7 Corps . . . 31

4 Premi`eres applications `a Z et Z/nZ 33 4.1 Pgcd et ppcm dans Z . . . 33

4.2 Inversibilit´e dansZ/nZ . . . 34

4.3 Fermat, Euler . . . 35

4.4 Le th´eor`eme chinois . . . 36

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4 TABLE DES MATI `ERES

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Pr´ eambule

L’objectif de ce support est de fournir une aide aux étudiants de la Licence d’Informatique désireux de suivre l’UE “Cryptographie et Arithmétique”, ainsi qu’aux étudiants de Master 1 CSI qui vont suivre l’UE “Arithmétique”, et qui ne seraient pas familiers avec les notions algébriques de base : groupes, anneaux, corps. Ces outils sont en effet incontournables dès que l’on veut s’intéresser à la cryptologie ou à la théorie des groupes finis, et même si certains rappels sont faits en cours, mieux vaut connaˆıtre ces notions à l’avance.

On partira du principe que les étudiants connaissent les notions basiques de la théorie des ensembles : ensemble, sous-ensemble, intersection, réunion, partition, ensemble produit, relation, application, image, image réciproque, bijection, injection, surjection, bijection réciproque, ensembles finis, infinis, entiers naturels, entiers relatifs, opérations dans les entiers dont division euclidienne, récurrence, combinatoire, polynômes, normalement vues en se- mestres 1 et 2 d’une licence classique de mathématiques. Les étudiants qui ne sont pas au clair avec ces notions sont invités à les revoir. On revien- dra toutefois, compte tenu de son importance, sur la notion de relation d’équivalence dans un court premier chapitre. En revanche certaines notions importantes comme celles de sous-groupes distingués, de groupes quotients, de morphismes de groupes (et d’autres) ne seront pas abordées. On ne parlera de structure quotient et de morphisme que dans le cadre des anneaux.

Il s’agit donc d’un document allégé ne présentant que les notions absolu- ment indispensables. Des exercices élémentaires jalonnent ce document. Les

étudiants sont bien sûr vivement encouragés à les résoudre. De même, il leur est conseillé de revoir les bases d’algèbre linéaire normalement vues au semestre 2. Les chapitres 1 à 3 sont destinés aux étudiants de Licence. L’ensemble du document concerne les étudiants de Master.

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6 TABLE DES MATI `ERES

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Chapitre 1

Relations d’´ equivalence

1.1 D´ efinitions, exemples

D´efinition 1.1. Soient E un ensemble non vide et R une relation dans E.

On dit que R est unerelation d’´equivalencedans E si (i) R est r´eflexive : ∀x∈E, xRx;

(ii) R est sym´etrique : ∀(x, y)∈E×E, xRy=⇒yRx;

(iii) R est transitive : ∀(x, y, z)∈E×E×E, xRy et yRz=⇒xRz.

Exemple 1.2. Quelques relations d’équivalence élémentaires dans E 6=∅.

• La relation d’´egalit´e :xRy ⇐⇒x=y;

• La relation triviale : xRy pour tout (x, y)∈E×E;

• Si f est une application de E dans un ensemble F, xRy ⇐⇒ f(x) = f(y) ;

• Soit {A_i; i∈I} une partition de E. On rappelle que cela signifie : – I 6=∅;

– A_i ⊆E etA_i 6=∅ pour touti∈I; – A_i∩A_j =∅ si i6=j;

– E =∪i∈IA_i.

La relation R définie par xRy ⇐⇒ ∃ i ∈ I tel que x ∈ A_i et y ∈ A_i. Nous verrons dans la section suivante que toute relation d’équivalence se présente sous cette forme.

Exercice 1.3. Une relation R dans un ensemble E 6= ∅ est dite circulaire si ∀ (x, y, z) ∈ E ×E ×E, xRy et yRz =⇒ zRx. Montrer qu’une relation d’équivalence est circulaire mais que la réciproque est fausse. Montrer qu’une relation circulaire réflexive est une relation d’équivalence.

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8 CHAPITRE 1. RELATIONS D’ ´EQUIVALENCE Voyons maintenant un exemple fondamental. On rappelle que dans Z la notation n | a signifie que n divise a ou encore qu’il existe k ∈ Z tel que a=nk.

Théorème 1.4. Soit n∈Z. La relation R de Z définie par xRy ⇐⇒n|x−y

est une relation d’´equivalence de Z. On note xRy de la fa¸con suivante : x≡ymodn, et on dit que x est congru `a y modulo n.

Remarque 1.5. Dans le cas particuliern= 0, on trouve la relation d’´egalit´e : x≡ymod 0⇐⇒x=y.

1.2 Classes d´ equivalence

D´efinition 1.6. Soit R une relation d’´equivalence dans un ensemble E 6=∅.

Six∈E on appelle classe d’équivalence de xpour R le sous-ensemble de E noté cl(x) défini par

cl(x) ={y∈E; xRy}.

Remarque 1.7. Avec ces notations, xRy⇐⇒cl(x) = cl(y). En effet suppo- sonsxRy et soit t∈cl(y), on ayRtet comme xRy, on a par transitivitéxRt ou encore t ∈ cl(x). On en déduit cl(y) ⊆ cl(x). Comme on a par symétrie yRx on a de même cl(x) ⊆ cl(y) d’où cl(x) = cl(y). Réciproquement si cl(x) = cl(y), comme y ∈cl(y) par réflexivité de R, on a y∈cl(x) et xRy.

Notons également que deux éléments sont dans une même classe si et seulement s’ils sont en relation. En effet, sixRy,x∈cl(x),y ∈cl(y) par réflexivité et on vient de voir que cl(x) =cl(y). Réciproquement si x, y ∈ cl(z), zRx, zRy d’où par symétrie et transitivité xRy.

Théorème 1.8. Soit R une relation d’équivalence dans un ensemble E 6=∅.

L’ensemble des classes d’équivalence des éléments de E constitue une partition de E.

D´emonstration. E ´etant non vide, il y a un ensemble non vide de classes.

Chaque classe cl(x) est non vide car comme déjà dit, R étant réflexive, on a x ∈ cl(x). Soient deux classes cl(x) et cl(y) distinctes. Montrons que cl(x)∩cl(y) = ∅. Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe z dans

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1.2. CLASSES D ÉQUIVALENCE 9 cette intersection. Alors xRz et yRz. Par symétrie de R on a zRx et yRz, puis par transitivité de R, on a yRx. Par la remarque précédente on a cl(x) = cl(y), ce qui est absurde car on a supposé les deux classes distinctes.

Reste à montrer que la réunion des classes estEtout entier, mais c’est évident car chaque x∈E appartient à une classe, la sienne, cl(x).

Dans ce contexte, on note E/Rl’ensemble des classes des ´el´ements de E.

L’applications:E −→E/Rqui `ax associe cl(x) est ´evidemment surjective.

On l’appelle lasurjection canonique deE sur E/R.

Exemple 1.9. Revenons sur quelques exemples vus pr´ec´edemment.

• Si R est l’´egalit´e, cl(x) ={x};

• SiRest d´efinie parxRy pour tout (x, y)∈E×E, il n’y a qu’une classe d´equivalence :E;

• SiR est la relation de congruence modulo 2 dansZ, il y a deux classes d’équivalence : la classe de 0 c’est-à-dire le sous-ensemble des entiers pairs, et la classe de 1 c’est-à-dire le sous-ensemble des entiers impairs.

Exercice 1.10. Posons E =Z\ {0}. Soit R la relation définie dans E par xRy ⇐⇒xy >0. Montrer que R est une relation déquivalence et décrire les classes d’équivalence.

G´en´eralisons le dernier exemple.

Proposition 1.11. Soit n ∈ Z et supposons n > 0. Soit R la relation de congruence modulondansZ. Pour cette relation, il y anclasses d´equivalence, les classes de 0, 1, . . . , n−1.

Démonstration. Soit a∈ Z. Faisons la division euclidienne de a par n >0 : a=nq+r oùq ∈Zet 0≤r < n. Alorsn |a−r d’oùa ≡rmodn. On voit donc queaappartient à une des classes listées ou encore que sa classe est dans la liste. Reste à montrer qu’elles sont distinctes. Supposons 0≤i < j ≤n−1 et cl(i) =cl(j). Alors n |j−i. Mais 0< j−i≤n−1. Absurde.

Remarque 1.12. Si n < 0, la relation de congruence modulo n est égale à la relation de congruence modulo −n et il y a de même |n|classes. Si n= 0, les classes sont les{x} où xdécrit Z. Il y a donc une infinité de classes.

Supposons n ∈ Z, et soit R la relation de congruence modulo n dans Z. On note Z/nZ l’ensemble des classes pour R. En d’autres termes Z/nZ = Z/≡ mod n. Nous verrons plus loin pourquoi cette notation.

Exemple 1.13. On aZ/4Z=Z/(−4)Z={cl(0),cl(1),cl(2),cl(3)}o`u cl(0) = 4Z = {4k; k ∈ Z}, cl(1) = 4Z+ 1 = {4k+ 1; k ∈ Z}, cl(2) = 4Z+ 2 = {4k+ 2; k∈Z}, cl(3) = 4Z+ 3 ={4k+ 3; k ∈Z}.

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10 CHAPITRE 1. RELATIONS D’ ´EQUIVALENCE

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Chapitre 2 Groupes

2.1 Lois de composition interne

Définition 2.1. SoitE un ensemble non vide. On appelleloi de composition interne (en abrégé lci) de E toute application de E×E dans E.

Si? est une lci deE et si x, y ∈E, on ´ecrirax ? y `a la place de ?(x, y).

Exemple 2.2. Donnons quelques exemples ´el´ementaires.

• Si E est un ensemble et P(E) l’ensemble de ses parties, l’intersection

∩ et la r´eunion∪ sont des lci de P(E) ;

• Dans Z, l’addition + et la multiplication ×sont des lci.

• Quand E est fini, on peut repr´esenter une lci `a l’aide d’une table.

? a b c a a a a b a b c c a c b

Ici lea de la derni`ere ligne indique que c ? a=a.

D´efinition 2.3. Soient E un ensemble (non vide) et ? une lci de E. On dit que?estassociativesi pour tout (x, y, z)∈E×E×Eon ax?(y?z) = (x?y)?z.

Remarque 2.4. Les lci de l’exemple précédent sont toutes associatives mais une lci peut ne pas l’être. Par exemple dans N\ {0}, a ? b = a^b n’est pas associative car par exemple 2⁽³²⁾ 6= (2³)². Toutefois, les lci que l’on utilisera le seront en général.

D´efinition 2.5. Soient E un ensemble (non vide) et ? une lci de E. On dit que ?est commutative si pour tout (x, y)∈E×E on a x ? y=y ? x.

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12 CHAPITRE 2. GROUPES Remarque 2.6. Les lci de l’exemple précédent sont toutes commutatives mais une lci peut ne pas l’être. Par exemple dansN\ {0},a ? b=a^b n’est pas commutative car par exemple 2³ 6= 3². Moins anecdotiquement, si n ≥ 2 le produit matriciel dans par exempleM_n,n(Z) n’est pas commutatif. Exemple avecn = 2 :

0 1 0 0

1 0 0 0

6=

1 0 0 0

0 1 0 0

.

Définition 2.7. SoitEun ensemble (non vide) muni d’une lci?. Un élément e∈Eest ditélément neutrepour?si quel que soitx∈Eon ae?x=x?e=x.

Remarque 2.8. S’il existe un élément neutre, il est unique. En effet soiente etf des éléments neutres pour?. On ae ? f =ecar f est neutre ete ? f =f car e est neutre. On en déduit e=f.

Exemple 2.9. Revenons `a l’exemple 2.2.

• Dans P(E), E est neutre pour∩ et∅ est neutre pour ∪;

• Dans Z, 0 est neutre pour + et 1 est neutre pour ×;

• Dans E ={a, b, c}, b est neutre pour ?.

Définition 2.10. Soit E un ensemble (non vide) muni d’une lci ? et qui contient un élément neutree pour ?. Soit x∈E. On dit que xest inversible

`

a droite s’il existe y ∈ E tel que x ? y = e. On dit que x est inversible `a gauche s’il existe y ∈ E tel que y ? x = e. Enfin on dit que x est inversible s’il existey ∈E tel que x ? y=y ? x=e.

Remarque 2.11. Un élément peut être inversible à gauche et pas à droite.

Pour un élément x inversible à droite (ou même inversible) il peut y avoir plusieursy tels que x ? y=e. On a toutefois le résultat suivant, quand? est associative.

Théorème 2.12. Soit E un ensemble (non vide) muni d’une lci ? et qui contient un élément neutre e pour ?. Supposons que ? est associative. Soit x∈E. Alors

(i) x est inversible si et seulement si x est inversible `a droite et `a gauche.

(ii) Si x est inversible, il existe un unique y ∈E tel que x ? y =e.

Démonstration. (i) L’implication =⇒ est triviale. Supposons x inversible à gauche et à droite. Il existey, z ∈E tels quex ? y =eetz ? x=e. Mais alors, (z?x)?y =e?y =yet comme?est associative (z?x)?y=z?(x?y) =z?e=z.

On en d´eduit y=z etx ? y =y ? x=e.

(ii) Si x ? a =a ? x = e et x ? b = b ? x = e, on a b ?(x ? a) = b ? e = b et par associativit´e de ?, on a b ?(x ? a) = (b ? x)? a=e ? a=a. On en d´eduit b=a.

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2.1. LOIS DE COMPOSITION INTERNE 13 Supposons que x est inversible et qu’il existe un uniquey tel que x ? y= y ? x=e. L’élément y est appelé l’inverse de x pour?.

Définition 2.13. SoitE un ensemble (non vide) muni de deux lci?et•. On dit que ? est distributive à gauche par rapport à • si pour tout x, y, z ∈ E, on a x ?(y•z) = (x ? y)•(x ? z). On dit que ?est distributive à droite par rapport à • si pour tout x, y, z ∈ E, on a (y•z)? x = (y ? x)•(z ? x). On dit que ?est distributive par rapport à• si elle est distributive à droite et à gauche par rapport à •.

Exemple 2.14. Revenons `a l’exemple 2.2.

• Dans P(E), ∩est ditributive par rapport `a∪ et∪ est distributive par rapport `a ∩;

• Dans Z,× est distributive par rapport `a +.

D´efinition 2.15. Soit E un ensemble (non vide ) etA⊆E non vide. Soit? une lci de E. On dit que A est stablepour ?si quel que soit (x, y)∈A×A, x ? y ∈A.

Dans ce cas la restriction de ?`a A×Ainduit une lci de A(not´ee encore

?) mais celle-ci n’a pas forcément les mêmes propriétés. Bien sûr, si ? est associative et commutative sur E, elle l’est sur A et si elle admet un neutre e∈A, il est encore neutre pour la restriction de ?à A.

Exercice 2.16. Exemple de propriété non héréditaire.

1) Trouver un exemple de partie deZstable pour +, dans laquelle la restriction de + n’a pas d’´el´ement neutre.

2) On considère dans N la lci a ? b = min{a, b}. Montrer que ? n’a pas d’élément neutre.

3) On pose A ={0,1, . . . , n} où n >0. Montrer que A est stable pour ? et que la restriction de ?à A admet un élément neutre.

Exemple 2.17. Un autre exemple important.

SoitE un ensemble non vide etE^E l’ensemble des applications de E dansE.

La loi◦définie par f◦g(x) =f(g(x)) pour toutx∈E est une lci associative de EÊ, qui admet un élément neutre, l’identité IdE définie par IdE(x) = x pour tout xdeE. En revanche ◦ n’est pas en général commutative. Prenons E ={0,1}, f définie par f(0) = f(1) = 0 et g définie par g(0) = g(1) = 1.

Alorsf◦g(x) = 0 pour tout x∈E etg◦f(x) = 1 pour tout x∈E. Notons aussi que ni f, ni g n’admettent d’inverse (à gauche, à droite et a fortiori tout court) pour ◦. En effet il faudrait par exemple avoir une fonction h vérifiant h(f(x)) = x pour tout x, d’où h(0) = 0 et h(0) = 1. Impossible ! Soit maintenant B(E) l’ensemble des bijections de E sur lui-même. Comme

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14 CHAPITRE 2. GROUPES la compos´ee de deux bijections est encore une bijection,B(E) est stable pour

◦. La lci◦ induit donc une lci sur B(E) que l’on note ´evidemment encore ◦.

CommeId_E ∈B(E), B(E) muni de ◦ a un élément neutre. Si la loi ◦ n’est pas en général commutative, en revanche tout élément deB(E) est inversible et comme la loi est associative, il admet un unique inverse (voir théorème 2.12). En effet soit f ∈ B(E). Soit g définie par g(x) =y où y est l’unique antécédent de x par f. On a en particulier f(y) = x. D’abord g ∈ B(E).

En effet si g(x) = y = g(x⁰) en composant par f on a x = f(y) = x⁰. L’applicationg est donc injective. Soit yquelconque de E. Posons x=f(y).

Par définition de g on a g(x) =y. Ceci montre que g est surjective. Reste à montrer que f ◦g = g ◦f = Id_E. Soit x ∈ E quelconque et soit y = g(x) (donc f(y) = x). On a x = f(y) = f(g(x)) = f ◦g(x). D’où f ◦g = Id_E. Soit y ∈E quelconque et soit x =f(y) (donc g(x) =y par définition de g).

Alors y =g(x) = g(f(y)) = g◦f(y). D’où g◦f =Id_E. L’application g est appelée la bijection réciproque def et notée f⁻¹.

Exercice 2.18. Montrer que si l’ensemble E a au moins trois ´el´ements la lci

◦ deB(E) n’est pas commutative.

Définition 2.19. Soient E et F deux ensembles (non vides) munis de lci, respectivement ?et •. On peut définir sur E×F une lci ditelci produit par (x, a)(y, b) = (x ? y, a•b). Cela se généralise bien sûr à un produit de plus de deux ensembles.

Remarque 2.20. Avec ces notations, si e ∈ E est neutre pour ? et f ∈ F est neutre pour •, alors (e, f) est neutre pour dans E ×F. Si de plus, x∈E est inversible (resp. à droite, à gauche, tout court) pour ? et si a∈F est inversible (resp. à droite, à gauche, tout court) pour •, il en est de même de (x, a) dans E×F pour .

D´efinition 2.21. SoitEun ensemble (non vide) muni d’une relation d’´equivalence Ret d’une lci?. On dit queR estcompatibleavec?si pour toutx, y, z, t∈E,

x R y z R t

o

=⇒x ? z R y ? t.

Ceci permet de d´efinir une loi sur E/R.

Théorème 2.22. Soit E un ensemble (non vide) muni d’une lci ? et d’une relation d’équivalence R compatible avec ?. On peut définir licitement sur E/R une lci de la fa¸con suivante. Soient α, β ∈E/R. Si x∈α et y ∈β (on a donc α= cl(x) et β = cl(y)), on pose : αFβ = cl(x ? y).

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2.2. GROUPES 15 Démonstration. Le seul problème est de montrer que cette définition est licite, autrement dit que le résultat obtenu pour αFβ est indépendant du choix de x ∈ α et de y ∈ β. Soient x⁰ ∈ α et y⁰ ∈ β. Il faut montrer que cl(x ? y) = cl(x⁰? y⁰). Mais x, x⁰ ∈α =⇒ xRx⁰ et y, y⁰ ∈ β =⇒ yRy⁰ (deux

éléments d’une classe sont en relation, voir remarque 1.7). Et comme R est compatible avec ? on a x ? y R x⁰? y⁰ d’où cl(x ? y) = cl(x⁰? y⁰).

Exemple 2.23. Illustrons cela `a travers un exemple fondamental. Revenons

`

a Z muni de la relation d’équivalence ≡ modn (où n est un entier que l’on peut supposer > 1). Dans Z cette relation est compatible avec + et ×. En effet si a ≡ xmodn et b ≡ y modn on a n | a−x et n | b−y. On en déduit qu’il existe des entiers k, l tels que a = x+kn et b = y+ln. Ceci implique a+b = x+y+ (k +l)n donc n | (a+b)−(x+y). On a donc bien a +b ≡ x +ymodn. De même ab = xy + (ky +lx +kln)n donc n | ab−xy. On a bien ab ≡ xymodn. Ceci implique que l’on peut définir surZ/nZune addition + et une multiplication ×par cl(x)+cl(y) =cl(x+y) et cl(x)×cl(y) =cl(x×y). Nous verrons plus loin que muni de ces lois,Z/nZ est un anneau (comme Z).

2.2 Groupes

D´efinition 2.24. Un groupe G est un ensemble non vide, muni d’une lci ? v´erifiant :

(i) ?est associative ;

(ii) Il existe dansG un élément neutre e pour?; (iii) Tout élément x∈G est inversible.

Par la remarque 2.8 et par le théorème 2.12, on sait que e est unique et que pour tout x il existe un seul y tel que x ? y =y ? x =e appelé l’inverse dex. Par ailleurs, plutôt que de dire queGmuni de?est un groupe on parle du groupe (G, ?).

Exemple 2.25. Voici quelques groupes (et non-groupes) classiques.

• (Z,+) est un groupe mais N muni de + n’en est pas un (les deux premières propriétés sont vérifiées, pas la troisième).

• Avec les notations de l’exemple 2.17, (B(E),◦) est un groupe. En revanche EÊ muni de ◦ n’en est pas un en général.

• (Q\ {0},×) est un groupe maisZ\ {0}muni de ×n’est pas un groupe.

• (Z/nZ,+) est un groupe d’´el´ement neutre cl(0) et l’inverse de cl(x) est cl(−x).

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16 CHAPITRE 2. GROUPES D´efinition 2.26. Un groupe (G, ?) est ditab´eliensi la lci?est commutative.

Dans l’exemple précédent, tous les groupes considérés sont abéliens sauf (B(E),◦) si E a au moins trois éléments (voir exercice 2.1).

D´esormais, pour all´eger les notations on utilisera la notation multiplicative.

Si (G,·) est un groupe x· y sera noté xy et l’inverse de x sera noté x⁻¹. Attention, on n’a pas nécessairement xy=yx.

Donnons de fa¸con informelle quelques propriétés élémentaires des groupes.

Soit (G,·) un groupe d’´el´ement neutre e. Alors,

• Six, y ∈G, (xy)⁻¹ =y⁻¹x⁻¹. Attention `a l’ordre.

• Pour tout x∈G, (x⁻¹)⁻¹ =x.

• L’´equationax =b (o`u a, b∈G) admet une unique solution x=a⁻¹b.

• L’´equationxa =b (o`u a, b∈G) admet une unique solution x=ba⁻¹.

• Soit n un entier ≥ 1. Posons xⁿ = x·x· · ·x (n fois x) si n ≥ 1 et x⁻ⁿ= (x⁻¹)ⁿ. Posons ´egalement x⁰ =e. Alors pour tout m, n∈Z, on ax^m+n=x^mxⁿ et (x^m)ⁿ= (xⁿ)^m =x^mn.

Exercice 2.27. On note S_n l’ensemble des bijections de {1,2, . . . , n} sur lui-mˆeme (o`u n est un entier ≥1). On parle alors de permutations. On a vu que muni de la loi◦, Sn est un groupe (cas particulier de l’exemple 2.17).

1) Dresser la table de (S₃,◦). Pour cela on noterae l’identité (e(i) =i pour tout i), τ_i la permutation qui vérifie τ_i(i) =i et qui échange les deux autres

éléments. De plus on notera σ1 la permutation qui vérifie σ1(1) = 2, σ1(2) = 3, σ₁(3) = 1 et σ₂ la permutation qui vérifieσ₂(1) = 3, σ₂(2) = 1, σ₂(3) = 2.

2) Montrer queS_n a n! ´el´ements.

Définition 2.28. Un groupe (G,·) est dit monogène s’il existe un élément x ∈ G tel que pour tout y ∈ G, il existe n ∈ Z tel que y = xⁿ. On dit que x engendre Gou est un générateur deG. Si en outre, G est fini, on dit qu’il estcyclique.

Exemple 2.29. Le groupe (Z,+) est monogène engendré par 1 ou −1. Le groupe (Z/nZ,+) est cyclique engendré par cl(1) mais il peut admettre d’autres générateurs. Par exemple Z/8Z est engendré par cl(3) : cl(0) = 0×cl(3), cl(1) = 3×cl(3), cl(2) = 6×cl(3), cl(3) = 1×cl(3), cl(4) = 4×cl(3), cl(5) = 7×cl(3), cl(6) = 2×cl(3), cl(7) = 5×cl(3). Noter le recours à l’écriture additive car ici la loi est + (xⁿ est remplacé parn×x).

Exercice 2.30. Montrer que (S₃,◦) n’est pas cyclique.

Remarque 2.31. Un groupe monog`ene est ab´elien. En effet si x engendre G et si y, z ∈ G, il existe m, n ∈ Z tels que y = x^m et z = xⁿ. On a alors yz =x^m+n=x^n+m =zy.

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2.2. GROUPES 17 Définition 2.32. Soit (G,·) un groupe dont l’élément neutre est notée. Soit x ∈ G. S’il existe un entier n > 0 tel que xⁿ = e, on dit que x est d’ordre fini. L’ordrede x est alors le plus petit entier n >0 tel quexⁿ =e.

Remarque 2.33. Si x est d’ordre n > 0, les n éléments e, x, x², . . . , xⁿ⁻¹ sont tous distincts. Sinon il existe 0 ≤ i < j ≤ n−1 tels que xⁱ =x^j d’où x^j−i =e. Or 0< j−i < n, ce qui contredit le fait que x est d’ordren.

Remarque 2.34. Si (G,·) est un groupe fini, tout élément de Gest d’ordre fini. En effet soit x ∈ G. Considérons l’ensemble des puissances successives de x : x, x², x³, etc. Comme G est fini, ces éléments ne peuvent pas être distincts deux à deux. Il existe donc 0 < m < n tels que x^m = xⁿ. Alors x^n−m=e avec n−m >0.

Exemple 2.35. Dans (Z/8Z,+), cl(0) est d’ordre 1, cl(1) est d’ordre 8, cl(2) est d’ordre 4, cl(3) est d’ordre 8, cl(4) est d’ordre 2, cl(5) est d’ordre 8, cl(6) est d’ordre 4, cl(7) est d’ordre 8.

Proposition 2.36. Soit (G,·) un groupe fini de cardinal n >0. Alors G est cyclique si et seulement s’il contient un élément d’ordre n. Dans ce cas, les générateurs de G sont les éléments d’ordre n.

Démonstration. Si G est cyclique, soit x un générateur de G. Soit k > 0 l’ordre dex. Supposonsk < n. Soit yquelconque deG. Il existem ≥0 entier tel quey =x^m. Faisons la division euclidienne de mpar k. On a m=qk+r avec 0 ≤ r < k. Comme x^k = e on en déduit que y = x^qk+r = (x^k)^qx^r = e^qx^r =x^r. Ainsi G⊆ {e, x, x², . . . , x^k−1}. Or ce dernier ensemble est de car- dinalk < nce qui contredit le fait queGsoit de cardinaln. DoncGcontient un élément d’ordre n (n’importe lequel de ses générateurs).

Réciproquement six∈Gest d’ordren, on sait que les élémentse, x, x², . . . , xⁿ⁻¹ sont tous distincts (voir remarque 2.33) On a donc n éléments distincts et comme le cardinal de Gestn, nécessairementG={e, x, x², . . . , xⁿ⁻¹}ce qui prouve que G est cyclique, engendré par x.

Supposons que G soit cyclique, i.e. contient un élément d’ordre n. On vient de voir à l’instant que tout élément d’ordre n engendrait G. Reste à voir que tout générateur est d’ordre n mais on l’a vu en première partie de la preuve.

Exemple 2.37. (Z/8Z,+) est cyclique et ses g´en´erateurs sont cl(1), cl(3), cl(5) et cl(7).

(18)

18 CHAPITRE 2. GROUPES

2.3 Sous-groupes

D´efinition 2.38. Soit (G,·) un groupe. On appelle sous-groupe de G toute sous-partie non videH deG, telle que pour la loi induite surH par la lci de G,H soit un groupe.

Remarque 2.39. Soit H un sous-groupe de G, alors l’élément neutre de H est celui deGet l’inverse dansH dex∈Hest l’inverse dexdansG. En effet, notonse⁰ le neutre de H ete le neutre de G. On a e⁰e⁰ =e⁰ par neutralité de e⁰ dans H. Multiplions à gauche ou à droite par l’inverse de e⁰ dans G. On obtient par associativité e⁰ = e. De même soit x ∈ H et soit x⁰ son inverse dans H. On a xx⁰ =e⁰ =e d’où en multipliant à gauche par x⁻¹ l’inverse de x dans G, on obtient par associativitéx⁰ =x⁻¹.

Exemple 2.40. Quelques exemples.

• Considérons le groupe (Z,+). Alors 2Z, l’ensemble des entiers pairs est un sous-groupe de Z. Plus généralement, pour tout entier n, nZ l’ensemble des multiples de n est un sous-groupe de Z.

• Soit (G,·) un groupe et x∈G d’ordre finin >0.

Alors H = {e, x, x², . . . , xⁿ⁻¹} est un sous-groupe de G. En effet, H est non vide et stable pour · car si 0 ≤ a, b < n, xâx^b = xâ+b = x^r où 0 ≤ r < n est le reste de la division euclidienne de a +b par n.

La restriction de la loi · à H est bien sûr associative. De plus tout xâ ∈ H (0 ≤ a < n) a pour inverse e si a = 0 et x^n−a sinon (avec 0< n−a < n) donc un élément de H. Signalons queH est de cardinal n par la remarque 2.33

Proposition 2.41. Soient (G,·) un groupe et H une partie non vide de G.

Alors H est un sous-groupe de G si et seulement si pour tout x, y ∈ H, xy⁻¹ ∈ H (ou encore si et seulement si pour tout x, y ∈ H, xy ∈ H et x⁻¹ ∈H).

Démonstration. Montrons la première caractérisation. Supposons H sous- groupe de G. Soient x, y ∈ H. L’inverse de y dans H dont on vient de voir qu’il s’agit dey⁻¹(l’inverse deydansG) appartient àHcarHa une structure de groupe pour · et xy¹ ∈ H pour la même raison. Réciproquement, H est non vide. Soit x∈H. Par la caractérisation supposée, en prenant y=x, on obtient e ∈ H. Comme e est neutre dans G, il l’est a fortiori dans H et H admet un élément neutre. La restriction de·àHest évidemment associative.

Reste `a montrer que tout y ∈ H admet un inverse dans H. Mais on vient de voir que e∈H et en appliquant la caract´erisation avec x=e, on obtient y⁻¹ ∈H.

(19)

2.4. TH ÉOR ÈME DE LAGRANGE 19 Exercice 2.42. Montrer la seconde caractérisation.

Exercice 2.43. Soit (G,·) un groupe. SoientH etH⁰ deux sous-groupes de G. Montrer queH∩H⁰ est un sous-groupe de G.

2.4 Th´ eor` eme de Lagrange

Soient (G,·) un groupe et H un sous-groupe de G. On consid`ere dans G la relation :

xRy⇐⇒yx⁻¹ ∈H.

Lemme 2.44. La relationR est une relation d’équivalence de G. Les classes d’équivalence de R sont définies par cl(x) = xH ={xh; h∈H}.

D´emonstration. R est r´eflexive : en effet pour tout x∈G, xx⁻¹ =e ∈H et xRx.

Rest sym´etrique : en effet sixRy, on ayx⁻¹ ∈H ce qui implique (yx⁻¹)⁻¹ ∈ H. Mais (yx⁻¹)⁻¹ = (x⁻¹)⁻¹y⁻¹ =xy⁻¹. On a donc yRx.

R est transitive : en effet si xRy et yRz on a yx⁻¹ ∈H et zy⁻¹ ∈H. On en d´eduit (zy⁻¹)(yx⁻¹)∈H et par associativit´e z(y⁻¹y)x⁻¹ =zx⁻¹ ∈ H. On a bien xRz.

Par d´efinition des classes d’´equivalence

cl(x) = {y∈G; xRy}

= {y∈G; yx⁻¹ ∈H}.

Or

yx⁻¹ ∈H ⇐⇒ ∃h∈H tel que yx⁻¹ =h

⇐⇒ ∃h∈H tel que y=hx.

On en d´eduit cl(x) =xH.

Th´eor`eme 2.45. Soit (G,·) un groupe fini et soit H un sous-groupe de G.

Alors le cardinal de H divise le cardinal de G.

Démonstration. Comme R est une relation d’équivalence, les classes d’équi- valence constituent une partition deG(voir chapitre I). On en déduit que le cardinal de G est la somme des cardinaux des classes. Soit cl(x) = xH une classe quelconque. Montrons que le cardinal dexH est égal au cardinal deH.

Considérons l’application f : H → xH définie par f(h) = xh. L’application f est injective car sif(h) =f(h⁰) alors xh =xh⁰ et en multipliant à gauche

(20)

20 CHAPITRE 2. GROUPES parx⁻¹on a par associativitéh=h⁰. De plus elle est surjective par définition de xH. C’est donc une bijection et le cardinal de xH est égal à celui de H.

Notons m ce cardinal qui est donc le cardinal de toute classe, et notons n le cardinal de G. Comme G est fini le nombre de classes est un entier p.

Et comme le cardinal de G est la somme des cardinaux des p classes, on a n=pm. D’o`u la conclusion.

Corollaire 2.46. Soit (G,·) un groupe fini. Alors l’ordre d’un ´el´ement de G divise le cardinal de G.

D´emonstration. Soit x ∈ G d’ordre n > 0. Posons H = {e, x, x², . . . , xⁿ⁻¹}.

On sait que H est un sous-groupe de G de cardinal n (voir exemple 2.40).

Son cardinal n divise le cardinal de G par le théorème précédent. D’où le résultat.

Exemple 2.47. En revenant sur l’exemple 2.35, on constate en effet que les ordres rencontr´es 1, 2, 4 et 8 sont bien des diviseurs de 8, le cardinal deZ/8Z.

(21)

Chapitre 3

Anneaux, corps

3.1 Anneaux

D´efinition 3.1. Un anneau A est un ensemble non vide muni de deux lci not´ee + et · telles que

(i) (A,+) est un groupe ab´elien ; (ii) La loi · est associative ;

(iii) La loi · est distributive par rapport `a +.

On parlera de l’anneau (A,+,·).

Son élément neutre pour + sera naturellement noté 0_A. Si la lci · est commutative on dira que l’anneau est commutatif. Si la lci·admet un élément neutre on dira que l’anneau est unitaire. On notera cet élément neutre 1A. Exemple 3.2. Quelques exemples.

• (Z,+,×) est un anneau commutatif unitaire ;

• (Q,+,×) est un anneau commutatif unitaire ;

• (R,+,×) est un anneau commutatif unitaire ;

• (R[X],+,×) (l’ensemble des polynômes à coefficients réels) est un anneau commutatif unitaire, ses élémenst neutres sont les polynômes constants 0 et 1 ;

• (L(E),+,◦) (l’ensemble des endomorphismes d’un R-espace vectoriel E) est un anneau unitaire, ses éléments neutres sont l’application nulle et l’identité. Il n’est pas commutatif en général.

Donnons quelques propriétés immédiates des anneaux.

Proposition 3.3. Soit (A,+,·) un anneau.

(i) Pour tout x∈A, on a 0_Ax=x0_A= 0_A; 21

(22)

22 CHAPITRE 3. ANNEAUX, CORPS (ii) Pour tout x, y ∈A, x(−y) = (−x)y=−xy¹

Démonstration. (i) On a (0_A+ 0_A)x = 0_Ax et (0_A+ 0_A)x= 0_Ax+ 0_Ax par distributivité. Donc 0_Ax= 0_Ax+ 0_Ax et par simplification (on ajoute −0_Ax aux deux membres), 0Ax= 0A. Même chose pour x0A = 0A.

(ii) On ax(y−y) = x0_A= 0_Aoar le point précédent. Mais par distributivité, x(y−y) = xy+x(−y). On a donc xy+x(−y) = 0_A d’où x(−y) = −xy.

Mˆeme chose pour (−x)y =−xy.

Proposition 3.4. Soit (A,+,·) un anneau unitaire. Soit A^× l’ensemble des

´el´ements inversibles de A pour la loi ·. Alors (A^×,·) est un groupe.

Démonstration. A^× est non vide car il contient 1_A (qui est son propre inverse). Soient x, y ∈ A^× et soient x⁻¹, y⁻¹ leurs inverses pour·. Alors, par associativité, (xy)(y⁻¹x⁻¹) =x(yy⁻¹)x⁻¹ =x1_Ax⁻¹ =xx⁻¹ = 1_A. De même (y⁻¹x⁻¹)(xy) = 1_A. Ceci prouve quexy ∈A^× d’inverse y⁻¹x⁻¹ pour la loi ·.

La restriction de·àA^×reste associative. L’élément 1Aest neutre pour·dans A donc a fortiori dans A^×. Enfin, par définition de A^× tout élément admet un inverse pour · (qui est nécessairement lui-même dans A^×).

Remarque 3.5. Si A est commutatif, ce groupe est ´evidemment ab´elien.

Exercice 3.6. D´eterminer A^× dans les cas suivants.

1) (A,+,·) = (Z,+,×) 2) (A,+,·) = (Q,+,×) 3) (A,+,·) = (R,+,×) 4) (A,+,·) = (R[X],+,×)

Soit (A,+,·) un anneau. Soient x ∈ A et n ∈ Z. Comme d´ej`a vu, on noteranx =x+x+· · ·+x (n fois x) sin > 0, 0x= 0_A etnx =−n(−x) si n <0.

Proposition 3.7. Soit(A,+,·)un anneau. Soientx, y ∈A tels quexy=yx et n un entier ≥1. On a alors la formule du binˆome de Newton :

(x+y)ⁿ=

n

X

i=0

n i

xⁱyⁿ⁻ⁱ.

1. Ici−xdésigne l’inverse dexpour la lci +. On parle plutôt dans ce contexte d’opposé dex

(23)

3.1. ANNEAUX 23 D´emonstration. Par r´ecurrence sur n ≥ 1. La formule est vraie pour n = 1 car (x+y)¹ =x+y. Supposons la vraie pour n≥1. Alors

(x+y)ⁿ⁺¹ = (x+y)(x+y)ⁿ

= (x+y)

n

X

i=0

n i

xⁱyⁿ⁻ⁱ

=

n

X

i=0

n i

xⁱ⁺¹yⁿ⁻ⁱ+

n

X

i=0

n i

xⁱyⁿ⁺¹⁻ⁱ

=

n+1

X

j=1

n j−1

x^jy^n+1−j +

n

X

j=0

n j

x^jy^n+1−j

= xⁿ⁺¹+yⁿ⁺¹+

n

X

j=1

n j−1

+

n j

!

x^jy^n+1−j

= xⁿ⁺¹+yⁿ⁺¹+

n

X

j=1

n+ 1 j

x^jy^n+1−j

=

n+1

X

j=0

n+ 1 j

x^jy^n+1−j

et la formule est vraie à l’ordre n+ 1. Qu’a-t-on fait ? Ligne 2, on s’est servi de l’hypothèse de récurrence. Ligne 3, on a distribué en se servant du fait que x et y commutent (c’est là qu’intervient cette hypoyhèse). Ligne 4, on a procédé à un changement d’indice dans la première somme (j = i+ 1).

Ligne 5, on a regroupé en excluant les termes extrêmes. Ligne 6, on a utilisé la formule du triangle de Pascal : _j−1ⁿ

+ ⁿ_j

= ⁿ⁺¹_j

(pour 1≤j ≤n).

Corollaire 3.8. Dans un anneau commutatif(A,+,·), la formule est exacte pour tout x, y ∈A.

Définition 3.9. Soit (A,+,·) un anneau. On dit que A est intègre s’il est non réduit à{0_A} et si

xy= 0_A⇐⇒x= 0_A ou y= 0_A.

Si A non réduit à {0_A} n’est pas intègre, il existe x, y ∈ A différents de 0_A vérifiant xy= 0_A. On dit alors que x ety sont des diviseurs de zéro.

Remarque 3.10. Certains auteurs imposent qu’un anneau int`egre soit commutatif.

(24)

24 CHAPITRE 3. ANNEAUX, CORPS Proposition 3.11. Soit (A,+,·) un anneau int`egre. Soit a ∈ A, a 6= 0_A. Alors si x, y ∈A v´erifient ax=ay (ou xa=ya) on a x=y.

Démonstration. Siax=ay, on a ax−ay= 0_A d’oùax+a(−y) = 0_A par la proposition 3.3. On en déduit par distributivité que a(x−y) = 0_A. OrA est intègre et a 6= 0_A. Nécessairement x−y = 0_A et la conclusion. Même chose pourxa=ya.

Exemple 3.12. Revenons aux anneaux vus plus haut.

• (Z,+,×) est int`egre ;

• (R[X],+,×) est int`egre ;

• Si dimE ≥2, (L(E),+,◦) n’est pas int`egre. Exemple avec dimE = 2 : soit (i, j) une base de E. Soit f ∈ L(E) d´efinie par f(i) = 0, f(j) =i.

Alorsf ◦f = 0 et pourtant f est non nulle.

3.2 L’exemple “cryptographique” Z /n Z

Théorème 3.13. Soit n > 1 un entier. Alors Z/nZ muni des lois + et × définies dans le chapitre précédent, est un anneau commutatif unitaire.

Démonstration. Rappelons que comme la relation de congruence modulo n est compatible avec les lois + et × de Z, on peut licitement définir sur Z/nZ (l’ensemble des classes pour cette relation) des lois + et × par : cl(x)+cl(y) =cl(x+y) et cl(x)×cl(y) =cl(x×y). Il reste à vérifier que muni de ces lois Z/nZ est bien un anneau commutatif. (Z/nZ,+) est un groupe abélien car

• Il est non vide (cl(0)∈Z/nZ) ;

• + est une lci associative : cl(x) + (cl(y)+cl(z)) =cl(x)+cl(y+z) = cl(x+ (y+z)) =cl((x+y) +z) =cl(x+y)+cl(z) = (cl(x)+cl(y))+cl(z).

• + est commutative : cl(x)+cl(y) =cl(x+y) =cl(y+x) =cl(y)+cl(x).

• cl(0) est ´el´ement neurtre : cl(x)+cl(0) =cl(x+ 0) =cl(x).

• cl(x) admet pour inverse cl(−x) : cl(x)+cl(−x) =cl(x−x) =cl(0).

La loi×est associative : comme pour + cette propriété est une conséquence de l’associativité de × dans Z (remplacer + par× dans ce qui précède).

La loi×est distributive par rapport à + : même chose, c’est une conséquence directe de la distributivité de ×par rapport à + dans Z.

Enfin cl(1) est neutre pour× et l’anneau est unitaire.

Remarque 3.14. Ceci est encore valable pour n= 1 (l’anneau est l’anneau trivial {cl(0)}), n = 0 (l’anneau est Z) et n ≤ 0 (car Z/(−n)Z = Z/nZ).

Mais comme déjà dit plus haut, les casn = 0 ou 1 sont peu intéressants.

(25)

3.3. ANNEAUX PRODUITS 25 On peut se demander si Z/nZ est int`egre.

Proposition 3.15. Sin >1n’est pas premier(Z/nZ,+,×)n’est pas int`egre.

Démonstration. Si n n’est pas premier il existe des entiers a et b vérifiant 1 < a, b < n tels que n = ab. On a alors : cl(a) 6=cl(0), cl(b) 6=cl(0) et cl(a)×cl(b) =cl(ab) =cl(n) =cl(0). On a bien deux éléments non nuls de produit nul, i.e. deux diviseurs de zéro.

Remarque 3.16. Nous verrons plus loin que la réciproque est également vraie et que Z/nZ muni des lois + et × est intègre si et seulement si n est premier. Ce sera même un corps.

Exercice 3.17. D´eterminer (Z/7Z)^× et (Z/12Z)^×.

3.3 Anneaux produits

Proposition 3.18. Soient (A,+,·) et (B,+,·) deux anneaux (on note de la même fa¸con leurs lois). On munit A× B des lois ⊕ et ⊗ définies par (a, b)⊕(a⁰, b⁰) = (a+a⁰, b+b⁰)et(a, b)⊗(a⁰, b⁰) = (aa⁰, bb⁰). Alors(A×B,⊕,⊗) est un anneau. SiA etB sont commutatifs,A×B l’est aussi. SiA etB sont unitaires A×B l’est aussi de neutre (1A,1B) pour ⊗ et alors (A×B)^× = A^××B^×. L’anneau A×B est appelé anneau produit de A par B.

D´emonstration. El´´ ementaire. `A faire en exercice.

Remarque 3.19. SiAetB sont non réduits à{0A}et{0B}, l’anneauA×B n’est pas intègre. En effet, soit a∈A\ {0_A}etb∈B\ {0_B}, alorsx= (a,0_B) et y = (0_A, b) sont distincts de (0_A,0_B) (le neutre de A ×B pour ⊕) et vérifient x⊗y= (0A,0B).

Remarque 3.20. On étend sans peine cette construction à un produit den anneaux où n est un entier supérieur `2.

3.4 Id´ eaux

Pour simplifier, même si ce n’est pas indispensable, nous supposerons maintenant que tous les anneaux considérés sont commutatifs.

Définition 3.21. Soit (A,+,·) un anneau commutatif. On appelle idéal de A tout sous-ensemble non vide de A vérifiant

(i) (I,+) est un sous-groupe de (A,+) ;

(26)

26 CHAPITRE 3. ANNEAUX, CORPS (ii) Pour tout x ∈ I et tout a ∈ A, xa ∈ I (propri´et´e d’absorption). On

peut l’´ecrire : pour tout x∈I, xA⊆I.

Remarquons d’abord que tout id´eal I deAcontient 0_A car c’est un sous- groupe de (A,+).

Exemple 3.22. Exemples ´el´ementaires.

• {0_A} etA sont des id´eaux de A;

• 2Zl’ensemble des entiers pairs est un id´eal de (Z,+,×).

Proposition 3.23. Soient (A,+,×) un anneau commutatif unitaire etI un id´eal de A. Alors I =A si et seulement si 1_A ∈I.

Démonstration. siI =Aon a évidemment 1_A∈I. Réciproquement si 1_A ∈I, la propriété (ii) implique que pour touta∈A,a= 1_Aa∈I. On a doncA ⊆I, d’où I =A.

Théorème 3.24. Les idéaux de (Z,+,×) sont les nZ = {nk; k ∈ Z} où n∈Z.

D´emonstration. Soit n ∈Z. Montrons que nZ est bien un id´eal de Z. L’ensemble nZ est un sous-groupe de (Z,+). En effet :

• nZ est non vide (0∈nZ) ;

• Soient x, y ∈ nZ. Il existe k, l ∈ Z tels que x = nk, y = nl. Alors x−y=nk−nl=n(k−l)∈nZ.

La proposition 2.41 implique le résultat. Reste à montrer la propriété d’absorption. Soit x ∈ nZ et a ∈ Z. Il existe k ∈ Z tel que x = nk. Par suite, xa= (nk)a =n(ka)∈nZ.

Montrons maintenant que tout id´eal I de (Z,+,×) est de cette forme. Soit I un id´eal deZ. Si I ={0}, on a I = 0Z. Supposons maintenant I 6={0}. Il existex6= 0 dans I. Comme I est un sous-groupe de (Z,+), −x∈I et donc

|x| ∈ I. L’ensemble I contient donc au moins un entier > 0. Soit n le plus petit entier > 0 appartenant à I. Comme n ∈ I, la propriété d’absorption implique que nZ ⊆ I. Montrons que I ⊆ nZ et on aura alors I = nZ. Soit x ∈ I. Faisons la division euclidienne (dans Z) de x par n > 0. Il existe q, r ∈ Z tels que x = nq +r avec 0 ≤ r < n. Comme n ∈ I la propriété d’absorption implique quenq ∈I et commex∈I, on a x−nq ∈I (I est un sous-groupe additif de Z). On a doncr ∈I avec 0≤r < n. Comme n est le plus petit élément >0 deI, on a nécessairement r= 0 etx=nq ∈nZ. Ceci prouve que I ⊆nZ et conduit à la conclusion.

Remarque 3.25. On peut être plus précis. Si I est un idéal de Z, il existe un unique n ≥ 0 tel que I = nZ. C’est clair si I = {0} car seul n = 0

(27)

3.5. ANNEAUX QUOTIENTS 27 convient. Sinon, par la preuve qui précède, on sait qu’il existe n > 0 tel que I =nZ. Supposons que I = mZ où m ≥0. Nécessairement m >0. De plus n∈I =mZ⇒m |n etm ∈I =nZ⇒n|m. Seule possibilité : m=n.

Exercice 3.26. Soit (A,+,·) un anneau commutatif. Soit a ∈ A. Montrer que I =aA ={ax; x∈A} est un id´eal deA. Un tel id´eal est dit principal.

D´efinition 3.27. Un anneau commutatif dont tous les id´eaux sont princi- paux et dit principal. Ainsi Zest un anneau principal.

Exercice 3.28. Soient (A,+,·) un anneau commutatif, I etJ deux id´eaux deA.

1) Montrer queI ∩J est un id´eal de A (voir exercice 2.43).

2) D´eterminer 4Z∩6Z.

3) Donner un exemple dans lequel I∪J n’est pas un id´eal deA. On pourra prendreA=Z.

4) Montrer queI +J ={i+j; i∈I, j ∈J} est un id´eal deA.

5) D´eterminer 4Z+ 6Z.

3.5 Anneaux quotients

Théorème 3.29. Soit (A,+,·) un anneau commutatif et I un idéal de A.

Soit R la relation d´efinie sur A par : xRy ⇐⇒ x−y ∈ I. Alors R est une relation d’´equivalence.

Démonstration. La relation R est réflexive. En effet 0_A/inI =⇒ xRx pour tout x ∈ A. La relation R est symétrique car si xRy, on a x −y ∈ I ce qui implique −(x−y)∈ I car I est un sous groupe additif de A. Mais cela implique y−x ∈ I, c’est-à-dire yRx. Enfin R est transitive car si xRy et yRz, on ax−y∈I,y−z ∈I et comme I est un sous-groupe additif de A, (x−y) + (y−z)∈I. Ceci implique x−z ∈I et xRz.

Remarque 3.30. Quelques remarques.

• On a déjà rencontré une telle situation : I = nZ est un idéal de Z et la relation R du théorème précédent n’est autre que la relation de congruence modulo n.

• On ne s’est servi que du fait queI est un sous-groupe de A pour la loi +. Pour le moment la propri´et´e d’absorption n’est pas intervenue.

Proposition 3.31. La relation R précédemment définie est compatible avec les lois de l’anneau A.

(28)

28 CHAPITRE 3. ANNEAUX, CORPS D´emonstration. Elle est compatible avec +. Supposons xRy et zRt. On a x−y ∈I,z−t∈I et commeI est un sous-groupe de (A,+) on a (x−y) + (z−t)∈I. On en d´eduit (x+z)−(y+t)∈I et doncx+z R y+t.

Elle est compatible avec la seconde loi. SupposonsxRyetzRt. On ax−y ∈I, z−t ∈ I. Or xz−yt = (x−y)z +y(z−t). Mais la propriété d’absorption implique (x−y)z ∈I ety(z−t)∈I. CommeI est un sous-groupe de (A,+) on en déduit xz−yt∈I, d’oùxz R yt.

Qui dit relation d’équivalence R sur A dit classes d’équivalence. On va donc maintenant s’intéresser à l’ensemble des classes A/R que l’on notera A/I, comme on avait noté Z/nZ l’ensemble des classes pour la relation de congruence modulo n. En outre, comme la relation est compatible avec les lois, ces dernières induisent sur A/I de nouvelles lois que l’on notera de manière identique. Nous avons vu (théorème 3.13) que (Z/nZ,+,×) est un anneau commutatif unitaire (si n > 1). Généralisons ce théorème. On sait queR est compatible avec + et·et que l’on peut définir licitement deux lois + et · sur A/I par cl(x)+cl(y) =cl(x+y) et cl(x)cl(y) =cl(xy). Munissons A/I de ces lois.

Théorème 3.32. Soit (A,+,·) un anneau commutatif et soit I un idéal de A. Alors, A/I est un anneau commutatif, unitaire si A l’est.

Démonstration. A faire en exercice. La preuve est identique `` a celle du théorème 3.13.

3.6 Morphismes d’anneaux

Définition 3.33. Soient (A,+,·) et (B,+,·) deux anneaux (on note leurs lois de la même manière pour alléger les notations). On appelle morphisme d’anneauxde A dans B toute applicationf :A−→B telle que

(i) f(x+y) =f(x) +f(y) pour tout x, y ∈A; (ii) f(xy) = f(x)f(y) pour tout x, y ∈A.

Si en outre A et B sont unitaires, f est dit morphisme d’anneaux unitaires sif(1_A) = 1_B.

Exemple 3.34. Quelques exemples.

• f(x) = 0B pour tout x∈A;

• f(x) = x pour tout x de A est un morphisme de A dans A (on parle d’endomorphisme quand B =A) ;

• SiI est un id´eal deAet siB =A/I, l’applications:A−→A/I d´efinie par s(x) = cl(x) est un morphisme d’anneaux surjectif.

(29)

3.6. MORPHISMES D’ANNEAUX 29 Proposition 3.35. Soient (A,+,·) et(B,+,·) deux anneaux etf :A −→B un morphisme d’anneaux. Alors

(i) f(0_A) = 0_B;

(ii) Si x∈A, f(−x) = −f(x);

(iii) Si A, B et f sont unitaires et x∈ A est inversible d’inverse y pour ·, alors f(x) est inversible pour · dans B, d’inverse f(y);

(iv) Si n ∈ Z, x ∈ A, f(nx) = nf(x) (avec la notation d´ej`a vue : nx = x+x+· · ·+x (n fois x) si n >0, 0x = 0_A si x∈ A et 0_B si x ∈B, nx=−n(−x) si n <0) ;

(v) f(A) l’image de A par f, muni des lois de B a une structure d’anneau (on dit que f(A) est un sous-anneau de B).

Démonstration. (i) On a f(0_A+ 0_A) =f(0_A). Mais f est un morphisme et f(0_A+ 0_A) = f(0_A) +f(0_A) d’oùf(0_A) +f(0_A) =f(0_A). En ajoutant−f(0_A) aux deux membres de l’égalité on obtient f(0_A) = 0_B.

(ii) f(−x) +f(x) = f(x−x) = f(0_A) =f(0_B) par le point précédent, d’où f(−x) = −f(x).

(iii) On a xy = yx = 1_A, d’o`u f(xy) = f(yx) = f(1_A). Comme f est un morphisme unitaire on a : f(x)f(y) =f(y)f(x) = 1_B et f(x) est inversible d’inverse f(y).

(iv) On voit (par définition de f(nx) si n < 0) qu’il suffit de le démontrer pourn ≥0 et cela se démontre sans peine par récurrence surn.

(v) f(A),+) est un groupe ab´elien. En fait c’est un sous-groupe de (B,+) En effet,f(A) est non vide car il contientf(0_A). Soientx, y ∈f(A), il existe a, b∈Atels que x=f(a) ety=f(b). Alors en utilisant le point (ii) et le fait quefest un morphisme,x−y=f(a)−f(b) = f(a)+f(−b) = f(a−b)∈f(A).

La proposition 2.41 permet de conclure.

La loi·est bien interne. En effet, soient x, y ∈f(A), il existea, b∈Atels que x = f(a) et y = f(b). Alors comme f est un morphisme, xy = f(a)f(b) = f(ab) ∈ f(A). La loi · est associative et distributive par rapport `a + dans f(A) car elle l’est dansB.

Remarque 3.36. SiA est commutatif, f(A) l’est aussi, mˆeme si B ne l’est pas : f(a)f(b) = f(ab) =f(ba) = f(b)f(a).

D´efinition 3.37. Soient (A,+,·), (B,+,·) deux anneaux et f : A −→ B un morphisme d’anneaux. Si f est bijectif on dit que f est un isomorphisme d’anneauxet que B estisomorphe `a A.

Proposition 3.38. Soient (A,+,·), (B,+,·) deux anneaux et f : A −→ B un isomorphisme d’anneaux. Alors

(30)

30 CHAPITRE 3. ANNEAUX, CORPS (i) Si A est unitaire, B l’est aussi etf(1_A) = 1_B. De plus si x∈A on a

x∈A^×⇔f(x)∈B^×;

(ii) Si A est int`egre, B est int`egre ;

(iii) La bijection r´eciproque de f, f⁻¹ : B −→ A est un isomorphisme d’anneaux. Ainsi A est isomorphe `a B.

(iv) Soit C un anneau isomorphe `a B, alors il est isomorphe `a A.

D´emonstration. (i) Pour tout x ∈ A, on a f(x) = f(1_Ax) = f(1_A)f(x).

Comme f est bijective, en particulier surjective, pour tout y ∈ B il existe x∈Atel quey=f(x). On a donc : pour touty ∈B,y=f(1A)y. On prouve de même que pour touty∈B,y=yf(1_A). Ceci prouve que f(1_A) est neutre pour·dansB. AinsiB est unitaire d’élément neutre 1_B =f(1_A) (on rappelle qu’un élément neutre s’il existe est unique). Par ailleurs, x∈A^× ⇒ ∃y∈A tel quexy= 1_AOn en déduitf(x)f(y) = f(xy) = f(1_A) = 1_B etf(x)∈B^×. Réciproquement si f(x) ∈ B^×, il existe z ∈ B tel que f(x)z = 1_B =f(1_A).

Soit y ∈ A l’unique antécédent de z par f. On a f(x)f(y) = f(1A) d’où f(xy) = f(1_A) et comme f est injective, xy= 1_A. On a bien x∈A^×.

(ii) Comme A n’est pas réduit à {0_A}, il compte au moins deux éléments, et B aussi car ils sont en bijection et donc B est non réduit à {0B}. Soient x, y ∈ B tels que xy = 0_B. Comme f est bijective donc surjective, il existe a, b ∈ A tels que f(a) = x et f(b) = y. On a donc f(a)f(b) = 0_B = f(0_A) d’où f(ab) = f(0A). Mais f est bijective, donc injective et cela implique ab= 0_A. CommeA est intègre, aoub = 0_A d’oùf(a) ouf(b) =f(0_A) = 0_B. Doncx ou y= 0_B.

(iii) L’application f⁻¹ est bijective. Soient u, v ∈ B et soient x, y ∈ A tels que u = f(x), v = f(y). On a x = f⁻¹(u), y = f⁻¹(v). Alors f(x+y) = f(x) +f(y) =u+v d’o`ux+y=f⁻¹(u+v) etf⁻¹(u) +f⁻¹(v) = f⁻¹(u+v).

De même f(xy) = f(x)f(y) = uv d’où xy = f⁻¹(uv) et f⁻¹(u)f⁻¹(v) = f⁻¹(uv). L’application f⁻¹ est donc un morphisme bijectif c’est-à-dire un isomorphisme d’anneaux de B vers A.

(iv) On note les lois de C, + et ·. Soit g : B −→ C un isomorphisme d’anneaux. L’applicationg◦f :A−→Ccomme composée de deux bijections est une bijection deA vers C. En outre, comme f etg sont des morphismes d’anneaux, pour tout x, y ∈ A, on a g◦f(x+y) = g(f(x+y)) = g(f(x) + f(y)) = g(f(x)) +g(f(y)) = g ◦ f(x) +g ◦f(y). De même, g ◦f(xy) = g◦f(x)g◦f(y). L’application g◦f est un isomorphisme d’anneaux deAvers C et C est isomorphe à A.

La propriété de symétrie (ii) permet de parler d’anneaux isomorphes.

(31)

3.7. CORPS 31 D´efinition 3.39. Soient (A,+,·), (B,+,·) deux anneaux et f :A −→B un morphisme d’aaneaux. On appellenoyau def et on note kerf l’ensemble

kerf ={x∈A; f(x) = 0_B}.

Proposition 3.40. Soient (A,+,·), (B,+,·) deux anneaux et f : A −→ B un morphisme d’anneaux. Supposons que A soit commutatif. Alors kerf est un id´eal de A.

Démonstration. kerf est non vide car il contient 0_A. Soient x, y ∈kerf. On a f(x−y) = f(x) +f(−y) = f(x)−f(y) = 0_A−0_A = 0_A, ce qui prouve que x −y ∈ kerf. On en déduit par la proposition 2.41 que kerf est un sous-groupe de (A,+). Soient x ∈ kerf, a ∈ A. On a f(xa) = f(x)f(a) = 0_Af(a) = 0_A. Ainsi xa∈kerf et la propriété d’absorption est vérifiée.

Th´eor`eme 3.41. Soient (A,+,·), (B,+,·)deux anneaux et f :A−→B un morphisme d’anneaux. Supposons que A soit commutatif. Alors les anneaux A/kerf et f(A) sont isomorphes.

Démonstration. On sait déjà que kerf est un idéal deAet donc queA/kerf est un anneau. De même on a vu que f(A) est un anneau. Considérons l’application φ : A/kerf −→ f(A) définie comme suit. Soit α ∈ A/kerf. Soit x ∈ A tel que α =cl(x). À α on associe φ(α) = f(x). Cette définition est licite car si y ∈ A vérifie de même α =cl(y), on a y−x ∈ kerf d’où f(y −x) = 0_B ce qui implique f(y) = f(x). L’image obtenue est donc indépendante du choix de x.

Montrons d’abord queφest un morphisme d’anneaux. Soientα, β ∈A/kerf. Soient x, y ∈ A tels que cl(x) = α et cl(y) = β. On a φ(α+β) = φ(cl(x) + cl(y)) =φ(cl(x+y)) =f(x+y) =f(x) +f(y) =φ(α) +φ(β). De mˆeme on a φ(αβ) =φ(α)φ(β).

Reste à établir que le morphisme φ est bijectif. Mais il est surjectif car si y∈f(A), il existex∈A tel que y =f(x) =φ(cl(x)). Et il est injectif car si φ(cl(x)) =φ(cl(y)), on af(x) =f(y) d’oùf(y−x) = 0_B. Mais ceci implique y−x∈kerf donc cl(x) =cl(y).

3.7 Corps

Définition 3.42. Un anneau (K,+,·) est un corps s’il est commutatif, non réduit à {0_K} , unitaire, et tel que tout élément x 6= 0_K est inversible pour la loi ·.

Exemple 3.43. Exemples et contre-exemples.

(32)

32 CHAPITRE 3. ANNEAUX, CORPS

• Muni des lois usuelles, Z n’est pas un corps (2 n’a pas d’inverse pour

×), maisQ est un corps.

• Munis des lois usuelles,R etC sont des corps.

• (Z/2Z,+,×) est un corps (c’est un anneau et le seul ´el´ement non nul est cl(1) qui est son propre inverse pour ×).

• (Z/4Z,+,×) n’est pas un corps car cl(2) n’a pas d’inverse pour × : quand on multiplie cl(2) par cl(i) (0≤i≤3) on obtient respectivement cl(0), cl(2), cl(0), cl(2) mais jamais cl(1).

Exercice 3.44. Montrer que dans un corps (K,+,·) il n’y a que deux id´eaux, K et{0_K}.

Remarque 3.45. Dans un corps, il n’y a pas de diviseur de zéro. Supposons en effet quexy = 0_K avecx6= 0_K ety6= 0_K. CommeK est un corpsyadmet un inverse z pour ·. On a alors (xy)z = 0_K et par associativité x(yz) = 0_K. Mais comme yz = 1_K, on obtient x = 0_K ce qui est absurde. Un corps est donc un anneau intègre.

Par cons´equent, comme corollaire de la proposition 3.15 on a :

Proposition 3.46. Soit un entiern >1. Sinn’est pas premier,(Z/nZ,+,×) n’est pas un corps.

On verra plus loin que si n est premier, Z/nZ est un corps. La condition est donc n´ecessaire et suffisante.

Exercice 3.47. V´erifier que (Z/11Z,+,×) est un corps.

Proposition 3.48. Soit(K,+,·)un corps. Alors (K\ {0K},·)est un groupe ab´elien.

Démonstration. C’est une conséquence de la proposition 3.4 et de la définition d’un corps : ici on a K^× =K\ {0_K}.

D´efinition 3.49. Soient (K,+,·) et (L,+,·) deux corps. Unmorphisme de corps de K vers L est un morphisme d’anneaux unitaires de K vers L. S’il est bijectif, on parle d’isomorphisme de corps deK vers L.

Proposition 3.50. Soient(K,+,·)et(L,+,·)deux corps etf un morphisme de corps de K vers L. Alors pour tout x 6= 0_A, x est inversible dans K d’inverse x⁻¹ et f(x) est inversible pour · dans L, d’inverse f(x⁻¹).

Démonstration. C’est une conséquence directe de la définition d’un corps et du point (iii) de la proposition 3.35.

(33)

Chapitre 4

Premi` eres applications ` a Z et Z /n Z

4.1 Pgcd et ppcm dans Z

On a vu que (Z,+,×) et (Z/nZ,+,×) sont des anneaux commutatifs unitaires. On a également vu que Z est principal, i.e. que les idéaux de Z sont de la forme kZ où k ∈ Z (voir Théorème 3.24). On a même précisé que si I est un idéal de Z, il existe un unique n ≥ 0 tel que I = nZ (voir Remarque 3.25). On sait de plus que si I et J sont des idéaux d’un anneau commutatif A, alors I+J = {i+j; i∈ I, j ∈ J} et I ∩J sont des idéaux deA (voir exercice 3.28).

D´efinition 4.1. Soient a, b∈Z.

(i) On appelle pgcdde aet b (et on note pgcd(a, b)) l’unique c≥0 tel que aZ+bZ=cZ;

(ii) On appelle ppcm de a et b (et on note ppcm(a, b)) l’unique d ≥ 0 tel que aZ∩Z=dZ;

Exemple 4.2. Pour touta∈Z, pgcd(a,0) =a, ppcm(a,0) = 0, pgcd(a,1) = 1 et ppcm(a,1) = a. Si pgcd(a, b) = 1 on dit que a et b sont premiers entre eux.

Proposition 4.3. Soient a, b∈Z et soit c∈Z, c≥0. Alors

pgcd(a, b) =c⇔c|a, c|b et ∃r, s∈Z tels que c=ra+sb.

En particulier

pgcd(a, b) = 1⇔ ∃r, s∈Z tels que 1 =ra+sb.

33

(34)

34 CHAPITRE 4. PREMI ÈRES APPLICATIONS À ZET Z/NZ Démonstration. La seconde équivalence est une conséquence directe de la première car 1|x pour toutx∈Z. Montrons donc la première équivalence.

(⇒) Comme cZ =aZ+bZ et commea = 1×a+ 0×b ∈ aZ+bZ, on tire a∈cZ d’o`u c|a. Mˆeme chose pour c|b. Commec∈cZ=aZ+bZ, il existe r, s∈Z tels que c=ra+sb.

(⇐) Comme il existe r, s ∈ Z tels que c = ra+sb, on voit que c ∈ aZ+ bZ =pgcd(a, b)Z d’où pgcd(a, b) | c. Mais c | a et c | b, et comme il existe u, v ∈Ztels que pgcd(a, b) = ua+vb(première partie),c|pgcd(a, b). Comme cet pgcd(a, b) sont ≥0, on a forcément c=pgcd(a, b).

Un relation de la forme pgcd(a, b) =ra+sbest appel´eerelation de B´ezout.

Exercice 4.4. Soient a, b∈Z et soit c∈Z, c≥0. Montrer que

pgcd(a, b) =c⇔ ∃a⁰, b⁰ ∈Ztels que a =a⁰c, b=b⁰cet pgcd(a⁰, b⁰) = 1.

Théorème 4.5 (lemme de Gauss). Si a, b, c∈ Z vérifient pgcd(a, b) = 1 et a|bc ,alors a|c.

Démonstration. Il existe r, s ∈ Z tels que ra+sb = 1 et k ∈ z tel que ka =bc. On en déduit rac+sbc =c d’où rac+ska =c et a(rc+sk) = c.

Ainsia|c.

4.2 Inversibilit´ e dans Z /n Z

Pour ´ecarter les cas triviaux, dans ce qui suit on supposen ≥2.

Th´eor`eme 4.6. Soit x∈Z. Notons x la classe de x dans Z/nZ. Alors x∈(Z/nZ)^×⇔pgcd(x, n) = 1.

D´emonstration.

x∈(Z/nZ)^× ⇔ ∃y∈Z tel quex×y= 1

⇔ ∃y∈Z tel que xy−1 = 0

⇔ ∃y∈Z tel que n|xy−1

⇔ ∃y, k ∈Z tel que kn=xy−1

⇔ ∃y, k ∈Z tel que xy−kn= 1

⇔ pgcd(x, n) = 1

(35)

4.3. FERMAT, EULER 35 Remarque 4.7. Si on a une relation de Bézout rx+sn = 1, dans Z/nZ, x est inversible et son inverse est évidemment r. Il existe un algorithme qui permet de calculer le pgcd de deux entiers et de trouver une relation de Bézout du type pgcd(a, b) = ra+sb, c’est l’algorithme d’Euclide étendu que l’on reverra en cours. Cet algorithme permet donc de calculer les inverses des

´el´ements de (Z/nZ)^×.

Corollaire 4.8. Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier.

Démonstration. On a déjà vu que siZ/nZest un corps,nest premier (Propo- sition 3.46). Réciproquement, supposons que n soit premier. Soit α∈ Z/nZ avec α 6= 0. Alors il existe 0 < x < n tel que α = x. Mais n étant premier, pgcd(x, n) = 1 et par le théorème précédent, α est inversible.

4.3 Fermat, Euler

Voyons maintenant comment démontrer de fa¸con élégante le petit théorème de Fermat.

Th´eor`eme 4.9 (Fermat). Soit p un nombre premier et soit a∈Z. Alors (i) p|a^p−a (ou encore a^p ≡a modp) ;

(ii) Si p-a, alors p|a^p−1−1 (ou encore a^p−1 ≡1 modp).

D´emonstration. En termes de classes dans Z/pZ cela se formule de la fa¸con suivante :

(i) a^p =a;

(ii) Sia 6= 0, alors a^p−1 = 1.

Supposons d’abord a6= 0. Alors comme Z/pZest un corps, par le pr´ec´edent corollaire, a ∈ (Z/pZ)^× qui est un groupe (multiplicatif) de cardinal p−1.

Le Corollaire 2.46 indique que l’ordrer ≥1 deadans ce groupe divise p−1.

Il existe donc k ∈ N tel que p−1 = kr. Comme a^r = 1, en élevant à la puissance k on obtienta^p−1 = 1, d’où (ii).

Pour obtenir (i) il suffit de multiplier (ii) paraquanda 6= 0, le r´esultat ´etant trivial quand a= 0.

Exercice 4.10. Quel est le reste de la division euclidienne de 3¹⁶⁰⁰⁰² par 17 ? Exercice 4.11. Démontrer le point (ii) du petit théorème de Fermat en calculant de deux fa¸con différentes a×2a× · · · ×(p−1)a.

Voyons maintenant comment généraliser ce théorème si l’on s’affranchit de la condition p premier.