La Fonction Gamma d’Euler.

ÉCS2

La Fonction Gamma d’Euler.

“+” signale une remarque, “.” indique un point méthodologique à noter et “-” suggère une rédaction possible.

1 - Présentation.

La fonction Γd’Euler est la fonction définie sur] 0 ; +∞[ par

∀x >0, Γ(x) = Z +∞

0

t^x−1e^−tdt.

+Attention ! ! !Γ(x)est défini par une intégrale manifestement impropre en+∞

et aussi en 0⁽¹⁾. Comme une intégrale impropre peut ne pas exister,il faut s’assurer que l’intégrale existe pour que cette définition ait un sens⁽²⁾

2 - Rappel sur la fonction puissance : t t t 7→ 7→ 7→ t t t

, pour x ∈ R

x x ∈ ∈ R R .

Soitx∈R. La fonctiont7→t^x est définie sur] 0 ; +∞[par

∀t∈] 0 ; +∞[, t^x=e^xln(t). +Elle n’est pas définie en0! ! !

+La fonction ainsi définie est de classeC^∞ sur] 0 ; +∞[.

+ Pour certaine valeur dex (par exemple lorsquexest un entier naturel non nul), on peut définirt^x pour touttdeR(par t^x=t×t×t× · · · ×t(xfois le facteur t) lorsquex∈N^∗).

+Lorsque xest positif, t7→t^xest prolongeable par continuité en 0 car : lim

t→0⁺t^x= lim

t→0⁺e^xln(t)=

(0 six >0 1 six= 0

3 - Impropriétés de l’intégrale Γ(x) Γ(x) Γ(x).

Puisque t7→t^x−1e^−t est continue (et même de classeC^∞) sur] 0 ; +∞[maisa priori non définie en 0, l’intégrale

Z +∞

0

t^x−1e^−tdtest doublement impropre.

-J’étudie séparément les intégrales : Γ_+∞(x)^déf.=

Z +∞

1

t^x−1e^−tdt etΓ₀(x)^déf.= Z 1

0

t^x−1e^−tdt.

4 - Étude de Γ Γ Γ

(x) (x) (x).

(1). Si ! Voir § suivant.

(2). En théorie de la logique, lorsqu’une définition définit un « objet » qui existe, on dit que cette définition estconsistante. A contrario, la définition : « Soitaun réel tel quea²=−1» est inconsistante.

. Pour la plupart des intégrales impropres en +∞ contenant un facteur en

« e^−machin » avecmachin−−−−→

t→+∞ +∞, on peut tenter une comparaison avec l’intégrale de Riemann

Z +∞

1

dt t². -t²t^x−1e^−t=t^x+1

e^t donc lim

t→+∞t²t^x−1e^−t= 0puisquet^x+1= o

t→+∞ e^t . Ainsit^x−1e^−t= o

t→+∞

1 t²

. Comme t 7→ t^x−1e^−t et t 7→ 1

t² sont deux fonctions continues et positives sur [ 1 ; +∞[, et comme

Z +∞

1

dt

t² est une intégrale de Riemann convergente, larègle de négligeabilitépermet de conclure que :

∀x >0, Γ_+∞(x) = Z +∞

1

t^x−1e^−tdt existe.

5 - Étude de Γ Γ Γ

(x) (x) (x).

. On peut tenter une simplification par la recherche d’un équivalent, sachant que le critère des équivalents est le plus riche des trois critères⁽³⁾ .

- Partons de t^x−1e^−t ∼

t→0

1

t^1−x, puisque e^−t ∼

t→0 1. Or l’intégrale Z 1

0

dt t^1−x est une intégrale de Riemann convergente puisque 1−x < 1. Comme t 7→ t^x−1e^−t et t 7→ 1

t^1−x sont deux fonctions continues et positives sur ] 0 ; 1 ], le critère des équivalentspermet de conclure que :Γ0(x) =

Z 1 0

t^x−1e^−tdtexiste⁽⁴⁾. Ainsi :

∀x >0, Γ0(x) = Z 1

0

t^x−1e^−tdt existe.

6 - Conclusion sur l’existence.

La fonction Γ d’Euler est définie sur ] 0 ; +∞[.

(3). Notons qu’à défaut d’être définie en0, la fonctiont7→t^x−1e^−test prolongeable par continuité en0lorsquex>1. Pourx>1,t7→t^x−1e^−tadmet une limite finie en0:0six >1et1six= 0. Par conséquentΓ0(x) =

Z 1

0

t^x−1e^−tdtest uneintégrale faussement impropre lorsquex> 1, donc existe.

(4). Et même,Γ0(x)n’existe pas pourx60, non ?

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7 - Relation fonctionnelle Γ(x Γ(x Γ(x + 1) = + 1) = + 1) = xΓ(x) xΓ(x) xΓ(x).

.Observons les intégrales Z +∞

0

t^xe^−tdt et

Z +∞

0

xt^x−1e^−tdt.

Le passage de «t^x» à «xt^x−1» doit faire penser à une intégration par parties, d’autant que « e^−t» est stable par primitivation - au changement de signe près.

. Ces intégrales sont impropres mais nous ne pouvons réaliser d’intégrations par parties que sur des intégrales « propres ». Nous passerons ensuite à la limite.

-Soitx >0. Soit0<A<B. Les fonctions t7→t^x et t7→ −e^−t sont de classe C¹sur l’intervalle [ A ; B ]. Par une intégration par parties, j’obtiens :

Z B A

t^xe^−tdt=

−t^xe^−tB

A+ Z B

A

xt^x−1e^−tdt

= A^xe^−A−B^xe^−B+x Z B

A

t^x−1e^−tdt Commex >0, lim

A→0A^xe^−A= 0et lim

B→+∞B^xe^−B = 0.

D’autre part, lorsqueAtend vers0etBvers+∞, Z B

A

t^xe^−tdtet Z B

A

t^x−1e^−tdt tendent respectivement versΓ(x+ 1)et Γ(x).

En passant à la limite dans l’égalité précédente, on obtient finalement :

∀x∈] 0 ; +∞[, Γ(x+ 1) =xΓ(x).

8 - Valeur de Γ(n) Γ(n) Γ(n) lorsque n n n ∈ ∈ ∈ N N N

.

.La relation précédente est une relation de récurrence ! ! ! -PourndansN^∗, soitPn la propriété : «Γ(n) = (n−1)! ».

•

Z +∞

0

e^−tdt= lim

x→+∞

Z x 0

e^−tdt= lim

x→+∞1−e^−x= 1doncΓ(1) = 1. Comme 0! = 1,P1est vraie.

• Soitnun entier de N^∗. SupposonsPn.

AlorsΓ(n+ 1) =nΓ(n) =n×(n−1)! =n!. DoncPn+1.

• Par leprincipe de récurrence,Pn est vraie pour toutndeN^∗.

∀n∈N^∗, Γ(n) = (n−1)!

9 - Valeur de Γ k +

Γ k +

Γ k +

lorsque k k k ∈ ∈ ∈ N N N .

On admet la valeur deΓen 1/2 : Γ ¹₂

=√ π

Paritération, c’est-à-dire en répétant la relation de récurrence, j’obtiens : Γ

3 2

= 1 2Γ

1 2

= 1 2

√π, Γ 5

2

=3 2Γ

3 2

=3×1 2×2

√π,. . .

Γ

2k+ 1 2

= (2k−1)×(2k−3)× · · · ×3×1 2^k

√π.

Recherche d’une expression plus condensée...

Il s’agit d’exprimer le produit I_k des entiers impairs de 1à 2k−1. Or il existe un moyen simple d’exprimer le produitP_k des entiers pairs de2 à2k:

Pk= 2×4×6× · · · ×(2k−2)×(2k)

= (2×1)×(2×2)×(2×6)× · · · ×(2×(k−1))×(2×k)

= 2^k×k!

CommeIkPk = (2k)!(à méditer ! ! !), Ik = (2k)!

2^k×k!

Il s’ensuit que : ∀k∈N, Γ

k+1 2

=(2k)!√ π 2^2k×k!

10 - Application aux intégrales de Gauss.

Soit, pour kentier naturel,Gk = Z +∞

−∞

t^ke^−t2dt.

. La forte analogie avecΓ incite à effectuer le changement de variableu=t² pour obtenir exactement le facteur e^−u.

+ Mais t7→t² n’est pas strictement monotone surR: si j’appliquais ce chan- gement surR, j’obtiendrais une intégrale du type

Z +∞+∞+∞

+∞

+∞

+∞

. . .du, qui n’aurait aucun sens (uvarie de+∞à+∞). Mieux vaut commencer par étudierG⁺_k =

Z +∞

0

t^ke^−t2dt -Le changement de variableu:t7→t²est de classeC¹et strictement monotone sur] 0 ; +∞[puisqueu⁰(t) = 2t >0. Sur] 0 ; +∞[:

u=t²⇔t=√

u, du= 2tdtet dt= du 2√

u.

Par le théorème de changement de variable, G⁺_k est de même nature, et égale en cas de convergence, que 1

2 Z +∞

0

u^k−12 e^−udu. Je reconnais cette dernière inté- grale qui estΓ

k+ 1 2

. DoncG⁺_k existe et vaut 1 2Γ

k+ 1 2

.

Enfin, la fonction t 7→ t^ke^−t2 a la même parité que l’entier k, ce qui assure l’existence deGk avec

Gk=







2G⁺_k = Γ k+ 1

2

= k!√ π 2^{k k}₂

! sikest pair

0 sikest impair

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