Les intégrales
I- Intégrale d’une fonction
1) unité d’aire
Dans un repère orthogonal (O ;#»ı , #») on definit les points I, J et K par : # »
OI = #»ı, # »
OJ = #» et OIJK rectangle.
L’unité d’aire est l’aire du rectangle OIJK Définition
Exemple
L’aire de la figureDest 2 unités d’aires on noteA(D) = 2 u.a
1 2 3
−1
K
I J
O 2
1 u.a D
2) Aire et intégrale d’une fonction positive a) Exemple de calcul d’aire sous une courbe
1) Représenter ci-dessous la courbe de la fonctiongdéfinie sur [0; 1] parg(x) =−1
2x+ 1. Colorier puis calculer l’aire située « sous la courbe deg» (entre l’axe des abscisses et les droites d’équationx= 0 etx= 1).
1
1
2) On a tracé ci-dessous la courbe de la fonctionf définie sur [0; 1] parf(x) = 1 x+ 1.
a. Colorier l’aire située « sous la courbe def » entre 0 et 1 puis en estimer une valeur approchée enu.a.
b. Donner un encadrement de cette aire en utilisant la méthode des rectangles avec des rectangles de largeur 0,2.
0 11
Cf
0 11
Cf
0 11
Cf
b) Définition
Soitf une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
On appelle intégrale deaàbdef et on noteRb
a f(x)dxl’aire exprimée en unité d’aire, du domaineD délimité parCf, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=b.
Les réelsaetbsont appelés les bornes de l’intégraleRb
a f(x) dx..
Définition
y=f(x)
a b
DomaineD
Zb
a
f(x) dx=aire du domaineD
x y
O
Le domaineD peut-être caractérisé par :
D ={M(x;y) tels que a6x6bet 06y6f(x)}
Remarque
1) La variablexest dite « muette » et peut être remplacée par toute autre variable.
Zb a
f(x) dx= Z b
a
f(t) dt 2) Ra
a f(x) dx= 0.
Exemple 1)
Z 1 0
−1
2x+ 1 dx=3 4 u.a
2) Calculer les intégrales suivantes : a.
Z 1 0
xdx.
b.
Z 3
−2
2 dx.
c.
Z 4 2
(x+ 1) dx.
3) Intégrale d’une fonction négative
Soitf une fonction continue et négative sur un intervalle [a;b] etCf sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ;#»ı , #»).
On note Al’aire, en u.a, du domaine délimité par Cf, l’axe des abscisses, et les droites d’équationx =aet x=b.
On définie alors que
Zb a
f(x) dx=−A Définition
A a
f(x) dx=−A On dit queRb
a f(x) dxest l’aire algébrique deA.
4) Intégrale d’une fonction de signe quelconque
Pour calculer l’aire d’un domaine définie par une fonction changeant de signe, il faut découper l’intervalle en plusieurs intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant.
Soitf une fonction continue sur un intervalle [a;b].
L’intégrale de aà b de f est le réel défini par la somme des aires algébriques des domaines définis par les intervalles où la fonction garde un signe constant.
Définition
A1
A2 Zb
a
f(t) dt=−A1+A2
Exemple Calculer
Z 3
−4
(1 +x) dx.
5) Valeur moyenne d’une fonction
On chercheµde sorte que l’aire du rectangle ABCD soit égale à celle
de l’aire sous la courbe def entreaetb µ
A
C
B D
Soitf une fonction continue sur [a;b].(a6b).
On appellevaleur moyennedef sur [a;b] le nombre réelµdéfini par µ= 1
b−a Z b
a
f(x) dx.
Définition
♥
II- Propriété de l’intégrale
1) Théorème
Toute fonction continue sur un intervalle [a;b] admet une intégrale sur cet intervalle.
Théorème admis
Remarque
C’est une condition suffisante pour qu’une fonction admette une intégrale mais pas nécessaire.
2) Intégrale debàad’une fonction continue
Soientf une fonction continue sur [a;b] alors : Za
b
f(x) dx=− Z b
a
f(x) dx . Propriété
3) Linéarité de l’intégrale
Soientf etgdeux fonctions continues sur [a;b] etλun réel, alors :
• Z b
a
(f +g)(x) dx= Z b
a
f(x) dx+ Z b
a
g(x) dx.
• Z b
a
λf(x) dx=λ Zb
a
f(x) dx.
Propriété
♥
Soientf une fonction continue sur [a;b].(a6b).
• Si, pour toutx∈[a;b], on af(x)≥0, alors Z b
a
f(x)dx≥0.
• si, pour toutx∈[a;b], on af(x)≤0, alors Zb
a
f(x)dx≤0.
Propriété
♥
RemarqueLa réciproque de la positivité n’est pas forcément vraie, on peut avoit Z b
a
f(x)dx≥0 sans avoir f positive sur [a; b] :
5) Ordre et intégrale
Si f et g sont deux fonctions continues sur [a;b], (a6b).
Si, pour toutx∈[a;b],g(x)≤f(x) alors on a : Z b
a
g(x) dx≤ Z b
a
f(x) dx
y=f(x) y=g(x)
a b x
y
O
Propriété
♥
Exemple
Démontrer que pour touttde [1; +∞[, Zt
1
e−x2dx6 Zt
1
e−xdx.
6) Relation de Chasles
Soitf une fonction continue surRetb∈[a; c], alors Z c
a
f(x) dx= Z b
a
f(x) dx+ Z c
b
f(x) dx.
Propriété
♥
Interprétation graphique :
Exemple
Soitf la fonction définie sur l’intervalle [−2; 5] par
f(x) =−2
3x+ 2,six∈[−2; 2[
f(x) =23x−2
3 ,six∈[2; 5]
1) Justifier quef est continue sur [−2; 5].
2) CalculerR5
−2f(x) dx.
7) Inégalité de la moyenne
S’il existemet M tels que, pour toutx∈[a;b], m≤f(x)≤M alors on a :
m(b−a)≤ Z b
a
f(x) dx≤M(b−a)
Il suffit de comparer les aires du domaine sous la courbe avec celles des triangles ABCD et ABEF
y=f(x)
a b
A B
F E
D C
M
m
x y
O
Propriété
♥
Exemple
Démontrer que 06Re
1ln(x) dx6e−1.
