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intégrales
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Intégration*
Fait d’assembler des parties pour former un tout
5.1 Introduction
L'intégration est, tout comme les dérivées, un outil scientifique fondamental. Les intégrales sont abondamment utilisées afin de quantifier des longueurs, des aires, des volumes et toute autre grandeur mesurable. De nombreux autres domaines, telles les probabilités que nous avons étudiées précédemment ont largement recours au calcul intégral. C'est la raison pour laquelle l'intégration est largement enseignée dès l'enseignement secondaire de par le monde.
Nous allons illustrer une des nombreuses applications de l’utilisation pratique des intégrales par l’exemple du calcul de la distance à partir de la vitesse.
Il est possible de déterminer la distance parcourue par un véhicule à partir de sa vitesse, donnée ici sous la forme d’un graphique.
Prenons l’exemple d’une cycliste roulant à 25 𝑘𝑚/ℎ pendant 20 ℎ𝑒𝑢𝑟𝑒𝑠. On calcule la vitesse du vélo en divisant la distance parcourue par le temps nécessaire pour la parcourir :
𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 (𝑘𝑚
ℎ ) =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 (𝑘𝑚) 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 (ℎ)
En réarrangeant la formule, on déduit que la distance parcourue correspond au produit de la vitesse et du temps :
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 (𝑘𝑚) = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 (ℎ). 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 (𝑘𝑚 ℎ )
On peut observer que la distance parcourue correspond à l’aire sous sa courbe de vitesse, délimitée par l’axe des abscisses, le point de départ et le point d’arrivée.
En effet, l’aire sous la courbe correspond à l’aire du rectangle de base égale au temps du trajet et de hauteur égale à la vitesse. Avec la formule, on sait que le produit de la vitesse et du temps, c’est-à-dire l’aire du rectangle, correspond à la distance parcourue.
Le cycliste a donc parcouru 25𝑘𝑚
ℎ . 20 ℎ = 500 𝑘𝑚.
*https://fr.wiktionary.org/wiki/int%C3%A9gration
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En suivant la même logique, on peut deviner qu’à chaque kilomètre parcouru par le cycliste correspondra un carré de hauteur 1 et de largeur 1 situé sous la courbe. Il y a cinq cents carrés sous la courbe, correspondant bien aux 500 𝑘𝑚 parcourus par le cycliste.
Puisqu’à chaque kilomètre parcouru correspond un carré d’aire unitaire sous la courbe, on peut deviner que la distance parcourue par un véhicule ne se déplaçant pas à vitesse constante correspondra aussi à l’aire sous sa courbe de vitesse.
Prenons à présent un cas plus réaliste : le cycliste démarre toujours à 25𝑘𝑚/ℎ mais a une décélération constante pour atteindre la vitesse de 20 𝑘𝑚/ℎ à la fin du trajet. On calcule la distance parcourue en mesurant l’aire sous le graphe de la vitesse. A cette surface correspond un trapèze dont on peut aisément calculer l’aire :
𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 .𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 + 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡𝑒 ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟
2 = 20.25 + 20
2 = 450 𝑘𝑚 Le cycliste a donc parcouru 450 𝑘𝑚.
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Pour pouvoir calculer la distance parcourue par des véhicules ayant des courbes de vitesse plus réalistes, et donc souvent plus compliquées, il faudrait être capable de calculer l’aire sous la courbe de vitesse comme nous l’avons fait dans les deux exemples précédents.
Des connaissances basiques en géométrie nous ont permis de calculer l’aire dans des cas simples mais nous n’avons pas de formule à appliquer dans des cas où la courbe décrivant la vitesse est moins élémentaire.
L’intégration est un outil qui permet de résoudre ce problème, car il permet de déterminer l’aire exacte sous une courbe dont on connaît l’équation. Ici, nous avons pu déterminer la distance parcourue en quantifiant l’aire sous le graphe de la vitesse. Le calcul de l’aire sous un graphe nous a permis de relier deux grandeurs (la vitesse et la distance). Dans de nombreux autres problèmes scientifiques, les intégrales peuvent être utilisées de façon similaire pour quantifier une grandeur à partir d’une autre.
5.2 Méthode des rectangles
Comme nous l’avons vu au point 5.1, il est très utile de pouvoir calculer l’aire sous une courbe.
Nous avons vu précédemment que l’on pouvait découper l’aire sous une courbe en carrés d’aire unitaire, dont le nombre correspond à l’aire totale.
Utilisons ici un autre découpage de l’aire à mesurer, divisons la surface sous la courbe en rectangles de même base. Intéressons-nous ici à la fonction du second degré ayant pour équation 𝑦 = 𝑥2, et à la surface délimitée par son graphique et les abscisses 𝑥 = 1 et 𝑥 = 2. Elle est représentée à gauche ci-dessous. On voit qu’on peut approcher l’aire de cette surface en la découpant en sous-surfaces rectangulaires. La somme des aires de ces rectangles se rapproche de l’aire sous la courbe. On peut choisir d’utiliser des rectangles qui n’empiètent pas sur la courbe (somme inférieure, au centre) ou des rectangles qui recouvrent la courbe (somme supérieure, à droite).
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Avec peu de rectangles, la précision est assez limitée, mais le calcul de la somme des aires est rapide. Calculons la somme inférieure 𝑆− et la somme supérieure 𝑆+ pour le cas de quatre rectangles illustré précédemment.
Chaque rectangle a une base de largeur égale à 0.25. On calcule une à une l’aire de chaque rectangle en multipliant sa base par sa hauteur. On additionne ensuite les aires trouvées pour les 4 rectangles
Pour l’approximation par la somme des rectangles inférieurs, la hauteur du rectangle est la valeur de la fonction au début de l’intervalle matérialisé par la base.
Dans le cas de la somme supérieure, la hauteur du rectangle est la valeur de fonction à la borne finale de l’intervalle matérialisé par la base.
somme inférieure 𝑆− somme supérieure 𝑆+
𝑺−= 0.25 ∙ 1 + 0.25 ∙ 1.5625 + 0.25 ∙ 2.25
+ 0.25 ∙ 3.0625 ≈ 𝟏. 𝟗𝟔𝟗 𝑺+= 0.25 ∙ 1.5625 + 0.25 ∙ 2.25 + 0.25
∙ 3.0625 + 0.25 ∙ 4 ≈ 𝟐. 𝟕𝟏𝟗 Afin d’avoir une approximation de l’aire plus précise, effectuons un découpage plus fin de la surface sous la courbe. Calculons 𝑆− et 𝑆+ à l’aide d’un logiciel de calcul.
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Nombre de
rectangles somme inférieure 𝑆− somme supérieure 𝑆+
10
𝑆−≈ 2.185 𝑆+≈ 2.485
25
𝑆−≈ 2.274 𝑆+≈ 2.394
50
𝑆−≈ 2.303 𝑆+≈ 2.363
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Il faut atteindre une découpe de la surface en environ 1800 rectangles pour atteindre une différence entre 𝑆+ et 𝑆− égale à 0.001 .
𝒏 𝑺− 𝑺+ 𝑺 = 𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏𝒏𝒆 𝒅𝒆 𝑺−𝒆𝒕 𝑺+
4 1.969 2.719 2.344
10 2.185 2.485 2.335
25 2.274 2.394 2.334
50 2.303 2.363 2.333
1800 2.333 2.334 2.3335
Par ce procédé, on peut calculer informatiquement très précisément la surface sous la courbe.
Nous verrons plus loin que les mathématiques proposent une solution exacte qui peut être mise en œuvre sans logiciel de calcul.
On peut remarquer qu’on trouve directement une grande précision dès le calcul à la main avec 4 rectangles si on utilise la moyenne des 2 sommes 𝑆 pour approcher l’aire sous la courbe, plutôt que de considérer uniquement 𝑆+ et 𝑆−.
On peut deviner que pour une découpe de l’aire sous la courbe en un nombre infini de rectangles, 𝑆− et 𝑆+ auront la même valeur, qu’on appellera 𝑆 dans la suite du cours.
On dit que les fonctions qui remplissent cette condition sont intégrables sur le domaine concerné.
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Autrement dit :
Soit un intervalle [𝑎, 𝑏] dans lequel on calcule l’aire sous le graphe de la fonction 𝑓(𝑥).
La surface sous le graphe est divisée en 𝑛 rectangles, soient 𝑆𝑛− la somme inférieure avec 𝑛 rectangles, et 𝑆𝑛+ la somme supérieure avec 𝑛 rectangles,
si lim
𝑛→∞𝑆𝑛−= lim
𝑛→∞𝑆𝑛+= 𝑆,
la fonction est dite intégrable sur [𝑎, 𝑏], et on note la surface d’aire égale à 𝑆 calculée sous la courbe ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙𝒂𝒃 . On peut écrire :
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏 𝑎
𝑑𝑥 = 𝑆 = lim
𝑛→∞𝑆𝑛−= lim
𝑛→∞𝑆𝑛+ .
5.3 Intégrale définie et aire
Une aire est une mesure de surface qui est toujours positive. Nous avons jusque à présent rencontré des fonctions dont le graphe était situé au-dessus de l’axe des 𝑥. Pour ces cas, on a vu que l’intégrale définie ∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 𝑑𝑥 était positive (l’adjectif définie indique que les bornes 𝑎 et 𝑏 ont des valeurs fixées). La situation est différente dans le cas où la courbe se situe sous l’axe des 𝑥. En effet, dans ces cas, la valeur de 𝑓(𝑥) prise pour calculer la hauteur des rectangles est négative et le résultat que nous calculons est l’opposé de l’aire des rectangles concernés, voir 5.2. La relation entre l’aire 𝐴 et la valeur de l’intégrale ∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 𝑑𝑥 est donnée ci-dessous :
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏 𝑎
𝑑𝑥 𝐴 = − ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏 𝑎
𝑑𝑥
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑐 𝑎
𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥)
𝑑 𝑐
𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏 𝑑
𝑑𝑥
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5.3.1 Propriétés
∫ 𝒇(𝒙)
𝒂 𝒃
𝒅𝒙 = − ∫ 𝒇(𝒙)
𝒃 𝒂
𝒅𝒙 Autrement dit : inverser les bornes de
l’intégrale inverse son signe.
Dans la notation ∫ 𝑓(𝑥)𝑖𝑓 𝑑𝑥, 𝑖 désigne la borne initiale et 𝑓 la borne finale.
Si on parcourt le domaine dans le sens opposé à l’axe des 𝑥, c’est-à-dire de 𝑏 vers 𝑎, on calcule ∫ 𝑓(𝑥)𝑏𝑎 𝑑𝑥 (car 𝑏=borne initiale et 𝑎=borne finale)
Cette intégrale vaut l’opposé de ∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 𝑑𝑥, pour laquelle le domaine est parcouru de 𝑎 vers 𝑏, c’est-à-dire dans le même sens que l’axe 𝑥 (car 𝑎=borne initiale et 𝑏=borne finale)
∫ 𝒇(𝒙)
𝒃 𝒂
𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙)
𝒄 𝒂
𝒅𝒙 + ∫ 𝒇(𝒙)
𝒃 𝒄
𝒅𝒙 Autrement dit : l’intégrale sur un intervalle est la somme des intégrales sur
des subdivisions de cet intervalle.
Dans une intégrale, la variable 𝑥 est muette, c’est-à-dire que le choix de la variable pour la fonction à intégrer n’influence pas le résultat et on peut par exemple écrire, en choisissant une autre variable 𝑡 :
∫ 𝒇(𝒙)
𝒃 𝒂
𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒕)
𝒃 𝒂
𝒅𝒕 L’utilité de cette propriété apparaîtra plus tard.
𝑎 → 𝑏 : sens de l’axe 𝑥 : ∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 𝑑𝑥 𝑏 → 𝑎 : sens opposé à l’axe 𝑥 : ∫ 𝑓(𝑥)𝑏𝑎 𝑑𝑥
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Exercice 1 (P2 : Appliquer) Écris les intégrales qui permettent de calculer l’aire de la zone grisée sur le graphique.
Graphique Aire
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5.4 Intégrale indéfinie et primitive
5.4.1 Intégrale indéfinie
Une intégrale indéfinie 𝑭(𝒙) d’une fonction 𝑓 intégrable sur l’intervalle 𝐼 est une fonction définie par :
𝑭(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒕)
𝒙 𝒂
𝒅𝒕 + 𝑲 où 𝐾 est une constante et où 𝑎 ∈ 𝐼.
Il y a une différence fondamentale entre ce type d’intégrale et les intégrales définies étudiées jusqu’à présent : ici, la borne finale n’est pas fixe.
La valeur de l’intégrale n’est donc pas une valeur fixe mais une fonction 𝑭(𝒙) dont la valeur dépend de la borne finale 𝑥. La fonction 𝐹(𝑥) renvoie donc la valeur de l’intégrale depuis la borne initiale fixe 𝑎 jusqu’à la borne finale 𝑥, qui est variable.
La façon dont est obtenu le graphique de l’intégrale indéfinie 𝐹(𝑥) est illustrée ci-dessous et dans le tableau de la page suivante, où les aires sont renseignées dans les surfaces grisées (nous sommes dans le cas d’une courbe située au-dessus de l’axe des 𝑥, donc l’intégrale est égale à l’aire, voir point 5.3).
L’intégrale est calculée en 5 points du domaine étudié, situés entre 𝑎 et 𝑏. Le graphique complet de l’intégrale indéfinie 𝐹(𝑥) sur l’intervalle [𝑎, 𝑏] est obtenu en calculant l’aire sous le graphe de 𝑓(𝑥) pour tous les 𝑥 compris entre 𝑎 et 𝑏.
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Graphe de 𝑓 et représentation de ∫ 𝑓(𝑡)𝑎𝑥 𝑑𝑡 Graphe de 𝐹(𝑥) – valeur de ∫ 𝑓(𝑡)𝑎𝑥 𝑑𝑡
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5.4.2 Théorème fondamental de l’analyse
Le théorème fondamental de l’analyse démontre que, dans le cas des fonctions continues que nous étudions ici, la dérivée d’une intégrale indéfinie d’une fonction est égale à cette fonction.
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) C’est-à-dire :
(∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙) ′ = 𝒇(𝒙)
Ce résultat est fondamental car il constitue les fondements d’un outil mathématique très puissant : l’intégration. Il donne un moyen simple de calculer l’aire sous le graphe d’une fonction à partir de son équation : effectuer l’opération inverse de la dérivation.
𝑓(𝑥) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
Le tableau suivant donne les fonctions de base et leurs dérivées étudiées en cinquième année.
Nous allons lire ce tableau à l’envers puisque l’opération d’intégration est en quelque sorte l’opération inverse de la dérivation. Nous pouvons écrire :
𝑓(𝑥) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
dérivation intégration
0 𝐾
1 𝑥
2𝑥 𝑥2
3𝑥2 𝑥3
𝑝 ∙ 𝑥𝑝−1 ; 𝑝 ∈ ℚ 𝑥𝑝
On peut déduire par exemple du tableau précédent qu’une solution de
∫ 3𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥3 , car (𝑥3)′ = 3𝑥² .
Par ailleurs, on peut remarquer les effets de l’intégration et de la dérivation « s’annulent » puisqu’on peut réécrire ce résultat sous la forme : (∫ 3𝑥2𝑑𝑥)′ = 3𝑥2
dérivation
intégration
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5.4.3 Primitive 5.4.3.1 Définitions
Par définition, une primitive d’une fonction 𝑓 est une fonction 𝐹 dont la dérivée est 𝑓, autrement dit 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Le théorème fondamental de l’analyse indique donc qu’une intégrale indéfinie ∫ 𝑓(𝑡)𝑎𝑥 𝑑𝑡 + 𝐾 de 𝑓 est une primitive de 𝑓. La fonction 𝑓 admet donc une infinité de primitives ∫ 𝑓(𝑡)𝑎𝑥 𝑑𝑡 + 𝐾 qui ne se différencient que par la valeur de la constante 𝐾.
Par exemple, on a vu au point 5.4.2 que 𝑥3 est une primitive de 3𝑥2 car : (𝑥3)′ = 3𝑥²
Etant donné que la dérivée d’une fonction constante, par exemple 𝑥 = 3 est nulle (voir première ligne du tableau), et que la somme des dérivées est égale à la dérivée de la somme (vu en cinquième), on peut écrire :
(𝑥3+ 3)′= (𝑥3)′ + (3)′= 3𝑥2
On a donc vérifié que la primitive d’une fonction donnée, n’est pas unique. Dans notre exemple on voit que 3𝑥2 admet au moins deux primitives : 𝑥3 et 𝑥3+ 3. En poursuivant le raisonnement, on peut déduire que toutes les fonctions ayant l’équation générale 𝑥3+ 𝐾, où 𝐾 est une constante sont des primitives de 3𝑥2 (voir aussi point 5.4.1).
5.4.3.2 Intégrales immédiates
Le tableau du point 5.4.2 est fastidieux à utiliser pour intégrer. En effet ce tableau est prévu pour la dérivation, non pour l’intégration. Il convient de remettre ce tableau en forme afin de simplifier son utilisation pour l’intégration. En utilisant la formule du point 5.4.3.3, on peut éviter d’avoir des facteurs dans la colonne de gauche :
𝑓(𝑥) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
0 𝐾
1 𝑥 + 𝐾
2𝑥 ∙𝟏
𝟐= 𝑥 𝑥2∙𝟏
𝟐+ 𝐾 3𝑥2∙𝟏
𝟑= 𝑥² 𝑥3∙𝟏
𝟑+ 𝐾 𝑝 ∙ 𝑥𝑝−1
En posant 𝑛 = 𝑝 − 1, on a : (𝑛 + 1) ∙ 𝑥𝑛 Et multipliant par 1
𝑛+1, on obtient : 𝟏
𝒏 + 𝟏(𝑛 + 1) ∙ 𝑥𝑛= 𝑥𝑛
𝑥𝑛+1 𝒏 + 𝟏+ 𝐾
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Ceci nous amène au tableau des intégrales immédiates
𝒇(𝒙) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
intégration
𝟎 𝑲
𝟏 𝒙 + 𝑲
𝒙 𝒙𝟐
𝟐 + 𝑲
𝒙² 𝒙𝟑
𝟑 + 𝑲
𝒙𝒏 𝒏 ∈ ℚ/{−𝟏} † 𝒙𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏+ 𝑲
𝟏
𝒙 ‡ 𝐥𝐧|𝒙| + 𝑲
√𝒙 § 𝟐
𝟑√𝒙𝟑+ 𝑲
𝐬𝐢𝐧 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑲
𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝑲
† L’exposant ne peut pas être égal à -1, sinon le dénominateur de l’intégrale serait nul
‡ Cette formule et les formules trigonométriques ont été ajoutées, elles n’étaient pas dans le tableau des dérivées
§ La formule pour la racine carrée a été calculée à partir de la formule de xn avec n = 1/2 , puisque √x = x12
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5.4.3.3 Intégrales par décomposition On peut facilement démontrer que :
∫(𝑎 ∙ 𝑓(𝑥) + 𝑏 ∙ 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝑎 ∙ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑏 ∙ ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
Ce résultat est utilisé par exemple pour calculer l’intégrale de la fonction d’équation 6𝑥2+ 4𝑥, on a : 𝑎 = 6, 𝑓(𝑥) = 6𝑥2, 𝑏 = 4 et 𝑔(𝑥) = 4𝑥.
Notons que les facteurs 𝑎 et 𝑏 ont été choisis de manière à faire apparaître en 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) les fonctions de la colonne de gauche du tableau des intégrales immédiates. Cela permet de calculer directement la valeur des intégrales de 𝑓 et 𝑔. Comme nous l’avons vu précédemment, les primitives sont toujours déterminées à une constante près, d’où la prise en compte de 𝐾1, 𝐾2.
∫(6𝑥2+ 4𝑥) 𝑑𝑥 = 6 ∙ ∫ 𝑥² 𝑑𝑥 + 4 ∙ ∫ 𝑥 𝑑𝑥
= 6 ∙𝑥3
3 + 𝐾1+ 4 ∙𝑥2 2 + 𝐾2
= 2𝑥3+ 2𝑥2+ 𝐾 (𝐾1+ 𝐾2 est aussi une constante, fixée = 𝐾)
Il est à noter que la formule introduite dans ce paragraphe reste valable peu importe le nombre de termes dans l’intégrale**.
Exercice 2 (P2 : Appliquer) En utilisant le tableau ci-dessus et la formule de décomposition du point 5.4.3.3, calcule les intégrales suivantes :
a. ∫(2𝑥3− 7) 𝑑𝑥 =
b. ∫(4𝑥3− 2𝑥2+ 5𝑥 − 2) 𝑑𝑥 =
c. ∫(5√𝑥 + 𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =
d. ∫(𝑥3𝑥+1) 𝑑𝑥 =
e. ∫(𝑥
2−5) 𝑥2 𝑑𝑥 =
** Par exemple, avec 3 termes : ∫(𝑎 ∙ 𝑓(𝑥) + 𝑏 ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑐 ∙ ℎ(𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝑎 ∙ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑏 ∙ ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ∙ ∫ ℎ(𝑥) 𝑑𝑥
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5.4.3.4 Intégrales par substitution
L’intégration par substitution opère un changement de variable. Il convient d’être capable de déterminer dans quels cas cette méthode peut être utile. On l’utilise quand il est possible de se ramener à une formule simple du tableau des intégrales immédiates du point 5.4.3.2, en substituant une partie de la fonction intégrée par une variable plus simple :
Par exemple, calculons ∫ √2 − 3𝑥 𝑑𝑥 :
On remarque que la formule « ressemble » à la formule ∫ √𝑥 𝑑𝑥 (tableau au point 5.4.3.2)
Substituons ce qui se trouve sous la racine dans notre exemple, en posant 𝑢 = 2 − 3𝑥, on se ramène donc au calcul de ∫ √𝑢 𝑑𝑥
Il reste à calculer 𝑑𝑥 en fonction de 𝑢 :
On peut noter la dérivée de 𝑢 de plusieurs manières : 𝑢′ ou 𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑢 = 2 − 3𝑥 , d’où 𝑢′=𝑑𝑢
𝑑𝑥= (2 − 3𝑥)′= −3 (tableau au point 5.4.2) Puisque 𝑑𝑢
𝑑𝑥= −3, on a 𝑑𝑥 = −1
3𝑑𝑢
Et en substituant dans l’intégrale de départ, on se ramène finalement au calcul de −1
3∫ √𝑢 𝑑𝑢.
Le procédé complet est schématisé ci-dessous :
∫ √2 − 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢 𝑑𝑥 = ∫ −1
3√𝑢 𝑑𝑢 = −1
3∫ √𝑢 𝑑𝑢 = −1 3∙2
3√𝑢3+ 𝐾 = −2
9√(2 − 3𝑥)3+ 𝐾
Substitution Calcul de
𝑑𝑥 On sort la constante
Intégration : voir tableau au
point 5.4.3.2
On substitue à nouveau De façon générale :
Soient 𝑓 une fonction continue et 𝑢 une fonction dérivable dont la dérivée est continue sur un intervalle donné, alors on a dans cet intervalle :
∫ 𝑓(𝑢(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢) 1 𝑢′ 𝑑𝑢
Exercice 3 (P2 : Appliquer) †† Calcule les intégrales suivantes par la méthode de substitution a. ∫ cos(3𝑥 − 3) 𝑑𝑥 =
†† On peut remarquer dans l’exemple et les exercices qu’on a toujours u′ = à une constante. Néanmoins, cette méthode s’avère très utile dans des cas où u′ n’est pas une fonction constante. Toutefois, nous n’aborderons pas ce cas dans le cadre de ce cours.
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b. ∫(2𝑥 − 3)3𝑑𝑥 =
c. ∫(3𝑥+2)3 2𝑑𝑥 =
d. ∫ √4𝑥 + 23 𝑑𝑥 =
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5.4.3.5 Intégrales par parties
En se basant sur la formule de dérivation d’un produit de fonctions 𝑓 et 𝑔 vue en cinquième : (𝑓. 𝑔)′= 𝑓′. 𝑔 + 𝑓. 𝑔′
On peut trouver la formule de l’intégration par parties. En intégrant les deux membres, on a :
∫(𝑓. 𝑔)′𝑑𝑥 = ∫(𝑓′. 𝑔 + 𝑓. 𝑔′) 𝑑𝑥 Ou encore :
𝑓. 𝑔 = ∫ 𝑓′. 𝑔 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓. 𝑔′ 𝑑𝑥 Cela nous amène à la formule de l’intégration par parties :
∫ 𝑓. 𝑔′ 𝑑𝑥 = 𝑓. 𝑔 − ∫ 𝑓′. 𝑔 𝑑𝑥 Prenons par exemple ∫ 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 :
On a : 𝒇(𝒙) = 𝒙, d’où 𝒇′(𝒙) = 𝟏 ;
Et on a : 𝒈′(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙, or on se rappelle que l’intégration « annule » l’effet de la dérivée (5.4.2), d’où : 𝒈(𝒙) = ∫ 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙. En appliquant la méthode d’intégration par parties, on a :
∫ 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓. 𝑔 − ∫ 𝑓′. 𝑔 𝑑𝑥 = 𝑥. sin 𝑥 − ∫ 1. sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐾
La méthode s’avère particulièrement utile lorsqu’une des fonctions dont on intègre le produit a une dérivée constante, telle la fonction 𝑓 de l’exemple.
Exercice 4 (P2 : Appliquer) Calcule les intégrales suivantes en utilisant l’intégration par parties a. ∫ 3𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 =
b. Ici, il faut appliquer la méthode deux fois : ∫ 𝑥2cos 𝑥 𝑑𝑥 =
c. Ici, au lieu de d’abord calculer ce qui se trouve dans l’intégrale, puis intégrer, on peut combiner l’intégration par parties et la substitution : ∫ 𝑥. (𝑥 − 3)4𝑑𝑥 =
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5.4.3.6 Intégrales quasi-immédiates
Similairement à la méthode d’intégration par substitution, la méthode d’intégration quasi- immédiate permet d’intégrer une composée de fonctions 𝑓(𝑔(𝑥)). La méthode d’intégration quasi-immédiate diffère de la substitution par le fait qu’on intègre ici 𝑓(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥).
Si 𝐹 est une primitive de la fonction 𝑓, on a :
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐾
En utilisant la formule de la dérivée d’une fonction composée, on démontre que :
∫ 𝑓(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐾
Prenons par exemple ∫ cos(𝑥2) . 𝟐𝒙 𝑑𝑥 : On a : 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) et 𝑔(𝑥) = 𝑥2
On vérifie qu’on a bien la forme générale nécessaire à l’application de la méthode d’intégration quasi- immédiate, c’est-à-dire que l’intégrale contient 𝑓(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥), autrement dit que 𝑔′(𝑥) est bien égale à 𝟐𝒙, ce qui est le cas ici puisque (𝑥2)′= 2𝑥
Puisque 𝑓(𝑥) = cos 𝑥, l’expression analytique d’une primitive de 𝑓 est 𝐹(𝑥) = sin 𝑥, et on a :
∫ cos(𝑥2) . 𝟐𝒙 𝑑𝑥 = sin(𝑥2) + 𝐾
Il est à noter qu’il faut parfois ajouter une constante afin de retrouver 𝑔′(𝑥) dans l’intégrale, par exemple, si on cherche à calculer ∫ cos(𝑥2) . 𝒙 𝑑𝑥, on doit ajouter une constante = 2 (compensée par un facteur 1
2) pour retrouver 𝑔′(𝑥) = 2𝑥, et on a :
∫ cos(𝑥2) . 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos(𝑥2) .𝟏
𝟐. 𝟐𝑥 𝑑𝑥 =1
2. ∫ cos(𝑥2) . 2𝑥 𝑑𝑥 =1
2 sin(𝑥2) + 𝐾
Exercice 5 (P2 : Appliquer) Calcule les intégrales quasi-immédiates suivantes : a. ∫(3𝑥2− 2). (𝑥3− 2𝑥 + 5)3𝑑𝑥 =
b. ∫4𝑥8𝑥2−4𝑑𝑥 =
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c. ∫ 2 sin7𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 =
d. ∫(𝑥 − 2𝑥³). √𝑥3 4− 𝑥2𝑑𝑥 =
e. ∫−sin 𝑥cos3𝑥𝑑𝑥 =
f. ∫ln 𝑥𝑥 𝑑𝑥 =
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5.5 Applications
5.5.1 Calcul d’aire
Dans ce paragraphe, nous prendrons l’exemple d’une courbe située au-dessus de l’axe des abscisses, de façon à parler de l’intégrale en terme d’aire (voir page 8).
Nous cherchons à calculer une intégrale définie ∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 𝑑𝑥, c’est-à-dire l’aire sous le graphe d’une fonction 𝑓, comprise entre les abscisses 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏. Avec les résultats des points 5.3 et 5.4, on sait qu’on peut calculer l’aire sous une fonction 𝑓(𝑥) avec une de ses primitives 𝐹(𝑥) telle que :
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)
𝑥 𝑎
𝑑𝑡 + 𝐾
D’où en remplaçant la borne variable 𝑥 par les bornes fixes 𝑎 et 𝑏 entre lesquelles on cherche à calculer l’aire, on a :
𝐹(𝒃) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑎𝒃 𝑑𝑡 + 𝐾 et 𝐹(𝒂) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑎𝒂 𝑑𝑡 + 𝐾 = 0 + 𝐾
∫ 𝑓(𝑡)𝑎𝒂 𝑑𝑡 = 0 car les bornes d’arrivée et de départ sont identiques, l’aire sous le graphe de la fonction est donc nulle.
Avec 𝐹(𝑎) = 𝐾, et à partir de la valeur de 𝐹(𝑏) trouvée ci-dessus, on a : 𝐹(𝑏) = ∫ 𝑓(𝑡)
𝑏 𝑎
𝑑𝑡 + 𝐾 = ∫ 𝑓(𝑡)
𝑏 𝑎
𝑑𝑡 + 𝐹(𝑎) Et donc :
∫ 𝒇(𝒕)
𝒃 𝒂
𝒅𝒕 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂) = 𝑭]𝒂𝒃
Autrement dit, l’intégrale définie de la fonction entre les bornes 𝑎 et 𝑏 est égale à la différence des valeurs d’une primitive en 𝑎 et en 𝑏 (dans le cas où la fonction est située au-dessus de l’axe des 𝑥, l’intégrale définie est égale à l’aire)
A l’aide des résultats du point 5.3, on peut calculer la valeur d’une primitive 𝐹 de bon nombre de fonctions. Nous avons donc les outils nécessaires pour calculer l’aire sous le graphe de ces fonctions.
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Reprenons l’exemple de la page 4, nous y avons étudié la distance parcourue par un cycliste dont la courbe de vitesse était donnée :
𝑣(𝑡) = − 2
375𝑡3+ 1
25𝑡2+1 2𝑡 +65
3 On trouve aisément une primitive 𝑉(𝑡) de 𝑣(𝑡) en l’intégrant (ici la primitive avec 𝐾 = 0) : 𝑉(𝑡) = ∫ (− 2
375𝑡3+ 1
25𝑡2+1 2𝑡 +65
3) 𝑑𝑡
= − 2 375.𝑡4
4 + 1 25.𝑡3
3 +1 2.𝑡2
2 +65 3 . 𝑡
= − 𝑡4 750 + 𝑡3
75+𝑡2 4 +65
3 . 𝑡
Avec la formule de la page précédente :
∫ 𝑓(𝑡)
𝑏 𝑎
𝑑𝑡 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
On peut déterminer la valeur de la distance parcourue, c’est-à-dire l’aire sous le fraphe de la vitesse. Cette aire est égale à :
∫ 𝑣(𝑡)
20 0
𝑑𝑡
Elle se calcule à l’aide d’une primitive 𝑉(𝑡) comme suit :
∫ 𝑣(𝑡)
20 0
𝑑𝑡 = [𝑉(20)] − [𝑉(0)]
= [−204 750 +203
75 +202 4 +65
3 . 20] − [04 750 +03
75+02 4 +65
3 . 0]
= 426.67 𝑘𝑚
Comme annoncé à la page 4, nous disposons donc désormais d’une méthode pour calculer l’aire sous le graphe de n’importe quelle fonction continue dont nous connaissons l’expression analytique.
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Exercice 6 (P2 : Appliquer) Vérifie les résultats suivants en résolvant les intégrales définies, et remplis éventuellement les pointillés.
∫ (𝑥3 8 −𝑥2
2 + 𝑥 + 2 ) 𝑑𝑥
4 0
=
∫ (2√𝑥 −7 8𝑥²) 𝑑𝑥
3 0
=
∫ (𝑥2+ 3 2𝑥 ) 𝑑𝑥
6 1
= ∫ (𝑥 2+3
2.1 𝑥) 𝑑𝑥 =
6 1
∫ (𝑥3− 48 12𝑥 ) 𝑑𝑥
…
…
= ∫ (…
…− ⋯ .1 𝑥) 𝑑𝑥 =
…
…
∫ (… … … )𝑑𝑥
…
…
=
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Exercice 7 (P2 : Appliquer) Vérifie les résultats suivants en calculant des intégrales définies, utilise les méthodes par substitution ou par parties si nécessaire.
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5.5.2 Calcul du volume d’un solide de révolution
Un solide de révolution est un solide dont la surface extérieure est générée par une courbe tournant autour d’un axe, nous en connaissons plusieurs : le cône, le cylindre, la sphère …
Les courbes générant ces solides « par rotation » autour de l’axe 𝑥 sont représentées ci-dessous :
Nous pouvons en calculer le volume grâce aux formules de géométrie :
Solide Cylindre Cône Sphère
Rayon 𝑅 2 2 2
Longueur 𝐿 4 4 /
Volume 𝑉‡‡
𝑉 = 𝜋𝑅2𝐿 = 16𝜋 ≈ 50.3
𝑉 =𝜋𝑅2𝐿 3 =16𝜋
3 ≈ 16.8
𝑉 =4𝜋𝑅3 3 =32𝜋
3 ≈ 33.5
‡‡ On peut remarquer que le volume du cône vaut exactement le tiers de celui-du cylindre et que le volume de la sphère vaut exactement deux tiers du volume du cylindre.
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On pourrait aussi vouloir calculer le volume d’une poire, d’une bouteille ou encore d’un djembé.
Pour ces applications nous ne disposons pas d’une formule de géométrie, comme pour les cônes, sphères et cylindres. Néanmoins, si nous possédons l’expression analytique de la fonction 𝑓(𝑥) esquissant le profil de l’objet (voir ci-dessous), il est possible de calculer son volume en utilisant l’intégration.
Prenons l’exemple de la fonction du second degré étudiée au point 5.2, étudions le solide de révolution généré par la rotation de autour de l’axe 𝑥 de la portion de parabole comprise entre 𝑥 = 1 et 𝑥 = 2. Voyons comment calculer son volume.
𝒇(𝒙)
𝒇(𝒙)
𝒇(𝒙)
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De façon similaire à ce que nous avons fait pour calculer l’aire sous la courbe à l’aide de rectangles, nous pouvons découper le volume d’un solide de révolution en tranches cylindriques :
Le solide de révolution, ici un paraboloïde, peut être approché par un empilement de cylindres de hauteur 𝑑𝑥 et de rayon 𝑓(𝑥). Etudions les dimensions des cylindres, prenons par exemple le plus petit:
Chaque cylindre a une épaisseur de longueur 𝑑𝑥, et le rayon 𝑟 de sa base est 𝑓(𝑥). On calcule l’aire 𝐴 de la base avec la formule de l’aire d’un disque 𝐴 = 𝜋𝑟². Ici on a donc 𝐴 = 𝜋𝑓(𝑥)². Le volume 𝑉𝑐𝑦𝑙 d’un cylindre vaut l’aire de sa base multipliée par sa hauteur, on a donc :
𝑉𝑐𝑦𝑙= 𝐴. 𝑑𝑥 = 𝜋𝑓(𝑥)²𝑑𝑥
𝒇(𝒙
)
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On a vu que l’aire sous un graphe est égale à une somme de rectangles d’aire 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 dont la longueur de la base 𝑑𝑥 tend vers 0 (voir point 5.2). De façon similaire, le volume 𝑉 du solide de révolution est égal à la somme des volumes des cylindres de volume 𝜋𝑓(𝑥)²𝑑𝑥 dont l’épaisseur 𝑑𝑥 tend vers 0. Notons que le nombre de cylindres à considérer augmente au fur et à mesure que leur épaisseur 𝑑𝑥 diminue.
On traduit cette observation sous forme d’intégrale comme suit : 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)²𝑑𝑥
𝑏 𝑎
Où 𝑽 est le volume du solide de révolution généré par la rotation du graphe de la fonction 𝑓 autour de l’axe 𝑥, sur l’intervalle [𝑎, 𝑏].
Calculons le volume du paraboloïde engendré par la rotation de la fonction du second degré d’équation 𝑓(𝑥) = 𝑥² entre les abscisses 𝑥 = 1 et 𝑥 = 2 :
𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑥2)2𝑑𝑥 =
2 1
𝜋 ∫ 𝑥4 𝑑𝑥
2 1
𝐹(𝑥) =𝑥5
5 est une primitive de 𝑥4, et on a donc avec la formule du point 5.5.1 : 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑥4 𝑑𝑥
2 1
= 𝜋. (𝐹(2) − 𝐹(1)) = 𝜋. (25 5 −15
5) =31𝜋 5
Exercice 8 (P2 : Appliquer) Vérifie par intégration les volumes des trois solides de révolution (cylindre, cône et sphère) calculés à l’aide de formules de géométrie dans l’introduction de ce paragraphe.
Solide Cylindre Cône Sphère
Volume 𝑉 𝑉 = 16𝜋 𝑉 =16𝜋
3 𝑉 =32𝜋
3
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Solide Cylindre Cône Sphère
Expression
analytique de 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) = 2 𝑓(𝑥) =𝑥
2 𝑓(𝑥) = √4 − (𝑥 − 2)2 Calcul du volume du cylindre :
Calcul du volume du cône :
Calcul du volume de la sphère :
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5.5.3 Calcul du volume d’un solide de révolution « creux » On peut utiliser la formule du point
précédent pour calculer le volume 𝑉𝑐𝑟𝑒𝑢𝑥 engendré par la révolution autour de l’axe 𝑥 de la surface comprise entre deux courbes.
La surface représentée ci-dessous se situe entre les graphes des fonctions 𝑓(𝑥) = 𝑥2 et 𝑔(𝑥) =𝑥
2 et est comprise entre les abscisses 𝑥 = 1 et 𝑥 = 2. Elle est représentée avec le solide de révolution qu’elle engendre selon deux angles de vue différents ci-contre.
On peut remarquer ci-dessous que ce solide correspond au solide engendré par la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥² auquel on aurait soustrait le solide engendré par la fonction 𝑔(𝑥) =𝑥
2 .
Plus généralement, le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe 𝑥 de la surface située entre les graphes de 𝑓 et 𝑔 ; entre les abscisses 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏 est égal à :
𝑉𝑐𝑟𝑒𝑢𝑥= 𝑉𝑓− 𝑉𝑔 = 𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)2𝑑𝑥
𝑏 𝑎
− 𝜋 ∫ 𝑔(𝑥)²𝑑𝑥
𝑏 𝑎
Et finalement :
𝑉𝑐𝑟𝑒𝑢𝑥= 𝜋 ∫ (𝑓(𝑥)2− 𝑔(𝑥)²) 𝑑𝑥
𝑏 𝑎
𝒇(𝒙) = 𝒙²
𝒈(𝒙) =𝒙 𝟐
𝒇(𝒙) = 𝒙²
𝒈(𝒙) =𝒙 𝟐
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Exercice 9 (P2 : Appliquer)
a. Calcule le volume du solide de l’exemple introductif de la page précédente, c’est-à-dire le volume du solide « creux » engendré par la surface entre les fonctions f(x) = x² et g(x) =
x
2 entre les abscisses x = 1 et x = 2.
b. Calcule le volume des 2 objets obtenus par la révolution des surfaces représentées ci- dessous.
