• Aucun résultat trouvé

S’entrainer plus sur les intégrales et commencer les révisions

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "S’entrainer plus sur les intégrales et commencer les révisions"

Copied!
3
0
0

Texte intégral

(1)

TS -Lycée Desfontaines Chap.9: Calcul intégral

S’entrainer plus sur les intégrales et commencer les révisions

Exercice 1 :Asie, juin 2005 (Intégrale et révision sur les suites, démo par récurrence . . .)

On s’intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers e2. On définit, pour tout entier natureln>1, l’intégrale

In = Z 2

0

1

n!(2−x)nexdx.

1. Calculer I1.

2. Établir que pour tout entier natureln>1, 06In6 2n

n! e2−1 .

3. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel n>1, In+1=In− 2n+1 (n+ 1)!. 4. Démontrer par récurrence que e2= 1 + 2

1!+22

2! +· · ·+2n n! +In. 5. On pose, pour tout entier natureln>1, un= 2n

n!. (a) Calculer un+1

un

et prouver que pour tout entier natureln>3, un+161 2un. (b) En déduire que pour tout entier natureln>3, 06un6u3

1 2

n−3 . 6. En déduire la limite de la suite(un)puis celle de la suite(In).

7. Justifier enfin que :

e2= lim

n→+∞

1 + 2

1!+22

2! +· · ·+2n n!

.

Exercice 2 :Nouvelle Calédonie, mars 2005 (Intégrale et révision sur le log népérien )

Le plan est rapporté à un repère orthonormal(O;~ı, ~).

Soitf la fonction définie sur]−1 ; +∞[par :f(x) =x2−2,2x+ 2,2 ln(x+ 1)

1. Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre −26x64, −56y65.

Reproduire sur la copie l’allure de la courbe obtenue grâce à la calculatrice.

2. D’après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer : (a) Sur les variations de la fonctionf?

(b) Sur le nombre de solutions de l’équationf(x) = 0? 3. On se propose maintenant d’étudier la fonctionf

(a) Étudier le sens de variation de la fonctionf

(b) Étudier les limites de la fonctionf en−1et en +∞, puis dresser le tableau de variations def. (c) Déduire de cette étude, en précisant le raisonnement, le nombre de solutions de l’équationf(x) = 0.

(d) Les résultats aux questions3. a.et3. c. confirment-ils les conjectures émises à la question2.? 4. On veut représenter, sur l’écran d’une calculatrice, la courbe représentative de la fonctionf sur l’intervalle

[−0,1 ; 0,2], de façon à visualiser les résultats de la question3..

(a) Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnéey proposez-vous pour mettre en évidence les résultats de la question3. c.dans la fenêtre de votre calculatrice ?

(b) À l’aide de la calculatrice déterminer une valeur approchée par défaut à10−2 près de la plus grande solutionαde l’équation f(x) = 0.

C.Gontard-C.David-H.Meillaud 1/3 Exos

(2)

TS -Lycée Desfontaines Chap.9: Calcul intégral

5. SoitF la fonction définie sur]−1 ; +∞[par F(x) = 1

3x3−1,1x2−2,2x+ 2,2(x+ 1) ln(x+ 1).

(a) Démontrer queF est une primitive def sur]−1 ; +∞[.

(b) Interpréter graphiquement l’intégrale Z α

0

f(x)dx.

(c) Calculer Z α

0

f(x)dxet exprimer le résultat sous la formebα3+cα2 (bet créels).

Exercice 3 :Asie, juin 2003 (Intégrale et révisions sur le log népérien, le TVI . . .)

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal(O;~ı, ~).

Partie A

Soitf la fonction définie sur]0 ; +∞[parf(x) = 1 + 2 lnx x2 ..

Soit (C) la courbe représentative def et soit (C) celle de la fonctionhdéfinie sur ]0 ; +∞[parh(x) = 1 x. 1. Déterminer les limites def en 0 et en+∞. En déduire que (C) a deux asymptotes que l’on déterminera.

2. Calculer la dérivéef def et étudier les variations def.

3. Soit I le point d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses. Déterminer les coordonnées de I.

4. Pour toutxde]0 ; +∞[, on poseg(x) = 1−x+ 2 lnx.

(a) Etudier les variations de la fonctiong.

(b) Montrer que l’équationg(x) = 0 admet une solution unique dans chacun des intervalles ]0 ; 2[ et ]2 ; 4[. Soitαla solution appartenant à]2; 4[. Donner un encadrement de αd’amplitude10−2. 5. (a) Montrer quef(x)−1

x =g(x)

x2 et en déduire que (C) et (C) se coupent en deux points.

(b) Montrer que, pour tout réelxsupérieur ou égal à 4, la double inégalité suivante est vraie : 0< f(x)6 1

x. 6. Tracer (C) et (C).

Partie B

1. SoitDla partie du plan définie par les inégalités suivantes :

16 x 6α (α est le réel défini dans la partie A) 06 y 6f(x)

(a) Déterminer l’aire deD, notéeA(α), en unités d’aire (on utilisera une intégration par parties).

(b) Montrer queA(α) = 2− 2

α et donner une valeur approchée de A(α)à10−2prés.

2. Soit la suite (In)définie pournsupérieur ou égal à 1 par : In =

Z n+1

n

f(x)dx.

(a) Montrer que, pour toutnsupérieur ou égal à 4, la double inégalité suivante est vraie : 06In6ln

n+ 1 n

. (b) En déduire que la suite(In)converge et déterminer sa limite.

(c) SoitSn=I1+I2+I3+· · ·+In. CalculerSn puis la limite de la suite(Sn).

C.Gontard-C.David-H.Meillaud 2/3 Exos

(3)

TS -Lycée Desfontaines Chap.9: Calcul intégral

Partie C

On considère, pour toutnsupérieur ou égal à 1, la fonctionfn, définie sur]0 ; +∞[par fn(x) = 1 + 2 lnx

x2n . 1. Calculer la dérivéefn de la fonctionfn.

2. Résoudre l’équationfn(x) = 0. Soitxn la solution de cette équation.

3. Déterminer la limite de la suite(xn).

C.Gontard-C.David-H.Meillaud 3/3 Exos

Références

Documents relatifs

On estime que chaque mois, 10% des pro- priétaires cessent de l’utiliser mais on compte 24 000 nouveaux utilisateurs.. On estime que chaque mois, 10% des pro- priétaires cessent

[r]

Quelles quantités de microprocesseurs et de cartes mères, l’entreprise doit-elle produire chaque mois pour minimiser le coût mensuel de production.. Quel est

D’après la question précédente en produisant 500 microprocesseurs et 1 500 cartes mères le coût de production minimal sera de 5 250

On admet que la fonction f modélise l’évolution du prix de cette matière première sur la période 1998–2008.. Selon ce modèle, quel serait le prix d’une tonne de matière

On compte ainsi 36 400 pièces fabriquées les 3 premières années, puis 52 416 pièces fabriquées les 3 dernières années.. Quelle est la nature de la suite obtenue ?, et donner

L’espace est rapporté au repère orthonormé direct

Mathématiques Devoir n°1:. les complexes et les