TS -Lycée Desfontaines Chap.9: Calcul intégral
S’entrainer plus sur les intégrales et commencer les révisions
Exercice 1 :Asie, juin 2005 (Intégrale et révision sur les suites, démo par récurrence . . .)
On s’intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers e2. On définit, pour tout entier natureln>1, l’intégrale
In = Z 2
0
1
n!(2−x)nexdx.
1. Calculer I1.
2. Établir que pour tout entier natureln>1, 06In6 2n
n! e2−1 .
3. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel n>1, In+1=In− 2n+1 (n+ 1)!. 4. Démontrer par récurrence que e2= 1 + 2
1!+22
2! +· · ·+2n n! +In. 5. On pose, pour tout entier natureln>1, un= 2n
n!. (a) Calculer un+1
un
et prouver que pour tout entier natureln>3, un+161 2un. (b) En déduire que pour tout entier natureln>3, 06un6u3
1 2
n−3 . 6. En déduire la limite de la suite(un)puis celle de la suite(In).
7. Justifier enfin que :
e2= lim
n→+∞
1 + 2
1!+22
2! +· · ·+2n n!
.
Exercice 2 :Nouvelle Calédonie, mars 2005 (Intégrale et révision sur le log népérien )
Le plan est rapporté à un repère orthonormal(O;~ı, ~).
Soitf la fonction définie sur]−1 ; +∞[par :f(x) =x2−2,2x+ 2,2 ln(x+ 1)
1. Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre −26x64, −56y65.
Reproduire sur la copie l’allure de la courbe obtenue grâce à la calculatrice.
2. D’après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer : (a) Sur les variations de la fonctionf?
(b) Sur le nombre de solutions de l’équationf(x) = 0? 3. On se propose maintenant d’étudier la fonctionf
(a) Étudier le sens de variation de la fonctionf
(b) Étudier les limites de la fonctionf en−1et en +∞, puis dresser le tableau de variations def. (c) Déduire de cette étude, en précisant le raisonnement, le nombre de solutions de l’équationf(x) = 0.
(d) Les résultats aux questions3. a.et3. c. confirment-ils les conjectures émises à la question2.? 4. On veut représenter, sur l’écran d’une calculatrice, la courbe représentative de la fonctionf sur l’intervalle
[−0,1 ; 0,2], de façon à visualiser les résultats de la question3..
(a) Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnéey proposez-vous pour mettre en évidence les résultats de la question3. c.dans la fenêtre de votre calculatrice ?
(b) À l’aide de la calculatrice déterminer une valeur approchée par défaut à10−2 près de la plus grande solutionαde l’équation f(x) = 0.
C.Gontard-C.David-H.Meillaud 1/3 Exos
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5. SoitF la fonction définie sur]−1 ; +∞[par F(x) = 1
3x3−1,1x2−2,2x+ 2,2(x+ 1) ln(x+ 1).
(a) Démontrer queF est une primitive def sur]−1 ; +∞[.
(b) Interpréter graphiquement l’intégrale Z α
0
f(x)dx.
(c) Calculer Z α
0
f(x)dxet exprimer le résultat sous la formebα3+cα2 (bet créels).
Exercice 3 :Asie, juin 2003 (Intégrale et révisions sur le log népérien, le TVI . . .)
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal(O;~ı, ~).
Partie A
Soitf la fonction définie sur]0 ; +∞[parf(x) = 1 + 2 lnx x2 ..
Soit (C) la courbe représentative def et soit (C′) celle de la fonctionhdéfinie sur ]0 ; +∞[parh(x) = 1 x. 1. Déterminer les limites def en 0 et en+∞. En déduire que (C) a deux asymptotes que l’on déterminera.
2. Calculer la dérivéef′ def et étudier les variations def.
3. Soit I le point d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses. Déterminer les coordonnées de I.
4. Pour toutxde]0 ; +∞[, on poseg(x) = 1−x+ 2 lnx.
(a) Etudier les variations de la fonctiong.
(b) Montrer que l’équationg(x) = 0 admet une solution unique dans chacun des intervalles ]0 ; 2[ et ]2 ; 4[. Soitαla solution appartenant à]2; 4[. Donner un encadrement de αd’amplitude10−2. 5. (a) Montrer quef(x)−1
x =g(x)
x2 et en déduire que (C) et (C′) se coupent en deux points.
(b) Montrer que, pour tout réelxsupérieur ou égal à 4, la double inégalité suivante est vraie : 0< f(x)6 1
x. 6. Tracer (C) et (C′).
Partie B
1. SoitDla partie du plan définie par les inégalités suivantes :
16 x 6α (α est le réel défini dans la partie A) 06 y 6f(x)
(a) Déterminer l’aire deD, notéeA(α), en unités d’aire (on utilisera une intégration par parties).
(b) Montrer queA(α) = 2− 2
α et donner une valeur approchée de A(α)à10−2prés.
2. Soit la suite (In)définie pournsupérieur ou égal à 1 par : In =
Z n+1
n
f(x)dx.
(a) Montrer que, pour toutnsupérieur ou égal à 4, la double inégalité suivante est vraie : 06In6ln
n+ 1 n
. (b) En déduire que la suite(In)converge et déterminer sa limite.
(c) SoitSn=I1+I2+I3+· · ·+In. CalculerSn puis la limite de la suite(Sn).
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Partie C
On considère, pour toutnsupérieur ou égal à 1, la fonctionfn, définie sur]0 ; +∞[par fn(x) = 1 + 2 lnx
x2n . 1. Calculer la dérivéefn′ de la fonctionfn.
2. Résoudre l’équationfn′(x) = 0. Soitxn la solution de cette équation.
3. Déterminer la limite de la suite(xn).
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