UE : Math 4
Mémento sur les intégrales impropres
1. Soit f une fonction réelle et continue sur l’intervalle [a,+∞[. Par définition et sous réserve
d’existence, Z +∞
a
f(t)dt= lim
x→+∞
Z x
a
f(t)dt
Si cette limite existe l’intégrale converge, sinon elle diverge. Convergence ou divergence représentent lanature de l’intégrale.
Dans la plupart des cas, on ne calcule pas explicitement l’intégrale. On dispose d’outils pour conclure sur la nature de cette intégrale.
Remarque: Sib > a, les intégralesR+∞
a f(t)dt etR+∞
b f(t)dtsont de même nature, si bien que pour conclure sur R+∞
a f(t)dt on étudiera souventR+∞
b f(t)dtpour un b bien choisi.
2. Intégrales de Riemann, intégrales «prototypes»
Soita etαdeux nombres réels tels que a >0, alors l’intégrale impropre : Z +∞
a
dt tα
• converge si α >1;
• diverge siα≤1.
3. Comparaison des intégrales
Soitf etg sont deux fonctions, définies et continues sur[a,+∞[, telles que0≤f(t)≤g(t)pour toutt≥a. Pour toutx≥a, on a :
0≤ Z x
a
f(t)dt≤ Z x
a
g(t)dt.
De plus, commef(t)≥0pourt≥a, la fonctionx7→Rx
a f est croissante sur[a,+∞[donc, quand x tend vers+∞, ou bien elle converge, ou bien elle diverge vers +∞. De même pourg, d’où : Lemme (1):
• SiR+∞
a g(t)dt converge alorsR+∞
a f(t)dt converge ;
• SiR+∞
a f(t)dt diverge alorsR+∞
a g(t)dt diverge.
4. Convergence absolue
Soitf une fonction définie et continue sur[a,+∞[. On dit que l’intégraleR+∞
a f(t)dtconverge absolumentsi l’intégrale R+∞
a |f(t)|dt converge.
Lemme (2):Une intégrale absolument convergente est convergente.
Attention, la réciproque est fausse! 5. Utilisation des équivalents
Sif est une fonction à valeurspositives sur[a,+∞[et sif etg sont équivalentes au voisinage de l’infini :
f(t) ∼
t→+∞g(t), alorsR+∞
a f(t)dt etR+∞
a g(t)dt sont de même nature.
1
6. Sif une fonction réelle et continue sur l’intervalle]− ∞, a], par définition et sous réserve d’exis-
tence, Z a
−∞
f(t)dt= lim
x→−∞
Z a
x
f(t)dt
7. IntégralesRb
af(t)dt où f est une fonction définie continue sur l’intervallesemi-ouvert ]a, b].
1. Si la fonctionRb f admet une limite enaalors, en prolongeantfpar continuité ena, l’intégrale
af(t)dt se ramène à l’intégrale d’une fonction définie continue sur l’intervalle fermé[a, b].
2. Si la fonctionf n’admet pas de limite enaalors, par définition et sous réserve d’existence, Z b
a
f(t)dt= lim
x→a+
Z b
x
f(t)dt.
On utilise alors des méthodes analogues à celles passées en revue ci-dessus.
3. Donnez une condition nécessaire et suffisante sur α pour qu’il y ait convergence de l’inté-
grale : Z a
0
dt tα, où aest un nombre réel positif.
(faites un changement de variable!)
8. Intégrales impropres de fonctions à valeurs complexes
Sif est continue sur l’intervalle[a,+∞[et à valeurs dansC, on peut définir comme précédem- ment, sous réserve d’existence :
Z ∞
a
f(t) dt= lim
x→∞
Z x
a
f(t) dt.
Ceci équivaut à dire que les intégrales suivantes (à valeurs réelles) convergent : Z ∞
a
Re(f(t))dt et Z ∞
a
Im(f(t))dt.
De plus, en cas de convergence, Z ∞
a
f(t) dt= Z ∞
a
Re(f(t))dt+i Z ∞
a
Im(f(t))dt.
On dispose également de la notion de convergence absolue (en utilisant le module au lieu de la valeur absolue, ce qui s’écrit de la même manière), et le lemme (2) reste vrai :
Lemme (2’) : Si l’intégrale (à valeurs réelles positives) R∞
a |f(t)|dt converge, alors l’intégrale (à valeurs complexes)R∞
a f(t) dt converge.
Enfin, tout ceci vaut également pour l’intégration sur les autres types d’intervalle (]− ∞, a], ]a, b],...)
2
