EPFL 23 avril 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2006-2007
Série 20
L’exercice ?? est à rendre le 30 avril au début de la séance d’exercices.
Exercice 1 Soit V = R2 muni du produit scalaire euclidien, T ∈ L(R2) et S ∈ L(R2) définis par :
T(x, y) = (x+y, x−y) S(x, y) = (2x+ 3y, x−2y).
Calculer les adjoints de S et T et déterminer si S et T sont auto-adjoints.
Exercice 2 Soit V = {f : R → R infiniment d´erivable et 2π p´eriodique }. On munit V du produit scalaire défini par
hf, gi= Z Π
−Π
f(t)g(t)dt.
Soit T :V →V l’application linéaire définie par : T(f) = f0. Calculer l’adjoint de T.
Exercice 3 (Suite de l’exercie 2 de la série 17 et exercice 1 de la série 18)
Soit V = P2(R). On considère le produit scalaire défini pour P et Q dans V, de la manière suivante :
φ(P, Q) =
2
X
k=0
P(k)Q(k)
et T :V →V l’application linéaire définie par T(P) =P0. Déterminer l’adjoint de T.
Exercice 4 SoientV un espace vectoriel hermitien, T ∈ L(V)auto-adjoint et x∈V. Montrer que
|hx, T(x)i|2 ≤ hx, T2(x)i||x||2.
Exercice 5 (Plus difficile !)
Soit V un espace préhilbertien, T ∈ L(V) admettant un adjoint T∗ et tel que
∀v ∈V ||T(v)|| ≤ ||v||.
Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : 1. ∀w∈V, T∗◦T(w) =w
2. ∀w∈V, hT∗◦T(w)−w, wi= 0.
Exercice 6 Soit V un espace préhilbertien,T ∈ L(V) admettant un adjoint T∗. Montrer que : Ker(T∗◦T) = Ker(T)
Ker(T ◦T∗) = Ker(T∗).
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