EPFL 14 avril 2008 Algèbre linéaire
1ère année 2007-2008
Série 20
L'exercice 1 est à rendre le 21 avril au début de la séance d'exercices.
Le symbole F désigne soit R, soit C, et V un F-espace vectoriel de dimension nie, muni d'un produit scalaire h−,−i: V ×V →F arbitraire. Les espaces vectorielsFn (n≥1) sont supposés munis du produit scalaire usuel.
Exercice 1. Soit T =TA∈L(R3)l'opérateur linéaire associé à la matrice A=
5 −1 2
−1 5 2
2 2 2
.
Déterminer une base orthonormée de R3 formée de vecteurs propres deT et interpréter géomé- triquement l'opérateur T.
Exercice 2. Soit T ∈L(V) et k un entier positif. Montrer que (Tk)∗ = (T∗)k. Exercice 3. Soit T ∈L(V) un opérateur normal. Montrer que :
(a) ker(T) = ker(T∗) et im(T) = im(T∗);
(b) T∗◦Tk =Tk◦T∗ pour tout entier positifk; (c) Tk est normal pour tout entier positif k;
(d) ker(T) = ker(Tk) etim(T) = im(Tk) pour tout entier positif k.
Exercice 4. Montrer qu'il n'existe pas d'opérateur auto-adjointT ∈L(R3)tel queT(1,2,3) = (0,0,0) etT(2,5,7) = (2,5,7).
Exercice 5. Soient A, B des matrices réelles symétriques. Montrer queTA+iB est normal si et seulement si A et B commutent.
Exercice 6. SoitV unC-espace vectoriel et soitT ∈L(V). Montrer que siT est normal, alors T a une racine carré, c.-à-d. il existeS ∈L(V) tel que S◦S =T.
Exercice 7. Soit U un espace vectoriel réel de dimension nie et soitT ∈L(U). Montrer qu'il existe une base de U formée de vecteurs propres de T si et seulement s'il existe un produit scalaire sur U par rapport auquel T est auto-adjoint.
Exercice 8. Décomposition polaire.
(a) Soit R ∈ L(V) un opérateur auto-adjoint. On dit que R est déni positif si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. Montrer qu'il existe un et un seul opérateur S ∈ L(V) auto-adjoint et déni positif tel que R = S◦S. On appelle S la racine carrée positive de R.
(b) SoitT ∈L(V)bijectif. Montrer que l'opérateur auto-adjointT∗T est déni positif. (Consi- dérer hT∗T v, vi, où v est un vecteur propre de T∗T.)
(c) Soit S la racine carrée positive de T∗T. Montrer que S est inversible et que U :=T S−1 est une transformation orthogonale, i.e. que hU v, U wi = hv, wi pour tout v, w ∈ V. En déduire le résultat suivant :
Tout opérateur inversible T de V s'écrit d'une manière unique sous la forme T = U S avec U orthogonal et S auto-adjoint et déni positif.
