Série 20

EPFL 12 avril 2010 Algèbre linéaire

1ère année 2009-2010

Série 20

Dans cette série, le symbole F désigne soitR, soit C.

Les questions 1 et 2 de l’exercice 1 sont àrédiger soigneusement et à rendre le lundi 12 avril au début de la séance d’exercices.

Exercice 1. Soit V unF-espace vectoriel de dimension finie. Soient T ∈L(V) etp∈P(F).

1. Soit Bune base de V. Montrer que [p(T)]_B,B =p([T]_B,B).

2. Montrer que p(Spec(T))⊆Spec(p(T)), où p(Spec(T)) := {p(λ)|λ∈Spec(T)}.

3. Montrer que cette inclusion est une égalité si F=C.

4. Montrer que cette inclusion peut être stricte dans le cas où F=R, en considérant par exemple p=X²+ 1 etT :R² →R²,(x, y)7→(−y, x).

Exercice 2. Soit

A =





−1 2 0 2 2 0 1 2 2



 et B =





0 −2 2

−3 −1 −6

1 1 1



.

1. Calculer A⁵⁰.

2. Trouver une base C deC³ telle que [T_B]_C,C soit triangulaire supérieure.

Exercice 3. Soit T:P2(R)→P2(R)l’opérateur linéaire défini par

(T(q))(t) = (2t+ 1)q(t)−(t²−1)q⁰(t) ∀q∈P2(R).

1. Montrer que T est bien défini et diagonalisable.

2. Déterminer Tⁿ(q)pour q∈P2(R) etn∈N quelconques.

Exercice 4. Soit B = (v₁, . . . , v_n) une base de V et α ∈ F, et soit L ∈ L(V) définie par L(v_i) = αv_i+v_i+1 pour1≤i≤n−1 et L(v_n) = αv_n.

1. Donner la matrice [L]_B,B.

2. Calculer les valeurs propres et espaces propres de L.

3. Montrer que L n’est pas diagonalisable pour n >1.

Exercice 5. (facultatif )

1. Donner un exemple d’un opérateurT ∈L(R⁴)n’ayant aucune valeur propre. Cela est-il possible pour un opérateur T ∈L(R³)?

2. SoitV unR-espace vectoriel de dimension finie et T ∈L(V)n’ayant aucune valeur propre. Que peut-on dire sur la dimension de V ? Montrer que si U est un sous-espace T-invariant de V, alors la dimension de U est paire.

Exercice 6. (facultatif )

1. Soit D ∈ Mat(n;F) une matrice diagonale, D = diag(d₁, . . . , d_n). Soit A ∈ Mat(n, m;F) et B ∈Mat(l, n;F). Montrer que

D·A=







d₁·l₁(A) ... d_n·l_n(A)







oùl_i(A) est la i-ème ligne de A, et

B·D= d₁·c₁(B) . . . d_n·c_n(B)

oùci(B) est lai-ème colonne de B. Montrer que D^k = diag(d^k₁, . . . , d^k_n) pour tout k∈N. 2. Soient T, S ∈Mat(n;F) deux matrices triangulaires supérieures avec les valeurs t₁, . . . , t_n, res-

pectivements₁, . . . , s_n ∈ F sur la diagonale. Montrer queT ·S est triangulaire supérieure avec les valeurst₁s₁, . . . , t_ns_n sur la diagonale.