Corrigé de la série 20

(1)

EPFL

Algèbre linéaire 1ère année 2006-2007

Corrigé de la série 20

Correction exercice 1 On a :

hT(x, y),(x⁰, y⁰)i=h(x+y, x−y),(x⁰, y⁰)i= (x+y)x⁰ + (x−y)y⁰ =x(x⁰+y⁰) +y(x⁰ −y⁰)

=h(x, y),(x⁰+y⁰, x⁰−y⁰)i d’où T^∗(x⁰, y⁰) = (x⁰ +y⁰, x⁰ −y⁰).

De même, on montre que S^∗(x⁰, y⁰) = (2x⁰+y⁰,3x⁰−2y⁰).

Correction exercice 2 On sait que

(f(t)g(t))⁰ =f⁰(t)g(t) +f(t)g⁰(t).

D’où

hT(f), gi= Z π

−π

f⁰(t)g(t)dt = Z π

−π

((f(t)g(t))⁰−f(t)g⁰(t))dt= [f(t)g(t)]^π_−π − Z π

−π

f(t)g⁰(t)dt.

Par la pérodicité de f et g on a f(π) =f(−π) et g(π) =g(−π) d’où : hT(f), gi=−

Z π

−π

f(t)g⁰(t)dt.

Autrement dit : hT(f), gi=hf,−T(g)i et donc T^∗ =−T. Correction exercice 3

On a obtenue à la série 18 la base orthonormée de(V, φ) suivante :

B ={ 1

√3, 1

√2(x−1), r3

2(x²−2x+1 3)}

Comme T(^√¹

3) = 0, T(^√¹

2(x−1)) = ^√¹

2 et T(q

3

2(x²−2x+¹₃) =q

3

2(2x−2) = 2√ 3(^√¹

2(x−1)) on a

[T]B =





 0 q

3

2 0

0 0 2√ 3

0 0 0







On sait, d’après le cours que, pour une BASE ORTHONORMEE, [T^∗]_B = [T]^t_B, d’où

[T^∗]B =







0 0 0

q3

2 0 0

0 2√ 3 0







1

(2)

Correction exercice 4

D’après l’inégalité de Cauchy Schwarz

|hx, T(x)i|² ≤ ||x||²||T(x)||² =||x||²hT(x), T(x)i=||x||²hx, T^∗◦T(x)i=||x||²hx, T²(x)i.

Correction exercice 5 – 1⇒2 évident

– 2⇒1 Supposons que

∀w ∈V, hT^∗ ◦T(w)−w, wi= 0.

Alors

∀w∈V, ||T(w)||² =hT(w), T(w)i=hT^∗◦T(w), wi=hw, wi=||w||² (1) où l’égalité hT^∗◦T(w), wi=hw, wi découle de 2.

On a

||T^∗(w)||² =hT^∗(w), T^∗(w)i=hw, T ◦T^∗(w)i ≤ ||w||.||T ◦T^∗(w)||=||w||.||T^∗(w)||

où l’inégalité découle de l’inégalité de Cauchy Schwarz et la dernière égalité découle de (1) appliquée à T^∗(w) d’où

∀w∈V, ||T^∗(w)|| ≤ ||w||. (2)

Enfin

||T^∗ ◦T(w)−w||² =||T^∗◦T(w)||²−2||T(w)||²+||w||² =||T^∗◦T(w)||²− ||T(w)||²

= (||T^∗◦T(w)||+||T(w)||)(||T^∗◦T(w)|| − ||T(w)||) où la deuxième égalité découle de (1).

On déduit de (2), appliqué à T(w), que ||T^∗◦T(w)|| − ||T(w)|| ≤0. Comme ||T^∗◦T(w)||+

||T(w)|| ≥0 on obtient que

∀w∈V, ||T^∗◦T(w)−w||² ≤0.

D’où

∀w∈V, ||T^∗◦T(w)−w||² = 0 et donc ∀w∈V, T^∗◦T(w) =w.

Correction exercice 6

L’inclusion Ker(T)⊂Ker(T^∗◦T) est évidente.

Soit x∈Ker(T^∗◦T) on a

||T(x)||² =hT(x), T(x)i=hx, T^∗◦T(x)i=hx,0i= 0 et donc x∈Ker(T). D’où l’égalité.

Si T admet un adjoint alors, d’aprés le cours, T^∗ admet un adjoint et (T^∗)^∗ =T donc Ker(T ◦T^∗) =Ker((T^∗)^∗ ◦T^∗) = Ker(T^∗)

en utilisant le première égalité.

2