/20 Corrigé

(1)

IPSA | DS de transfert thermique n° 1 du 24 octobre 2020

1/8

SUJET D’EXAMEN Année universitaire 2020-2021 Classe : Aéro-3

Type d’examen : DS 1 Matière : Transfert thermique Code matière : En 311 Date : 24 octobre 2020 Horaire :

Durée : 1 h

Enseignant : Bouguechal / Gomit / Kasraoui Calculatrices autorisées : OUI

Documents : NON

CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT :

Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution.

Le barème est donné à titre indicatif.

Rédigez directement sur la copie.

Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice 1: /5,0 Exercice 2 : /8 Exercice 3 : /8

CADRE RÉSERVÉ A L’ETUDIANT(E) :

Merci de compléter ce cadre et votre numéro en haut de page à gauche :

NOM : Prénom : Classe :

/20 ^Corrigé

(2)

2/8

Exercice 1 : Dimension de grandeurs et conversion d’unités (5,0 points)

La dimension des grandeurs fondamentales sont L, M, T, I, θ, N et J.

Donner la dimension des grandeurs suivantes :

Grandeurs Dimensions

Vitesse v (m/s)

LT

^-1 _0,25

Accélération a (m/s²)

LT

^-2 _0,25

Force F (N)

LMT

^-2 _0,25

Pression P(Pa)

L

^-1

MT

^-2 _0,25

Puissance P(W)

L

²

MT

^-3 _0,25

Masse volumique ρ (kg/m³)

L

^-3

M

0,25 Energie cinétique Ec

(J)

L

²

MT

^-2

0,25

Travail (J)

L

²

MT

^-2 _0,25

Viscosité dynamique

η(Pa.s)

L

^-1

MT

^-1

0,5 Chaleur massique

c(J.kg^-1.°C^-1)

L

²

T

^-2

θ

^-1

0,5 Conductivité

thermique (W.m^-1.°C^-1)

LMT

^-3

θ

^-1

0,5

Convertir :

Ecrire sous forme de puissance de 10.

0,1 cm = 10^-3 m 0,1 cm² = 10^-5m² 1 L = 10^-3m³ 0,5

10 dm = 1 m 10 dm² = 10^-1 m² 1 cm³ = 10^-6m³ 0,5

0,1 mm = 10^-4 m 1 mm² = 10^-6m² 1 dm³ = 10^-3m³ 0,5

(3)

3/8

Exercice 2 : Recherche d’un nombre sans dimension (8,0 points)

Un fluide, liquide ou gaz, est caractérisé par ses propriétés physiques : sa masse volumique ρ, sa viscosité dynamique η, sa capacité thermique ou chaleur massique c et sa conductivité thermique λ. On recherche un nombre sans dimension π qui dépend de ces grandeurs, ce nombre s’écrit donc :

𝝅 = 𝒌 𝜼

^𝒂

𝒄

^𝒃

𝝀

^𝒄

𝝆

^𝒅

Avec k nombre sans dimension, qu’on prendra égal à 1.

a) Déterminer la dimension de chaque grandeur de la formule.

b) En déduire le système d’équations qui permet de déterminer les constantes a, b, c et d.

c) Montrer que ce nombre π ne dépend pas de la masse volumique.

d) Résoudre le système en fonction de a et donner l’expression de

𝝅.

e) Donner une expression simplifiée de ce nombre. Que représente-t-il ?

Réponse :

𝝅 = 𝒌 𝜼

^𝒂

𝒄

^𝒃

𝝀

^𝒄

𝝆

^𝒅

a) Dimensions de chaque grandeur :

[𝒌] = 𝟏

[𝝅] = 𝟏 ; [𝜼] = 𝐋

^−𝟏

𝐌𝐓

^−𝟏

; [𝒄] = 𝐋

^𝟐

𝐓

^−𝟐

𝛉

^−𝟏

; 𝝀 = 𝐋𝐌𝐓

^−𝟑

𝛉

^−𝟏

; [𝝆] = 𝐋

^−𝟑

𝐌

Voir exercice 1.

b) Système d’équations :

[𝝅] = [𝒌] [𝜼

^𝒂

][𝒄

^𝒃

][𝝀

^𝒄

][𝝆

^𝒅

]

𝟏 = 𝑳

^𝟎

𝑴

^𝟎

𝑻

^𝟎

𝜽

⁰

= (𝐋

^−𝟏

𝐌𝐓

^−𝟏

)

^𝒂

(𝐋

^𝟐

𝐓

^−𝟐

𝛉

^−𝟏

)

^𝒃

(𝐋𝐌𝐓

^−𝟑

𝛉

^−𝟏

)

^𝒄

(𝐋

^−𝟑

𝐌)

^𝒅

𝟏 = 𝑳

^𝟎

𝑴

^𝟎

𝑻

^𝟎

𝜽

⁰

= 𝑳

^{−𝒂+𝟐𝒃+𝒄−𝟑𝒅}

𝑴

^{𝒂+𝒄+𝒅}

𝑻

^{−𝒂−𝟐𝒃−𝟑𝒄}

𝜽

^{−𝒃−𝒄}

{

−𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 − 𝟑𝒅 = 𝟎 (𝟏) 𝒂 + 𝒄 + 𝒅 = 𝟎 (𝟐)

−𝒂 − 𝟐𝒃 − 𝟑𝒄 = 𝟎 (𝟑)

−𝒃 − 𝒄 = 𝟎 (𝟒)

c) Solutions : on commence par l’équation (4), ensuite (3) enfin (2).

{

𝒅 = 𝟎 (𝟏) 𝒅 = 𝟎 (𝟐) 𝒂 = 𝒃 (𝟑) 𝒃 = −𝒄 (𝟒)

d = 0 , et donc la masse volumique n’intervient pas dans le nombre sans dimension.

d) b =a c = -a et d= 0 et 𝝅 = 𝒌 𝜼

^𝒂

𝒄

^𝒂

𝝀

^−𝒂

= 𝒌 (

^𝜼𝒄

𝝀

)

^𝒂

0,5 * 4

0,5 * 2

0,5 * 4 0,5 * 2

(4)

4/8

e) On peut écrire le nombre sans dimension sous sa forme la plus simple, en prenant les constantes sans dimension qui ne représentent aucune grandeur physique égaux à 1.

𝒌 = 𝟏

𝒂 = 𝟏 𝜼𝒄

C’est le nombre de Prandtl.

𝝀

0,5 * 2

(5)

5/8

Exercice 3 : Convection forcée à l’intérieur d’un tube (8,0 points)

On considère un tuyau de forme cylindrique de diamètre D = 20 mm dans lequel circule de l’eau chaude avec un débit volumique qv = 0.5 L/s.

La température du fluide à l’intérieur du tuyau loin de la paroi est T∞ = 50°C et la température de la paroi de Tp =20°C.

Le but de cet exercice est de déterminer le flux de chaleur échangé par mètre de longueur.

1) Faire une figure comportant toutes les données.

2) Déterminer la relation entre le débit volumique et la vitesse du fluide. Déterminer la vitesse d’écoulement du fluide.

Rappel : 1L = 1dm³

3) A quelle température faut-il prendre les différentes caractéristiques du fluide.

4) Calculer le nombre de Reynolds Re et le nombre de Prandtl Pr.

𝑹𝒆 = 𝝆𝒗𝑫

𝜼 𝑷𝒓 = 𝜼𝒄_𝒑

𝝀 𝑵𝒖 =𝒉𝑫 𝝀 5) Dans notre cas la corrélation utilisée est celle de Colburn :

𝑵𝒖 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑 𝑹𝒆^𝟎,𝟖 𝑷𝒓^{𝟎,𝟑𝟑}

Déterminer le nombre de Nusselt et en déduire le coefficient de convection h.

6) Déterminer le flux échangé par le fluide par unité de longueur.

Attention à lecture du tableau : A 20°C : Viscosité η = 993,414 10^-6 Pa.s

(6)

6/8

Réponse : 1) Figure

2) Débit volumique qV : m³/S = m² m/s On peut retrouver la formule avec les unités !

𝒒

_𝒗

= 𝑽

𝒕 = 𝑺. 𝒍

𝒕 = 𝒗𝑺 𝒗 = 𝒒

_𝒗

𝑺 = 𝟎, 𝟓 𝟏𝟎

^−𝟑

𝝅 ∗ ( 𝟐𝟎 𝟏𝟎

^−𝟑

𝟐 )

𝟐

= 𝟏, 𝟓𝟗 𝒎/𝒔

3) Il faut prendre les caractéristiques du fluide à la température moyenne.

T = (Tp+ T∞) / 2 = (50+20) / 2 = 35 °C 4) Calcul du nombre de Reynolds

𝑹𝒆 = 𝝁𝑫𝑽

𝜼 = 𝟗𝟗𝟒, 𝟏 ∗ 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎

^−𝟑

∗ 𝟏, 𝟓𝟗

𝟕𝟏𝟗, 𝟖𝟎𝟖 ∗ 𝟏𝟎

^−𝟔

= 𝟒, 𝟒 ∗ 𝟏𝟎

^𝟒

Calcul de nombre de Prandtl

𝑷𝒓 = 𝜼𝒄_𝒑 𝝀 =

𝑷𝒓 = 𝜼𝒄

𝝀 = 𝟕𝟏𝟗, 𝟖𝟎𝟖 𝟏𝟎

^−𝟔

∗ 𝟒, 𝟏𝟕𝟓 𝟏𝟎

³

𝟎, 𝟔𝟐𝟒 = 𝟒, 𝟖𝟏

5) Détermination du nombre de Nusselt : Nu

𝑵𝒖 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑 𝑹𝒆

^𝟎,𝟖

𝑷𝒓

^{𝟎,𝟑𝟑}

𝑵𝒖 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑 (𝟒, 𝟒 𝟏𝟎

^𝟒

)

^𝟎,𝟖

𝟒, 𝟖𝟏

^{𝟎,𝟑𝟑}

= 𝟐𝟎𝟎

Calcul du coefficient de convection h

𝒉 = 𝝀 𝑵𝒖

𝑫 = 𝟎, 𝟔𝟐𝟒 ∗ 𝟐𝟎𝟎

𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎

^−𝟑

= 𝟔𝟐𝟒𝟎 𝑾𝒎

^−𝟐

𝑲

^−𝟏

D = 20 mm Q = 0.5 L/s

T

∞

= 50°C

T

p

=20°C

0,5 * 2

(7)

7/8

6) Calcul du flux échangé

𝜱 = 𝒉 𝑺 (𝑻

_∞

− 𝑻

_𝒑

)

S : Surface latérale du cylindre de diamètre D de longueur L ( unité : L = 1m)

𝜱 = 𝒉 𝑺 (𝑻

_∞

− 𝑻

_𝒑

) = 𝟔𝟐𝟒𝟎 ∗ 𝝅 ∗ 𝟎, 𝟎𝟐 ∗ 𝟏 ∗ (𝟓𝟎 − 𝟐𝟎) = 𝟏𝟏, 𝟖 𝒌𝑾

𝑺 = 𝝅 𝑫 𝑳

0,5 * 2

(8)