EPFL 30 mars 2009 Algèbre linéaire
1ère année 2008-2009
Série 20
L’exercice 3 est à rendre le 6 avril au début de la séance d’exercices.
Dans cette série, le symbole F désigne soit R, soit C.
Exercice 1. Soit T: P2(R)→P2(R)l’opérateur linéaire défini par T(q(t)) = (2t+ 1)q(t)−(t2−1)q0(t) ∀q∈P2(R).
1. Montrer que T est bien défini et diagonalisable.
2. Déterminer Tn(q)pour q∈P2(R) etn ∈Nquelconques.
Exercice 2. Soit B = (v1, . . . , vn) une base de V et α ∈ F, et soit L ∈ L(V) définie par L(vi) = αvi+vi+1 pour1≤i≤n−1 etL(vn) = αvn.
1. Donner la matrice [L]B.
2. Calculer les valeurs propres et espaces propres de L.
3. Montrer que L n’est pas diagonalisable pour n >1.
Exercice 3. 1. Donner un example d’un opérateurT ∈L(R4)n’ayant aucune valeur propre.
Cela est-il possible pour un opérateur T ∈L(R3)?
2. Soit V un R-espace vectoriel et T ∈ L(V) n’ayant aucune valeur propre. Que peut-on dire sur la dimension deV ? Montrer que si U est un sous-espace T-invariant deV, alors la dimension de U est paire.
Exercice 4. Soient a < b, V := C0([a, b],R) le R-espace vectoriel des fonctions continues sur [a, b], et g ∈ C0([a, b],R). L’intégrale λg(f) := Rb
af(x)g(x)dx définit une application λg: C0([a, b],R)→R .
1. Montrer queλg ∈ C0([a, b],R)]
et queλ :C0([a, b],R)→ C0([a, b],R)]
,g 7→λg définit λ∈L(V, V]).
2. Montrer que si λg =λ˜g, alors g = ˜g.
Indication : Il suffit de considérer le casg˜= 0(pourquoi ?) et de choisirf=g.
3. Soitα ∈[a, b]. On considèrel’opérateur de Diracδα: C0([a, b],R)→R, défini parδα(f) :=
f(α). Montrer que δα ∈ C0([a, b],R)]
, mais qu’il n’existe pas de fonction continue g ∈C0([a, b],R)telle que δα =λg.
Indication : Faire un raisonnement par l’absurde : si on admet queδα(f) =λg(f), alorsf(x) = (x−α)2g(x)conduit à une contra- diction.
4. En déduire que le point 2 du Théorème 9.1 du polycopié n’est pas vrai si V n’est pas de dimension finie.
Exercice 5. 1. Soit (V,h,i) un espace euclidien et soit L∈ L(V) auto-adjoint, c’est-à-dire
∀v, w ∈V : hL(v), wi = hv, L(w)i. Montrer que si v et w sont des vecteurs propres de L pour des valeurs propresdifférentes, alors hv, wi= 0.
2. Soit T: F3 → F3 l’opérateur linéaire défini par T(x, y, z) = (x+ 2y, y−z, x+y−3z).
Calculer l’adjoint de T.
