Khôlle PCSI n° 5 : fonctions de la variable réelle à valeurs dans ℝ ou ℂ – 17 octobre 2013
Sujet 1
1. Établir que pour tout x∈ℝ+ ,
sh x≥ x
et que pour toutx∈ℝ
,ch x≥1+ x
22
. 2. Résoudre dansℝ
l'équationArccos ( x )=Arcsin (2x )
.3. Déterminer la limite suivante :
lim
x→+∞
( x
x)
xx
(xx) .4. Soient
n ∈ℕ
* etx ∈ℝ
. Montrer que∑
k=0 n
ch(kx )=
ch ( nx 2 ) sh ( ( n+1) 2 x )
sh ( x 2 )
.Sujet 2
1. Établir que pour tout
x∈ℝ
+ ,sin x≤ x
et que pour toutx∈ℝ
,cos x≥1− x
22
. 2. Résoudre dansℝ
l'équationch x=2
.3. Déterminer la limite suivante :
lim
x→+∞
a
(bx)b
(ax) , avec 1<a<b .4. Montrer que
∀ x ∈ℝ
,∣ Arctan ( sh x) ∣ =Arccos ( ch x 1 )
Sujet 3
1. Comparer
lim
x→0+
( x
x)
x et limx→0+
x(xx)
2. Résoudre dans
ℝ
l'équationArcsin ( tan 2 x ) = x
.3. Déterminer la limite suivante :
lim
x→+∞
a
(ax)x
(xa) , aveca> 1
. 4. Montrer que ∀x∈]0,1[ ,x
x(1− x )
1−x≥ 1
2
. Exercices Bonus1.
Pourz∈ℂ
* , on appelle argument principal de z, l'uniqueθ∈]−π ,π ]
tel quez=∣ z ∣ e
iθ . Montrer que siz∈ℂ ∖ℝ
- , alorsθ=2 Arctan ( x+ √ x y
2+ y
2)
avecx=ℜ( z)
ety=ℑ( z )
.2. Une statue de hauteur s est placée sur un piédestal de hauteur p. A quelle distance doit se placer un observateur (dont la taille est supposée négligeable) pour voir la statue sous un angle maximal ?
