PCSI – Programme de khôlle – Semaine 4 : 11/10 - 17/10

PCSI – PROGRAMME DE KHÔLLE SEMAINE4 : 11/10 - 17/10

PCSI – Programme de khôlle – Semaine 4 : 11/10 - 17/10

Au menu cette semaine

Chapitre 3 : Trigonométrie

CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES

Trigonométrie

Cercle trigonométrique. Paramétrisation par cosinus et sinus.

Relation de congruence modulo 2_πsurR^{. Notationa}≡b[2_π].

Cosinus et sinus de_π±x, de ^π 2±x.

Cosinus et sinus des angles usuels.

Les étudiants doivent savoir retrouver ces résultats et résoudre des équations et inéquations trigonométriques simples en s’aidant du cercle trigonométrique.

Formules d’addition cos(a±b), sin(a±b). Cas particulier des formules de duplication : cos(2a), sin(2a).

On présente une justification géométrique de l’une de ces formules. Les étudiants doivent savoir retrouver rapi- dement les formules donnant cos(a) cos(b), cos(a) sin(b), sin(a) sin(b).

Fonctions circulaires cosinus et sinus. On justifie les formules donnant les fonctions dérivées de sinus et cosinus vues en classe de terminale.

Pourx∈R, inégalité|sin(x)| É |x|.

Fonction tangente. Notation tan. Dérivée, variations, représentation

graphique.

Tangente de_π±x. Tangente des angles usuels. Interprétation sur le cercle trigonométrique.

Formule d’addition tan(a±b).

Chapitre 4 : Fonctions usuelles

CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES

c) Fonctions usuelles

Fonctions exponentielle, logarithme népérien, puissances.

Dérivée, variations, représentation graphique.

Les fonctions puissances sont définies surR^∗₊^{et prolon-} gées en 0 le cas échéant. Seules les fonctions puissances entières sont en outre définies surR^∗₋^.

Logarithme décimal, logarithme en base 2.

Relations (x y)^α=x^αy^α,x^α+β=x^αx^β, (x^α)^β=x^αβ.

Croissances comparées des fonctions logarithme, puis- sances et exponentielle.

Inégalités exp(x)Ê1+x, ln(1+x)Éx.

Fonctions circulaires réciproques Arcsin, Arccos, Arctan.

Dérivée, variations, représentation graphique.

G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC

SEMAINE4 : 11/10 - 17/10 PCSI – PROGRAMME DE KHÔLLE

CONTENUS CAPACITÉS& COMMENTAIRES

Fonctions hyperboliques sh, ch. Dérivée, variations, représentation graphique.

La fonction tangente hyperbolique et les fonctions hy- perboliques réciproques sont hors programme. La seule formule exigible est ch²(x)−sh²(x)=1.

Exercices de TD traités en classe et travaux personnels

• TD3 : 1, 4, 7(1,2,3,5,9), 8(1,2,3,4,6), 10(1,2,3,4,5), 14, 16, 17

• TD4 : Ex5 (1)(2), 7, 8, 9, 11(1)(2), 12, 13, 17

• DL3

Les corrigés des exercices, traités ou non traités en classe, des devoirs libres et des devoirs non surveillés se trouvent sur ma page web :http://geoffrey.boutard.free.fr

Questions de cours

Ï Définitions : un ou plusieurs termes en gras dans le menu.

Ï Présentation d’une des fonctions trigonométriques réciproques.

Par exemple, pour toutx∈[−1, 1], Arccos(x) est l’unique angle entre [0,_π] dont le cosinus estx.

La fonction Arccos est définie sur [−1, 1], continue sur [−1, 1], dérivable sur ]−1, 1[ et, pour tout x ∈]−1, 1[, Arccos⁰(x)= −1

p1−x² .

O x

π Arccos(x) 0

Ï Pour une des fonctions de référence (ln, exp, ch, sh, puissance, cos, sin, tan, Arccos, Arcsin, Arctan) donner le tableau de variations (avec limite et valeurs particulières), la représentation graphique de la fonction et l’expression de sa dérivée sur un intervalle adapté.

Ï Démonstrations :

• Énoncer la formule d’addition cos(a+b) et retrouver la formule de duplication cos(2_θ) sous trois formes différentes.

• Énoncer la formule d’addition sin(a+b) et retrouver la formule de duplication sin(2_θ).

• Énoncer la formule d’addition tan(a+b) et retrouver la formule de duplication tan(2_θ).

• À partir des formules d’addition cos(a+b) et sin(a+b), retrouver la formule d’addition tan(a+b), puis tan(a−b).

• Énoncer les formules d’addition sin(a+b) et sin(a−b) et retrouver la formule de linéarisation sin(a)×cos(b).

• Énoncer les formules d’addition cos(a+b) et cos(a−b) et retrouver la formule de linéarisation cos(a)×cos(b).

• Énoncer les formules d’addition cos(a+b) et cos(a−b) et retrouver la formule de linéarisation sin(a)×sin(b).

• En s’appuyant sur le cercle trigonométrique, exprimer cos(_π−θ) et sin(_π−θ) en fonction de cos(_θ) et sin(_θ).

• En s’appuyant sur le cercle trigonométrique, exprimer cos³ θ+^π

2

´

et sin³ θ+^π

2

´

en fonction de cos(_θ) et sin(_θ).

• Simplifier cos¡

Arccos(x)¢ , sin¡

Arccos(x)¢

et tan¡

Arccos(x)¢

en précisant les valeurs que peut prendrex.

• Simplifier sin¡

Arcsin(x)¢ , cos¡

Arcsin(x)¢

et tan¡

Arcsin(x)¢

en précisant les valeurs que peut prendrex.

PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD

PCSI – PROGRAMME DE KHÔLLE SEMAINE4 : 11/10 - 17/10

• Simplifier cos¡

Arctan(x)¢ , sin¡

Arctan(x)¢

et tan¡

Arctan(x)¢

en précisant les valeurs que peut prendrex.

• Arcsin est dérivable sur ]−1, 1[.

• Pour toutx∈[−1, 1], Arccos(x)+Arccos(−x)=π.

• Montrer que, pour tout (x,y)∈R^?₊×R^?₊^{, ln(x}×y)=ln(x)+ln(y).

• Montrer que lim

x→+∞

e^x x = +∞. Ï Exercices types :

• Résoudre l’équation cos(x)=1

3 d’inconnuex∈R^.

• Résoudre l’équation sin(x)=sin(2x) d’inconnuex∈R^.

• Résoudre l’inéquation cos(x)Ê p3

2 d’inconnue réelle x∈R^.

• Résoudre l’inéquation tan(x)>p

3 d’inconnue réellex∈R^.

• Étudier la fonction f :x7→x^xsur ]0,+∞[.

Ï Informatique : Écrire une fonctionsuite(n)qui prend en entrée un entier natureln et qui renvoie le terme d’indicende la suite (u_n)_n∈Ndéfinie paru₀=1 et, pour toutn∈N^,un+1= u²_n+1

2u²_n+3. Donner l’instruction à utiliser pour calculeru₂₀.

Python

1 def suite(n):

2 """

3 Renvoie le terme d'indice n de la suite définie par u(0)=1 et, pour tout n dans N,

4 u(n+1) = (u(n)**2+1)/(2*u(n)**2+3)

5 Entrée : n (integer)

6 Sortie : u(n) (float)

7 """

8 u=1

9 for i in range(n):

10 u=(u**2+1)/(2*u**2+3)

11 return u

12

13 # Pour afficher u(20), on écrit suite(20) dans la console.

G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC