PCSI – PROGRAMME DE KHÔLLE SEMAINE2 : 27/09 - 03/10
PCSI – Programme de khôlle – Semaine 2 : 27/09 - 03/10
Au menu cette semaine
Chapitre 1 : Inégalités dansR
CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES
Inégalités
Relation d’ordre surR. Compatibilité avec les opérations.
Intervalles deR.
Exemples de majoration et de minoration de sommes, de produits et de quotients. Utilisation de factorisations et de tableaux de signes. Résolution d’inéquations.
Valeur absolue. Inégalité triangulaire. Interprétation sur la droite réelle d’inégalités du type
|x−a| Éb.
DansR, parties majorées, minorées, bornées.
Majorant, minorant ; maximum, minimum.
Partie entière d’un nombre réel. Notationbxc.
Chapitre 2 : Fonctions de la variable réelle et à valeurs réelles
CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES
a) Généralités sur les fonctions
Ensemble de définition.
Représentation graphique d’une fonction f à valeurs réelles.
Les étudiants doivent savoir déduire de la représenta- tion graphique de f celles de fonctions obtenues par des transformations simples, comme x7→ f(x+a) ou x7→f(ax).
Parité, imparité, périodicité. Interprétation géométrique de ces propriétés. Utilisation pour la réduction du domaine d’étude.
Somme, produit, composée.
Monotonie (large et stricte), en utilisant les quan- tificateurs.
Fonctions majorées, minorées, bornées.
Maximum et minimum d’une fonction.
Traduction géométrique de ces propriétés.
La fonction f est bornée si et seulement si|f|est majo- rée.
Théorème de la bijection.
b) Dérivation
Nombre dérivé. Dérivée d’une fonction. Notations f0(x), d dx
¡f(x)¢ . Dérivée d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’un
quotient, d’une composée.
Ces résultats sont rappelés, avec la définition de la déri- vée et l’équation de la tangente ; ils ne sont pas démon- trés à ce stade.
G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC
SEMAINE2 : 27/09 - 03/10 PCSI – PROGRAMME DE KHÔLLE
CONTENUS CAPACITÉS& COMMENTAIRES
Caractérisation des fonctions constantes, (dé)croissantes, strictement (dé)croissantes, parmi les fonctions déri- vables sur un intervalle.
Résultats admis à ce stade.
Tableau de variations. Étude pratique d’une fonction.
Tracé du graphe.
Application : recherche d’extremums, démonstration d’inégalités.
Représentation graphique et dérivée d’une fonction réci- proque.
La formule donnant la dérivée est admise, mais on en donne l’interprétation géométrique.
Fonction de classeC1. Dérivées d’ordre supérieur.
Exercices de TD traités en classe et travaux personnels
• TD1 : 1, 2(1)(2)(3)(4)(6), 4(1)(2)(3)(5)(7), 7, 8, 16, 21
• TD2 : 1, 5, 12, 14, 15, 16, 9 (a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,r,y,Z), 21, 22, 26
• DL1
• DL2
Les corrigés des exercices, traités ou non traités en classe, des devoirs libres et des devoirs non surveillés se trouvent sur ma page web :http://geoffrey.boutard.free.fr
Questions de cours
Ï Définitions : un ou plusieurs termes en gras dans le menu.
Ï Énoncésexactsde théorèmes :
• Théorème de la bijection.
• Théorème de la bijection (dérivée de la réciproque d’une bijection).
Ï Démonstrations :
• Inégalité triangulaire : pour tout réel (x,y)∈R2,¯¯|x| − |y|¯
¯É |x+y| É |x| + |y|.
Ï Soit f une bijection deIsur J(oùI etJ sont des parties deR). Expliquer minutieusement les égalités :
∀x∈I, f−1¡ f(x)¢
=x et ∀y∈J, f¡ f−1(y)¢
=y.
Ï Exercices types :
• Résoudre l’inéquation d’inconnue réellex:|x+3| =¯
¯x2−3¯
¯.
• Résoudre l’inéquation d’inconnue réellex:|x+2| Ê7.
• Résoudre par analyse-synthèse l’équation d’inconnue réellex: p
x+2=x.
• Résoudre l’équation d’inconnue réellex:bx−2c = −1.
• À l’aide des transformations de fonctions, tracer l’allure du graphe de f :x7→(3−x)2−1.
• Résoudre l’inéquation d’inconnue réellex: 3+p
x−1<x.
• Étudier la parité de la fonction f définie par f(x)=e3x−e−x 1−e2x .
• Montrer que, pour tout x∈R+, sin(x)Éx.
• Sans se soucier de l’ensemble de définition ou de dérivation, dériver une des fonctions suivantes (n∈N?) : f1(x)=(1−x)n
n! , f2(x)=e
px2+x+1, f3(x)=¡
cos(x2+2x−3)¢2
, f4(x)= cos(x)
p2+sin(x), f5(x)=ln³ ln¡
ln(x)¢´ .
• Montrer que f :x7→ln(x)+x2−2 réalise une bijection de R?+ surRet que sa bijection réciproque f−1 est dérivable surR.
L’étude des ensembles de définition et de dérivation pourra ensuite faire l’objet d’un exercice.
PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD
