PCSI – PROGRAMME DE KHÔLLE SEMAINE3 : 04/10 - 10/10
PCSI – Programme de khôlle – Semaine 3 : 04/10 - 10/10
Au menu cette semaine
Chapitre 2 : Fonctions de la variable réelle et à valeurs réelles
CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES
Généralités sur les fonctions
Ensemble de définition.
Représentation graphique d’une fonction f à valeurs réelles.
Les étudiants doivent savoir déduire de la représenta- tion graphique de f celles de fonctions obtenues par des transformations simples, comme x7→ f(x+a) ou x7→f(ax).
Parité, imparité, périodicité. Interprétation géométrique de ces propriétés. Utilisation pour la réduction du domaine d’étude.
Somme, produit, composée.
Monotonie (large et stricte), en utilisant les quan- tificateurs.
Fonctions majorées, minorées, bornées.
Maximum et minimum d’une fonction.
Traduction géométrique de ces propriétés.
La fonction f est bornée si et seulement si|f|est majo- rée.
Théorème de la bijection.
Dérivation
Nombre dérivé. Dérivée d’une fonction. Notations f0(x), d dx
¡f(x)¢ . Dérivée d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’un
quotient, d’une composée.
Ces résultats sont rappelés, avec la définition de la déri- vée et l’équation de la tangente ; ils ne sont pas démon- trés à ce stade.
Caractérisation des fonctions constantes, (dé)croissantes, strictement (dé)croissantes, parmi les fonctions déri- vables sur un intervalle.
Résultats admis à ce stade.
Tableau de variations. Étude pratique d’une fonction.
Tracé du graphe.
Application : recherche d’extremums, démonstration d’inégalités.
Représentation graphique et dérivée d’une fonction réci- proque.
La formule donnant la dérivée est admise, mais on en donne l’interprétation géométrique.
Fonction de classeC1. Dérivées d’ordre supérieur.
G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC
SEMAINE3 : 04/10 - 10/10 PCSI – PROGRAMME DE KHÔLLE
Chapitre 3 : Trigonométrie
CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES
Trigonométrie
Cercle trigonométrique. Paramétrisation par cosinus et sinus.
Relation de congruence modulo 2πsurR. Notationa≡b[2π].
Cosinus et sinus deπ±x, de π 2±x.
Cosinus et sinus des angles usuels.
Les étudiants doivent savoir retrouver ces résultats et résoudre des équations et inéquations trigonométriques simples en s’aidant du cercle trigonométrique.
Formules d’addition cos(a±b), sin(a±b). Cas particulier des formules de duplication : cos(2a), sin(2a).
On présente une justification géométrique de l’une de ces formules. Les étudiants doivent savoir retrouver rapi- dement les formules donnant cos(a) cos(b), cos(a) sin(b), sin(a) sin(b).
Fonctions circulaires cosinus et sinus. On justifie les formules donnant les fonctions dérivées de sinus et cosinus vues en classe de terminale.
Pourx∈R, inégalité|sin(x)| É |x|.
Fonction tangente. Notation tan. Dérivée, variations, représentation
graphique.
Tangente deπ±x. Tangente des angles usuels. Interprétation sur le cercle trigonométrique.
Formule d’addition tan(a±b).
Fonctions circulaires réciproques Arcsin, Arccos, Arctan.
Dérivée, variations, représentation graphique.
Exercices de TD traités en classe et travaux personnels
• TD2 : 1, 5, 12, 14, 15, 16, 9 (a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,r,y,Z), 21, 22, 26
• TD3 : 1, 4, 7(1,2,3,5,9), 8(1,2,3,4,6), 10(1,2,3,4,5), 14, 16, 17
• DL1
• DL2
• DNS1
Les corrigés des exercices, traités ou non traités en classe, des devoirs libres et des devoirs non surveillés se trouvent sur ma page web :http://geoffrey.boutard.free.fr
PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD
PCSI – PROGRAMME DE KHÔLLE SEMAINE3 : 04/10 - 10/10
Questions de cours
Ï Définitions : un ou plusieurs termes en gras dans le menu.
Ï Énoncésexactsde théorèmes :
• Théorème de la bijection.
• Théorème de la bijection (dérivée de la réciproque d’une bijection).
Ï Présentation d’une des fonctions trigonométriques.
Par exemple, pour toutx∈[−1, 1], Arccos(x) est l’unique angle entre [0,π] dont le cosinus estx.
La fonction Arccos est définie sur [−1, 1], continue sur [−1, 1], dérivable sur ]−1, 1[ et, pour tout x ∈]−1, 1[, Arccos0(x)= −1
p1−x2.
O x
π Arccos(x) 0
Ï Démonstrations :
• Énoncer la formule d’addition cos(a+b) et retrouver la formule de duplication cos(2θ) sous trois formes différentes.
• Énoncer la formule d’addition sin(a+b) et retrouver la formule de duplication sin(2θ).
• Énoncer la formule d’addition tan(a+b) et retrouver la formule de duplication tan(2θ).
• À partir des formules d’addition cos(a+b) et sin(a+b), retrouver la formule d’addition tan(a+b), puis tan(a−b).
• Énoncer les formules d’addition sin(a+b) et sin(a−b) et retrouver la formule de linéarisation sin(a)×cos(b).
• Énoncer les formules d’addition cos(a+b) et cos(a−b) et retrouver la formule de linéarisation cos(a)×cos(b).
• Énoncer les formules d’addition cos(a+b) et cos(a−b) et retrouver la formule de linéarisation sin(a)×sin(b).
• En s’appuyant sur le cercle trigonométrique, exprimer cos(π−θ) et sin(π−θ) en fonction de cos(θ) et sin(θ).
• En s’appuyant sur le cercle trigonométrique, exprimer cos³ θ+π
2
´
et sin³ θ+π
2
´
en fonction de cos(θ) et sin(θ).
• Simplifier cos¡
Arccos(x)¢ , sin¡
Arccos(x)¢
et tan¡
Arccos(x)¢
en précisant les valeurs que peut prendrex.
• Simplifier sin¡
Arcsin(x)¢ , cos¡
Arcsin(x)¢
et tan¡
Arcsin(x)¢
en précisant les valeurs que peut prendrex.
• Simplifier cos¡
Arctan(x)¢ , sin¡
Arctan(x)¢
et tan¡
Arctan(x)¢
en précisant les valeurs que peut prendrex.
• Arcsin est dérivable sur ]−1, 1[.
• Arcsin est impaire.
• Pour toutx∈[−1, 1], Arccos(x)+Arccos(−x)=π.
Ï Soit f une bijection deIsur J(oùI etJ sont des parties deR). Expliquer minutieusement les égalités :
∀x∈I, f−1¡ f(x)¢
=x et ∀y∈J, f¡ f−1(y)¢
=y.
Ï Exercices types :
• Résoudre l’équation cos(x)=1
3 d’inconnuex∈R.
• Résoudre l’équation sin(x)=sin(2x) d’inconnuex∈R.
• Résoudre l’inéquation cos(x)Ê p3
2 d’inconnue réelle x∈R.
• Résoudre l’inéquation tan(x)>p
3 d’inconnue réellex∈R.
• Soitx∈[−1, 1]. Simplifier sin¡
2 Arctan(x)¢ .
G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC
