Semaine du 04/10 au 08/10
1 Cours
Convexité
Parties convexes Barycentre. Segment. Une partie d’un espace vectoriel normé est dite convexe si tout segment d’extrémités dans cette partie est inclus dans cette partie. Une partie d’un espace est convexe si et seulement si elle est stable par barycentration positive.
Fonctions convexes Définition et interprétation géométrique (position du graphe par rapport aux cordes). Epigraphe. Une fonction est convexe si et seulement si son épigraphe est convexe. Inégalité des pentes.
Lien avec la dérivabilité Une fonction dérivable est convexe si et seulement si sa dérivée est croissante. Une fonction deux fois dérivable est convexe si et seulement si sa dérivée seconde est positive. Position du graphe par rapport aux tangentes.
Convexité généralisée 𝑓est convexe sur un intervalleIsi et seulement si
∀(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ∈ I𝑛, ∀(λ1, … , λ𝑛) ∈ (ℝ+)𝑛,
𝑛
∑
𝑖=1
λ𝑖= 1 ⟹ 𝑓 (
𝑛
∑
𝑖=1
λ𝑖𝑥𝑖) ≤
𝑛
∑
𝑖=1
λ𝑖𝑓(𝑥𝑖)
Concavité Définition et adapation des résultats précédents.
Espaces vectoriels normés
Normes Définition. Rappel sur les normes euclidiennes. Normes usuelles sur𝕂𝑛:
‖𝑥‖1=
𝑛
∑
𝑖=1
|𝑥𝑖| ‖𝑥‖2=
√√
√
𝑛
∑
𝑖=1
|𝑥𝑖|2 ‖𝑥‖∞= max
1≤𝑖≤𝑛|𝑥𝑖|
Norme de la convergence uniforme sur l’espace des applications bornées sur un ensembleXà valeurs dans𝕂. Normes usuelles sur𝒞0([𝑎, 𝑏], 𝕂):
‖𝑓‖1= ∫
𝑏
𝑎
|𝑓(𝑡)|d𝑡 ‖𝑓‖2=
√√
√
√
∫
𝑏
𝑎
|𝑓(𝑡)|2 d𝑡 ‖𝑓‖∞=max
[𝑎,𝑏]|𝑓|
2 Méthodes à maîtriser
• Inégalités classiques de convexité :
∀𝑥 ∈] − 1, +∞[, ln(1 + 𝑥) ≤ 𝑥 ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑒𝑥≥ 1 + 𝑥
• Savoir choisir la bonne caractérisation de la convexité suivant les exercices.
• Montrer qu’une application est une norme : positivité, homogénéité, inégalité triangulaire, séparation.
3 Questions de cours
Inégalité arithmético-géométrique Soit(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ∈ (ℝ∗+)𝑛. On définit
A𝑛= 1 𝑛
𝑛
∑
𝑖=1
𝑥𝑖 G𝑛= (
𝑛
∏
𝑖=1
𝑥𝑖)
1 𝑛
En utilisant la concavité de ln, montrer queG𝑛≤ A𝑛.
Normes usuelles sur𝕂𝑛 Justifier que‖ ⋅ ‖1et‖ ⋅ ‖∞sont des normes sur𝕂𝑛.
Normes usuelles sur𝒞0([𝑎, 𝑏], 𝕂) Justifier que‖ ⋅ ‖1est une norme sur𝒞0([𝑎, 𝑏], 𝕂).
Norme de la convergence uniforme SoitXun ensemble etℬ(X, 𝕂)l’ensemble des apllications bornées surXà valeurs dans𝕂. On pose‖𝑓‖∞=sup
X
|𝑓|. Montrer que‖ ⋅ ‖∞est une norme surℬ(X, 𝕂).
Banque CCP Exercices 76, 79.
