Seconde 1 Exercices sur la géométrie dans l'espace : E6. 2007 2008
E6 Effectuer des calculs de longueur, d'aire ou de volume.
P 187 n ° 56.
Soit un prisme droit de base B et de hauteur h. Alors V = B × h. Donc h = V B . Ici V = 50 cm3 et B = 30 cm² donc h = 5
3 cm.
P 187 n ° 58.
Un cylindre de révolution de rayon r et de hauteur h a pour aire latérale 2 π r h.
Ici le diamètre est égal à 6 cm donc r = 3 cm. La hauteur est égale à 15 cm. Donc A = 2 π × 3 × 15 = 90 π ≈ 283 cm².
P 187 n ° 59.
Un cylindre de révolution de rayon r et de hauteur h a pour volume V = p r² h et pour aire de base A = p r².
Ici : V = 3,24 m3 et A = 5,4 m² . Donc h = 324
540 = 0,6 m.
P 187 n ° 60.
Le volume d'une pyramide est donné par la formule : V = 1
3 × B × h. Calculons l'aire de la base.
C'est un carré inscrit dans un cercle de rayon 2 cm. ABC est un triangle rectangle en A.
D'après le théorème de Pythagore, BC² = BA² + AC² = 2² + 2² = 8. Donc B = BC² = 8.
Les arêtes latérales ont pour longueur 5,2 cm. DEC est un triangle rectangle en E.
D'après le théorème de Pythagore, CD² = DE² + EC² donc DE² =CD² − EC² = 5,2² −
2
2 8
= 27,04 − 2 = 25,04.
D'où V = 1
3 × 8 × 25,04 ≈ 13,34 cm3. P 187 n ° 61.
Le volume d'un cône est donné par la formule : V = 1
3 π r² h . Ici h = 3 m et r = 1 m Donc V = 1
3 π × 1² × 3 ≈ 3,14 m3. P 188 n ° 64.
Le volume d'un cylindre de révolution est donné par la formule : V = π r² h.
Ici on a donc VA = π × ( h
2 )² × h = π 4 × h3
Le volume d'un cône de révolution est donné par la formule : V = 1 3 π r² h . Ici on a donc VB = 1
3 π ( h
2 )² × h = π 12 × h3 Le volume d'une sphère est donné par : V = 4
3 π r3. Ici on a donc VC = 4 3 π ( h
2 )3 × h = π 6 × h3. 1. B étant plein, on transverse son contenu dans A. La hauteur atteinte par le liquide dans A
cad le cylindre de révolution est donné par h' =
² r
πV . ici V = VB d'où h ' =
π
π 4 h 12h
2 3
= 1 12 × 4
1 × h = h 3
2. C étant plein, on transverse son contenu dans A. h '' =
² r
πV avec V = VC
donc h" =
² 4h 6h
3
π π
= 1 6 × 4
1 × h = 2 3 h.
