Correction du contrôle commun n

Correction du contrôle commun n

2

Exercice I

1. Si Aest l’image deD par la translation de vecteur

−→BC alors −−→ D A=−→

BC .

On en déduit queAC B DouADBC est un parallé- logramme.

×

B

×

C D×

A×

2. Soient les pointsM(−2 ; 5) etN(5 ; 4).

Les coordonnées du vecteur−−→

N M sont−−→

N M

µx_M−x_N y_M−y_N

¶

donc −−→

N M µ−7

1

¶ .

3. Soient les vecteurs→− u

µ−2 3

¶

;−→ v





 1 2

−1 3





;→− w

µ1 3; −1

2

¶ .

• Pour→− u et→−

v :−2× µ

−1 3

¶

−3×1 2=2

3−3

26=0. D’après la condition de colinéarité,→− u et−→

v ne sont pas colinéaires.

• Pour→− u et→−

w:−2× µ

−1 2

¶

−3×1

3=1−1=0 ; d’après la condition de colinéarité, −→ u et→−

w sont colinéaires.

• −→ v et→−

w ne sont pas colinéaires, sinon, comme→− u et→−

w le sont,−→ u et→−

v seraient colinéaires, ce qui est faux.

4. Soient les points R(1 ; 0), S(4 ; 6) et T (101 ; 200).

−→RS µ3

6

¶

;−→

RT µ100

200

¶ .

3×200−6×100=0 ; d’après la condition de colinéarité, ces vecteurs sont colinéaires, donc les trois pointsR,SetT sontalignés.

Exercice II

Rappelons que sif(x)=a(x−α)²+β(forme canonique), le sommet de la parabole représentative def est S(α; β).

• C₁a pour sommetS1(1 ; −2) ; la fonction associée est doncg définie parg(x)=(x−1)²−2.

• C₃a pour sommetS3(−2 ;−3) ; la fonction associée est doncf définie parf(x)=(x+2)²−3.

• C₄a pour sommetS4(−1 ; 3) ; la fonction associée est donchdéfinie parh(x)=1

2(x+1)²+3.

• C₂est donc associée à la fonction définie pari(x)= −1

4(x−1)²+12.

Comme le coefficient dex²est−1

4, la fonction est bien d’abord croissante puis décroissante et le sommet S₂a pour coordonnées (1 ; 12) (et c’est la seule qui reste dans la liste).

Résumé:

Courbe C₁ C₂ C₃ C₄

Exercice III

1. Visualisons la situation par un arbre pondéré (les branches sont pondérées par les probabilités corres- pondantes) :

b b

1 2 3

b 0, 5

1 3

b 1

1 3

b 2

1 3

b

1 0, 5 3

b 0, 5

1 3

b 1

1 3

b 2

1

On applique alors le principe multiplicatif ; la probabilité de l’événement en bout d’arbre est le produit3 des probabilités des branches qui arrivent à cet événement.

2. Pour arriver au prix du journal qui est 2e, il faut qu’elle choisisse successivement deux pièces de 1e_. La probabilité d’avoir 1-1 est 2

3×1 3= 2

9 .

3. La probabilité que les deux pièces tirées lui permettent d’acheter le journal tout en recevant de la mon- naie en retour est la probabilité d’obtenir une somme strictement supérieure à 2, donc l’événement 1−2 ou 0, 5−2, de probabilité2

3×1 3+1

3×1 3=3

9= 1 3 .

4. La probabilité que les deux pièces tirées ne lui permettent pas d’acheter le journal est réalisée par l’évé- nement 1-0,5 ; 0,5-0,5 et 0,5-1.

Cette probabilité est donc 2 3×1

3+ ×1 3+1

3+ ×1 3= 4

9 .

Remarque :On peut aussi faire un tableau à double entrée, en mettant les valeurs des gros pièces de gauche dans la première ligne et les valeurs des trois pièces de gauche dans la première colonne. On a neuf cases dans lesquelles on met la somme obtenue. On retrouve alors les probabilités précédentes.

On pouvait aussi faire un arbre non pondéré ; une branche par pièce de la poche gauche puis une sous- branche par pièce dans la poche droite ; on compte alors en bout d’abréaction les totaux.

Pièce de droite

Pièce de gauche

1 1 0,50

0,5 1,5 1,5 1

1 2 2 1,5

2 3 3 2,5

b b

1

b 0, 5

b 0, 5

b 2

b

1

b 0, 5

b 0, 5

b 2

b

0, 5

b 0, 5

b 0, 5

b 2

Exercice IV

On considère un repère (O ; I ; J) et on considère les points A(-2 ; -2), B(2 ; 1), C(5 ; 0) D(0,5 ; 1,5) et E(3 ; 2,5).

1. Plaçons les points :

× ×

×

O I J

×

×

×

×

×

×

A

B

C D

E

F 2. −−→

AD µ2, 5

3, 5

¶

;−→

B E µ 1

1, 5

¶

2, 5

1 =2, 5=5 2;3, 5

1, 5=35 15=7

36=5 2.

Les cordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles : les deux vecteurs ne sont pas coli- néaires. donc les droites (AD)et (B E) nesont pas parallèles.

3. ABC Fest un parallélogramme si, et seulement si,−→

AB=−→

FC.

−→AB µ4

3

¶

;−→

FC

µ5−x_F

−y_F

¶ .

Ces deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs coordonnées sont égales.

On en déduit :

(5−x_F=4

−y_F=3 ⇔

(x_F=5−4 y_F= −3 .

4. −→

AC µ7

2

¶

donc 1 2

−→AC



 7 21



donc1 2

−→AC µ3, 5

1

¶ .

−−→ AD

µ2, 5 3, 5

¶ .

−

→u =1 2

−→AC+−−→

AD. On en déduit que : →− u

µ 6 4, 5

¶ . 5. Gest défini par−→

AG=1 2

−→AC+−−→ AD.

Après la question précédente,−→

AG µ 6

4, 5

¶

. Or ;−→

AG

µxG+2 y_G+2

¶ donc

(x_G+2=6

y_G+2=4, 5 ⇔

(x_G=4

y_G=2, 5 donc les coordonnées deGsont G(4; 2, 5)

Exercice V

1. Le bénéfice estB(x)= −15x²+390x−1 800. Le coût de fabrication est de 6epar figurine donc leprix de vente par figurine doit être donc l’entreprise a intérêt à vendre ses figurines à un prix individuel supérieur à 6e_.

2. (a) B(x)= −15x²+390x−1 800=ax²+bx+c avec











a= −15 b=390 c= −1 800

.

La forme canonique deB estB(x)=a(x−α)²+βavec







α= − b 2a β=B(α)

. On trouveα= − b

2a = −390

−30=13.

β=B(13)=735.

Par conséquent : B(x)= −15(x−13)²+735.

Autre méthode : −15(x−13)²+735 = −15¡

x²−26x+169¢

+735 = −15x²+390x−2 535+735 =

−15x²+390x−1 800=B(x) donc B(x)= −15(x−13)²+735 . (b) Les coordonnées du sommetSsontS(13 ; 735).

Tableau de variation:

x 6 13 20

B(x) 0

✒ 735

❅❅

❅

❘0

(c) Le bénéfice maximal est de 135 000e, atteint pour un prix de vente de chaque figurine de 13e_. 3. (a) (x−16)(−15x+150)= −15x²+150x+240x−2 400= 15x²+390x−2 400.

(b) Par conséquent :B(x)−600= −15x²+390x−1 800−600= −15x²+390x−2 400= (x−16)(−15x+150) d’après la question précédente.

(c) B(x)=600⇔B(x)−600=0⇔(x−16)(−15x+150)=0 d’après la question précédente..

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un des facteurs est nul.

On trouvex=16 oux=10.

On en déduit que le bénéfice est de 600e_pourx=10 oux=16 donc pour une figurine doit être vendue 10 ou 16 euros.

4. (a) Complétons l’algorithme : B← −15x²+390x−1800 SiB>0

Afficher « Rentable » Sinon

afficher « non rentable » fin si

(b) D’après le tableau de variation,B(15)>0 donc, pourx=15, l’algorithme affiche « Rentable ».

Exercice VI

1. Traduisons les données :

• 55 %×500=55×5=275

• 500−275=225 donc 225 personnes ne partent pas en famille.

• 60 %×225=135 donc 135 personnes qui ne partent pas en famille préfère un voyage organisé.

• 1

5×225=45 donc 45 personnes qui ne partent pas en famille préfèrent les croisières.

• On complète ensuite en effectuant des additions et des soustractions.

Voyage organisé Club de vacances Croisière Total

En famile 73 137 65 275

Seul ou entre amis 135 45 45 225

Total 208 182 110 500

2. P(A)=275 500=11

20; P(A)=11 20 P(B)=110

500=11

50; P(B)=11 50 P

³ C

´

=1−P(C)=1−182

500 =500−182 500 =318

500=159 250; P

³ C

´

=159 250 .

3. (a) • A∩B est l’événement « Le client choisi part en famille et en croisière ».

• A∪B est l’événement « Le client choisi part en famille ou en croisière ».

(b) P(A∩B)= 65

500= 13 100 .

(c) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=11 20+11

50− 13 100 = 16

25

4. On choisit au hasard une personne qui a déclaré partir en vacances en famille.

La probabilitépqu’elle préfère les clubs de vacances est 137 275 .