Correction du contrôle commun n
o3 de mathématiques
I
Les questions suivantes sontindépendantes.
1. Factorisation : on remarque que l’expression a un facteur commun qui estx−6 :
A(x)=(−5x+3)(x−6)−(4x+7)(x−6)=(x−6) [(−5x+3)−4x]=(x−6)(−5x+3−4x−7)= (x−6)(−9x−4)= −(x−6)(9x+4)
2. (a) f(x)=5(x−2)2+4=a(x−α)2+βavec
a=5 α=2 β=4
.
a=5 est positif donc la fonction est d’abord décroissante sur ]− ∞;α] puis croissante sur [α;+∞[.
Le sommet de la paraboleSa pour coordonnées (α;β)=(2 ; 4) . On en déduit le tableau de variation def :
x −∞ 2 +∞
f(x)
❅❅
❅❘ 4
✒
(b) Le minimum def(x) est 4, donc la fonction estpositivesurR.
3. Dans un repère, on donne les pointsE(7;−4) etF(4; 7) et le vecteur−→
u de coordonnées :→− u
µ3 33
¶ . (a) −→
E F
µxF−xE
yF−yE
¶
donc−→
E F µ−3
11
¶ . (b) −→
E F µ−3
11
¶
;−→ u
µ3 33
¶ .
(−3×33)−(3×11)= −99−11= −1106=0.
La condition de colinéarité n’est pas vérifiée : ces vecteurs ne sontpas colinéaires 4. Dans une expérience aléatoire, on considère les événementsAetB.
On sait queP(A∩B)=0, 3 , P(A)=0, 5 etP(B)=0, 6.
(a) p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B)=0, 35+0, 5−0, 6=0, 25 : p(A∪B)=0, 25. (b) p³
A´
=1−p(A)=1−0, 35=0, 65 : p³ A´
==0, 65 p³
B´
=1−p(B)=1−0, 5=0, 5 : p³ B´
=0, 5.
(c) P(A∪B)=1−P(A∪B)=1−0, 25=0, 75 : P(A∪B)=0, 75 .
II
Soitf la fonction polynôme de degré 2 définie surRpar :
f(x)=4x2−12x+5 (forme 1)
1. Pour toutx∈R, (2x−5)(2x−1)=4x2−2x−10x+5=4x2−12x+5=f(x) donc f(x)=(2x−5)(2x−1) (forme 2)
2. f(x)=4x2−12x+5=ax2+bx+cavec
a=4 b= −12 c=5
.
Laforme canoniqueestf(x)=a(x−α)2+βavecα= − b
2aetβ=f(α).
On a :α= − b
2a= −−12 2×4=12
8 =3 2. β=f(α)=f
µ3 2
¶
=4× µ3
2
¶2
−12×3
2+5=9−18+5= −4 On en déduit que : f(x)=4
µ x−3
2
¶2
−4 (forme 3)
3. En utilisant la forme def(x) la plus adaptée, répondre aux questions suivantes : (a) Pour calculerf(0), on utilise la forme 1 : f(0)=5 .
(b) Tableau de variation :On utilise la forme 3 (forme canonique) :f(x)=4 µ
x−3 2
¶2
−4.
Le coefficientaesta=4>0 donc la fonction est d’abord décroissante puis croissante ; les coordonnées du sommet sont (α;β) donc
µ3 2;−4
¶ . Le tableau de variation est :
x −∞ 3
2 +∞
f(x)
❅❅
❅❘
−4
✒
(c) Antécédents de 5 parf : on utilise la forme 1
f(x)=5⇔4x2−12x+5=5⇔4x2−12x=0⇔4x(x−3)=0.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un des facteurs est nul.
On en déduit quex=0 oux=3.
Les antécédents de 5 parf sont 0 et 3. (d) f(x)Ê0⇔(2x−5)(2x−1)Ê0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un des facteurs est nul, donc les racines sont5 2et1
2. 2x−5 est négatif pourxÉ5
2(fonction affine croissante)“
2x−1 est négatif pourxÉ1
2(fonction affine croissante) On en déduit le tableau de signes :
x −∞ 1
2 5
2 +∞
2x−5 − −0+
2x−1 −0+ +
f(x)=(2x−5)(2x−1) +0−0+ On en déduit quef(x)Ê0 pourxÉ1
2 ouxÊ3 2. S=
¸
−∞; 1 2
¸
∪
·3 2;+∞
·
III
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
0 C1
C2
C3
C4
C5
C6
⋄ f(x)=2(x−3)2+4 ; 2>0 donc la fonction est décroissante puis croissante avec un minimum égal à 4 atteint pourx=3.
La courbe représentative def estC5.
⋄ g(x)= −2(x−4)2+3 ; -2<0 donc la fonction est croissante puis décroissante avec un maximum égal à 3 atteint pourx=4.
La courbe représentative degestC6.
⋄ h(x)=3(x+3)2+4 ; 3>0 donc la fonction est décroissante puis croissante avec un minimum égal à 4 atteint pourx= −3.
La courbe représentative dehestC1.
⋄ i(x)= −(x+1)2−2 ; -1<0 donc la fonction est croissante puis décroissante avec un maximum égal à -2 atteint pourx= −1.
La courbe représentative deiestC4.
⋄ j(x)=5x2+1 ; 5>0 donc la fonction est décroissante puis crois- sante avec un minimum égal à 1 atteint pourx=0.
La courbe représentative deiestC3.
⋄ k(x)= −3(x+1)2+6 ; -3<0 donc la fonction est croissante puis décroissante avec un maximum égal à 6 atteint pourx= −1.
La courbe représentative dekestC2.
Résumé
Fonction f g h i j k
Courbe C5 C6 C1 C4 C3 C2
IV
0
×
×
×
C
E
F I
J
(O;I;J) est un repère orthonormé.
Par le calcul, déterminer si les pointsC,EetFde la figure ci-dessus sont alignés.
Les coordonnées des points sontC(0 ; 13),E(13 ; 7) etF(25 ; 0).
Les coordonnées de−→
C Esont−→
C E µ13
−6
¶ . Les coordonnées de−→
C Fsont−→
C F µ25
−13
¶ .
13×(−13)−(−6)×25= −169+150= −196=0. D’après la condition de colinéarité, ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points C, E et F ne sontpas alignés.
V
Recopieret compléter (en expliquant !) les égalités suivantes :
• −−→ RK+−−→
K G= −→
RG (d’après la relation de Chasles)
• −→
AB+−−→ C A=−−→
C A+−→
AB= −→
C B
• −−→ I M−−−→
RM=−→ I Rcar−−→
I M−−−→
RM=−−→ I M+−−→
MR=−→ I R
• −−→ K C−−−→
C A+−→
C B−−−→ K B=−−→
BK+−−→ K C+−→
C B+−→
AC=→− 0+−→
AC= −→
AC
VI
Dans un repère orthonormé (O;I;J), on donne les pointsA(5 ;−3),B(7 ; 1),C(11 ;−2) etD(9 ;−6).
1. −→
AB µ2
4
¶
;−−→ DC
µ2 4
¶ .
Ces deux vecteurs sont égaux car ils ont les mêmes coordonnées.−→
AB=−−→
DCdoncABC Dest un parallélogramme.
Les deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.
On doit avoir
xE−5=5 yE+3= −35
2
d’où
xE=10 yE= −41
2
. E a pour coordonnées E µ
10 ;−41 2
¶
VII
Pour mieux satisfaire ses clients, une agence de voyages a envoyé un questionnaire leur demandant leurs habitudes en vacances.
Les 200 réponses reçues sont répertoriées dans le tableau ci-dessous :
Voyage organisé Club de vacances Camping Total
Part en famille 29 55 26 110
Part seul ou entre amis 54 18 18 90
Total 83 73 44 200
On choisit un client au hasard parmi les 200 qui ont répondu au questionnaire.
1. Soient les événements :
• A : « le client choisi part en famille »
• B : « le client choisi préfère le camping »
• C : « le client choisi ne part pas en club de vacances ».
Chaque personne a la même chance d’être choisie, donc nous sommes en situation d’équiprobabilité.
On en déduit :
• p(A)=110 200=11
20: p(A)=11 20
• p(B)= 44 200=11
50: p(B)=11 50
• p(C)=83+44 200 =127
200: p(C)=127 200
2. A∩Best événement « le client part en famille et préfère le camping ».
A∪Best événement « le client part en famille ou préfère le camping ».
p(A∩B)= 26 200= 13
100: p(A∩B)= 13 100 . p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B)=110
200+ 44 200− 26
200=128 200=16
25; p(A∪B)=16 25 .
