Correction du contrôle commun n
o1
EXERCICE I
Partie A
On considère l’algorithme ci-contre : Si a+b6=0
m← 4 a+b Sinon
m←0 On choisita=1
2etb=1 3.
a+b6=0, donc on considère la première partie de l’algorithme :m= 4 a+b= 4
12+13= 4
36+26 =4
56
=4×6 5=24
5 : m=24
5 (réponse 2) Partie B
On considère la pyramide ABCDE ci-contre, de base carrée telle que AB=3 cm et de hauteur 4 cm.
Le volume d’un pyramide estV =1
3×aire de base×hauteur.
Ici :V =1
3×32×4=3×4=12 cm3. (réponse 2)
+
A+
BC
+
D
+
+
EPartie C
Pour chacune des deux questions suivantes, cocher la (ou les) bonne(s) réponse(s).On ne demande pas de justification.
1. x∈] 0 ;+∞[ signifie que : x>0
2. Dans un repère du plan, la courbe représentative d’une fonctiong passe par le point Ade coordonnées (−1;2). Alors : g(−1)=2
Partie D
On a représenté ci-contre la courbe représentative d’une fonctionf :
•
•
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4 5
1. L’image de 2 parf est 3; f(2)=3
2. Les antécédents de−3 parf sont -3,8; -2 et 5.
3. Tableau de signes de la fonctionf :
x −5 −4,3 −0,2 4 5 f(x) + 0 − 0 +0−
4. On cherche les abscisses des points de l courbe ayant une or- donnée supérieure ou égale à 2.
L’ensemble des solutions est S=[−5 ;−4,7]∪[1 ; 3].
EXERCICE II
Partie A
Soitf la fonction définie surRparf(x)= −30x+6000.
1. L’image de 150 parf etf(150)= −30×150+6000=1500 . 2. f
µ2 3
¶
= −30×2
3+6000= −10×2+6000= −20+6000=5980; f µ2
3
¶
=5980. 3. xest un antécédent de 0 parf sif(x)=0.
f(x)=0 équivaut à−30x+6000=0 doncx= −6000
−30 =200.
L’antécédent de 0 parf est 200. 4. Tableau de variations de f:
le coefficient directeur def est -30, négatif, doncf est décroissante.
x −∞ +∞
f(x)
❅❅
❅❘ 5. Tableau de signes de f:
f est décroissante puisque son coefficient directeur est -30, négatif et s’annule en 200. On en déduit le tableau de signes :
x −∞ 200 +∞
f(x) + 0 − Partie B
On a mis en culture des bactéries. Au départ, il y a 6 000 bactéries. On injecte un produit toxique, et, après 2 h 30, la population de bactéries est de 1500.
On considère que la relation entre le temps et le nombre de bactéries dans la culture est une fonction affine.
1. 2 h 30 = 150 minutes. Notonsg(x) le nombre de bactéries aprèsxminutes.
On ag(0)=6000 (nombre de bactéries à l’instantx=0) doncg(x)=mx+6000.
g(150)=1500 doncm×150+6000=1500 d’oùm=1500−6000
150 = −4500 150 = −30.
Par conséquent :g(x)= −30x+6000 donc g(x)=f(x).
2. (a) D’après la partie A, toutes les bactéries sont mortes pourx=200, donc au bout de 3 h 20 min. (b) La population est réduite de moitié sif(x)=3000.
On doit avoir−30x+6000=3000 donc−30x= −3000 d’oùx=100.
Cette population est réduite de moitié au bout de 100 min, donc au bout de 1 h 40 min.
EXERCICE III
Violaine et Mickaël sont des fans de basket-ball. Ils ont relevé le nombre de paniers mis par leur joueur préféré, respectivement Eric et Florian, lors de 74 matchs.
Partie A
Violaine a rassemblé les résultats de son joueur préféré Éric lors des 74 matchs dans le tableau suivant :
Nombre de paniers 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Nombre de matchs 2 1 5 10 0 2 7 10 6 5 7 14 5
Effectifs cumulés croissants 2 3 8 18 18 20 27 37 43 48 55 69 74
1. Tableau complété ci-dessus.
2. Calculer le pourcentage, arrondi à 0,1 % près, de matchs pour lesquels le joueur Eric a mis : (a) Éric a mis au moins 7 paniers lors de 47 matchs (car 74-27=47) ;47
74≈0,635=63,5
100 =63,5 %.
Éric a mis au loins 7 paniers dans 63,5 % des matchs.
(b) Il a mis strictement moins de 5 paniers lors de 18 matchs ; 18
74≈0,243≈24,3
100 =24,3 % Il a mis strictement moins de 5 paniers dans environ 24,3 % des matchs.
3. (a) Le nombre moyen de paniers mis par Éric est : x=(0×2)+ ··· +(12×5)
74 =540
74 =270
37 ≈7,3. x≈7,3. (b) L’effectif total estN=74, nombre pair.N
2 =37.
Le nombre médian estx37+x38
2 =7+8 2 =7,5.
Le nombre médian de paniers mis par Éric est 7,5.
(c) N
4 =18,5; le plus petit entier supérieur ou égal à 18,5 est 19, donc le premier quartile estQ1=x19=5 3×N
4 =55,5; le plus petit entier supérieur ou égal à 55,5 est 56, donc le troisième quartile estQ3=x56=11.
Q1=5 et Q3=11. Partie B
Mickaël, quant à lui, a regroupé le nombre de paniers mis par son joueur préféré, Florian, lors des 74 matchs de la façon suivante :
Nombre de paniers [0;3[ [3; 6[ [6; 9[ [9; 12]
Centre de classe 1,5 4,5 7,5 10,5
Nombre de matchs 14 10 25 25
Fréquence en % 18,9 13,5 33,8 33,8
F.C.C en % 18,9 32,4 66,2 100
1. Tableau complété ci-dessus.
2. Le nombre moyen de paniers mis par Florian par match est : x=(1,5×14)+ ··· +(10,5×25)
74 =516
74 =258
37 ≈7 à 0,1 près.
3. (a) Courbe des fréquences cumulées croissantes :
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
×
×
×
×
×
Q1 Me
Q3
(b) On trace les droites dont les points ont respectivement pour ordonnées 25, 50 et 75. On lit alors les abscisses des points d’intersection avec la courbe des fréquences cumulées croissantes.
On trouveMe≈7,6,Q1≈4,6 etQ3≈9,8
Partie C
Le nombre de paniers a la même étendue pour les deux joueurs ;
le nombre moyen de paniers marqués est supérieur pour Éric par rapport à Florian.
Pour Éric, l’intervalle interquartile est [5 ; 11] tandis que pour Florian, c’est [4,6 ; 7,8].
L’intervalle interquartile contient 50 % des paniers ; l’intervalle interquartile pour Florian est moins étendu que celui d’Éric ; Florian semble un peu plus régulier.
EXERCICE IV
On considère le tableau de variation d’une fonctionf suivant :
x 0 1 3 7 8
f(x) 6❅
❅❅❘ 3
✒5❅
❅❅❘
−2
✒0
1. L’ensemble de définition def est [0; 8].
2. Le minimum def est -2, atteint pourx=7.
3. Un antécédent de 3 parf est 1.
4. Sur [3 ; 7], f est décroissante. Un encadrement de f(x) pourx∈[3 ; 7] est −2ÉxÉ5 .
5. • Sur [0; 1], f est décroissante ; les valeurs de f(x) sont comprises entre 3 et 6, donc 4 a un antécédent.
• Sur [1; 3],f est croissante ; les valeurs def(x) sont com- prises entre 3 et 5, donc 4 a un antécédent.
• Sur [3; 7], f est décroissante ; les valeurs de f(x) sont comprises entre -2 et 5, donc 4 a un antécédent.
• Sur [7; 8], f est croissante ; le maximum def(x) est 0, donc 4 n’a pas d’antécédent.
On en déduit que 4 a trois antécédents, un dans [0; 1], un dans [1; 3] et un dans [3; 7].
6. Sur [1; 3],f est croissante ; 2 et 3 appartient à cet intervalle.
2<3 donc f(2)<f(3). 7. 1
2∈[0 ; 1],f est décroissante sur cet intervalle doncf µ1
2
¶
est compris entre 3 et 6; 4∈[3 ; 7],f est décroissante sur cet intervalle doncf(4) est compris entre -2 et 5.
Avec ces renseignements, on ne peut pas comparer f µ1
2
¶
etf(4).
8. D’après le tableau de variation,f(1)=3 etf(7)= −2 donc f(1)>f(7).
9. f(7)= −2<0 donc la fonctionf n’est pas positive.
10. Tracer ci-dessous une courbe compatible avec le tableau de variation.
0 1
1
+ x
+ y
EXERCICE V
1. Placer, dans le repère orthonormé (0; I ; J) ci-dessous, les points A(-5; 1), B(3; 2) et C(-1; -6).
0+ +I J+
×
×
×
×
×
A
B
C
K
D
2. (a) K est le milieu du segment [BC].
xK=xB+xC
2 =3+(−1)
2 =1;yK=yB+yC
2 =2+(−6)
2 = −2; K a pour coordonnées : K(1 ;−2) (b) • AC=
q
(xC−xA)2+¡ xC−yA
¢2
=p
(−1−(−5))2+(−6−1)2=p
42+(−7)2=p
16+49= p 65 .
• AB= q
(xB−xA)2+¡
xB−yA¢2
=p
(3−(−5))2+(2−1)2=p
82+12=p
64+1= p 65.
• BC= q
(xC−xB)2+¡ xC−yB
¢2
=p
(−1−3)2+(−6−2)2=p
(−4)2+(−8)2=p
16+64= p 80=4p
5. (c) Le plus grand côté estBC=p
80 ; BC2=80;AB2+AC2=65+65=130.
BC26=AB2+AC2.
D’après lacontraposée du théorème de Pythagore, ABC n’est pas rectangle.
(d) AB=AC=p
65 donc ABC estisocèleen A.
3. D est le symétrique de A par rapport à K, donc K est le milieu de [AD].
On notexKetyKles coordonnées de K.
On en déduit : xK=xA+xD
2 donc 2xK=xA+xDd’oùxD=2xK−xA=2×1−(−5)=2+5=7.
yK=yA+yD
2 donc 2yK=yA+yDd’oùyD=2yK−yA=2×(−2)−1= −4−1= −5.
D a pour coordonnées D(7 ;−5).
4. Par construction, K est le milieu des diagonales [AD] et [BC] du quadrilatère ABDC donc ABDC est un parallélogramme.
Comm AB=AC, ce parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, c’est unlosange.
Comme ABC n’est pas rectangle, ce losange n’est pas un carré
