L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Correction du devoir de vacances Les suites dans plusieurs situations
Exercice 1 : Un pas vers les fractales
On consid`ere un carr´e F1 de cˆot´e de longueur 1. Au milieu de chaque cˆot´e, `a l’ext´erieur deF1, on place un carr´e de cˆot´e 1
3, dont on supprime le cˆot´e en contact avec la figure initiale. On obtient ainsi une figureF2.
F1
F2
On proc`ede de mˆeme avec F2. On obtient ainsi une nouvelle figure F3. En r´eit´erant le proc´ed´e, on construit ainsi une suite (Fn) de figures. On notepn le p´erim`etre deFn et An l’aire deFn.
1. TracerF3.
2. Exprimer en fonction den: (a) cn, le nombre de cˆot´es deFn,
(b) ln, la longueur de chaque cˆot´e deFn, (c) pn.
3. La suite (pn) converge-t-elle ? 4. ExprimerAn+1 en fonction deAn. 5. En d´eduireAn en fonction de n.
6. Montrer que (An) converge et calculer sa limite.
7. Quelles r´eflexions vous inspire ce probl`eme ? Correction
1. Trac´e deF3.
2. (a) Expression de cn, le nombre de cˆot´es deFn, en fonction den.
Lorsque l’on passe de Fn `a Fn+1, chacun des cˆot´es de Fn donne lieu `a 5 cˆot´es de la figure Fn+1, comme on le voit sur le dessin ci-dessous.
On a donccn+1= 5cnpour toutn∈N∗. La suite (cn) est donc g´eom´etrique, de raison 5. Son premier terme ´etantc1= 4 (F1 a 4 cˆot´es), on a donc
cn= 4×5n−1 pour toutn∈N∗. (b) Expression deln, la longueur de chaque cˆot´e deFn, en fonction den.
D’apr`es l’´enonc´e, la longueur d’un cˆot´e de Fn+1 vaut 1
3 de la longueur d’un cˆot´e deFn. (On peut v´erifier cette relation sur la figure ci-dessus.) On a doncln+1= 1
3ln pour toutn∈N∗. La suite (ln) est donc g´eom´etrique, de raison 1
3. Son premier terme ´etantl1 = 1 (un cˆot´e deF1 a pour longueur 1), on a donc
ln = 1
3 n−1
pour toutn∈N∗. (c) Expression depn en fonction de n.
Tous les cˆot´es deFn ont mˆeme longueur (ln). On a donc
p´erim`etre deFn = (nombre de cˆot´es deFn)×(longueur d’un cˆot´e deFn).
On a donc
pn=cn×ln= 4×5n−1× 1
3 n−1
= 4× 5
3 n−1
pour toutn∈N∗. 3. ´Etude de la convergence de la suite (pn).
D’apr`es 2.(c), la suite (pn) est g´eom´etrique, de raison q= 5
3 >1 et de premier termep1= 4>0. D’apr`es le cours, la suite (pn) diverge et on a lim
n→+∞pn= +∞. 4. Expression deAn+1 en fonction de An.
D’apr`es la construction de la figureFn+1 `a partir de la figureFn, on a :
aire deFn+1= (aire deFn) + (nombre de cˆot´es deFn)× aire d’un carr´e de cˆot´e de longueur 1
3 de la longueur d’un cˆot´e deFn
!
On a donc An+1=An+cn×
1 3ln
2
=An+ 4×5n−1
× 1 3×
1 3
n−1!2
=An+4 9×
5 9
n−1
pour toutn∈N∗. 5. Expression deAn en fonction de n.
D’apr`es 4., la suite (An+1−An) est g´eom´etrique, de raison 5
9 et de premier termeA2−A1= 4
9.D’apr`es le cours, on dispose donc d’une formule pour la somme de ses N premiers termes, pour toutN ∈N∗ :
(∗) (AN+1−AN) + (AN −AN−1) +. . .+ (A3−A2) + (A2−A1) = (A2−A1)×
1−
5 9
N
1−5 9
.
Dans le membre de gauche de (∗), les termes −AN et AN, . . ., −A2 et A2 s’annulent et il ne reste que AN+1−A1. Le membre de droite de (∗) se simplifie pour donner 1−
5 9
N
. Ainsi a-t-on
AN+1−A1= 1− 5
9 N
pour toutN ∈N∗ c’est-`a-dire
AN+1=A1+ 1− 5
9 N
= 2− 5
9 N
pour toutN ∈N∗. CommeA1= 1 = 2−
5 9
0
, on a en fait
AN+1= 2− 5
9 N
pour toutN ∈N, ce qui se r´e´ecrit, en d´ecalant l’indice :
AN = 2− 5
9 N−1
pour toutN ∈N∗. 6. ´Etude de la convergence de la suite (An)
D’apr`es le cours sur les suites g´eom´etriques, la suite 5
9 n−1!
est convergente et sa limite est nulle, car sa raison est 5
9 et −1<5
9 <1. On en d´eduit que la suite (An) converge et que lim
n→+∞An= 2.
7. R´eflexion sur ce probl`eme.
Le p´erim`etre de Fn tend vers +∞et son aire tend vers 2, quandntend vers +∞. On peut donc trouver une figure de p´erim`etre arbitrairement grand et dont l’aire est voisine de 2. Ainsi, ce n’est pas parce qu’une figure a un grand p´erim`etre que son aire est ´egalement grande.
Exercice 2 : Suites et ´economie
Le 1er janvier 2005, Sabrina et Joanna ont plac´e chacune 3000 euros `a la banque.
– Sabrina a choisi un placement rapportant chaque ann´ee 5% d’int´erˆets simples (les int´erˆets sont ditssimples lorsqu’ils sont calcul´es chaque ann´ee `a partir du placement initial).
– Joanna a choisi un placement `a 4% d’int´erˆets compos´es (les int´erˆets sont dits compos´es lorsqu’ils sont calcul´es chaque ann´ee `a partir du capital de l’ann´ee pr´ec´edente).
Pour toutn∈N,on notesn le capital de Sabrina l’ann´ee 2005 +netjn le capital de Joanna l’ann´ee 2005 +n.
On admet que ni Sabrina ni Joanna ne retirent de l’argent de la banque.
1. Calculer les 4 premiers termes des suites (sn) et (jn).
2. (a) Montrer que (sn) est une suite arithm´etique et donner sa raison.
(b) En d´eduire l’expression desn uniquement en fonction den.
(c) D´eterminer la limite de la suite (sn).
3. (a) Montrer que (jn) est une suite g´eom´etrique et donner sa raison.
(b) En d´eduire l’expression dejn uniquement en fonction den.
(c) D´eterminer la limite de la suite (jn).
4. Repr´esenter sur votre calculatrice sur un mˆeme graphique les 20 premiers termes des deux suites. Discuter
`
a partir du graphique et suivant la valeur dendu placement le plus int´eressant.
Correction
1. Calcul des 4 premiers termes des suites (sn) et (jn).
D’apr`es l’´enonc´e, on a, pour tout n∈N:
(∗) sn+1=sn+ 0,05×3000 =sn+ 150 et jn+1=jn+ 0,04×jn.
s0= 3000 j0= 3000
s1=s0+ 150 = 3150 j1=j0+ 0,04×j0= 3120 s2=s1+ 150 = 3300 j2=j1+ 0,04×j1= 3244,8 s3=s2+ 150 = 3450 j2=j2+ 0,04×j2= 3374,592
2. (a) Preuve de l’assertion : (sn) est une suite arithm´etique.
D’apr`es (∗),sn+1−sn= 150 pour toutn∈N. Ainsi la suite (sn) est-elle arithm´etique de raison 150.
(b) Expression desn en fonction den.
(sn) est une suite arithm´etique, de raison 150 et de premier termes0= 3000. D’apr`es le cours, on a donc :
sn = 3000 + 150n pour toutn∈N. (c) ´Etude de la convergence de (sn).
De 2.(b), on d´eduit que lim
n→+∞sn= +∞.
3. (a) Preuve de l’assertion : (jn) est une suite g´eom´etrique.
D’apr`es (∗), jn+1 = 1,04×jn pour tout n ∈ N. Ainsi la suite (jn) est-elle g´eom´etrique de raison 1,04.
(b) Expression dejn en fonction de n.
(jn) est une suite g´eom´etrique, de raison 1,04 et de premier termej0= 3000. D’apr`es le cours, on a donc :
jn= 3000×(1,04)n pour toutn∈N. (c) ´Etude de la convergence de (jn).
D’apr`es 3.(a), la suite (jn) est g´eom´etrique, de raison q = 1,04 > 1. Son premier terme est j0= 3000>0. D’apr`es le cours, la suite (jn) diverge et on a lim
n→+∞jn= +∞.
4. Repr´esentation des 20 premiers termes des deux suites et discussion sur le placement le plus int´eressant en fonction de n.
Sur le graphique ci-apr`es, on a repr´esent´e les 20 premiers termes des suites (sn) (marqu´es d’un•) et (jn) (marqu´es d’un ×).
Le placement choisi par Sabrina est plus avantageux si le nombre d’ann´ees n est compris entre 1 et 11 ans, celui choisi par Joanna est plus int´eressant pour une dur´ee de placement sup´erieur. (Les points cor- respondant `as12etj12sont quasiment confondus sur le graphique, maiss12= 4800<4803,096656 =j12.)
3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
Exercice 3 : Suites et int´egrales
On consid`ere la suite (un) d´efinie pour toutn∈N∗par un=
Z n
n−1
e−x2 dx.
1. Calculeru1 etu2.
(a) Apr`es une rapide ´etude de la fonctionx7→e−x2 tracer la courbe de cette fonction.
(b) Donner une interpr´etation g´eom´etrique deu1,deu2puis deun pour unn∈N∗quelconque.
2. Calculerun et donner le r´esultat uniquement en fonction den.
3. Montrer que (un) est une suite g´eom´etrique et donner sa raison et son premier terme.
4. On note Sn la somme desnpremiers termes de la suite (un).
(a) Grˆace `a une formule du cours sur les suites g´eom´etriques, calculerSnet donner le r´esultat uniquement en fonction de n.
(b) Montrer que
Sn = Z n
0
e−x2 dx Donner une interpr´etation g´eom´etrique deSn.
(c) CalculerSngrˆace `a la question pr´ec´edente. V´erifier que le r´esultat trouv´e est le mˆeme qu’`a la question 4.a.
(d) D´eterminer la limite de Sn quand n tend vers +∞. Proposer une interpr´etation g´eom´etrique de votre r´esultat.
Correction
1. Calcul de u1 etu2.
La fonctionx7→ −2e−x2 d´efinie surRest une primitive de la fonctionx7→e−x2 d´efinie surR. Ainsi a-t-on :
u1= Z 1
0
e−x2dx=
−2e−x21
0= 2(1−e−12) et u2= Z 2
1
e−x2dx=
−2e−x22
1= 2(e−12 −e−1).
On peut remarquer que e−12 = 1
√e et quee−1=1
e. Les r´esultats pr´ec´edents peuvent donc se r´e´ecrire : u1= 2
1− 1
√e
et u2= 2 1
√e−1 e
.
(a) ´Etude de la fonction f d´efinie surRparf(x) =e−x2 et repr´esentation graphique def.
La fonctionf est d´erivable surR, comme compos´ee de deux fonctions d´erivables surR(x7→ −x2 et x7→ex). En appliquant le th´eor`eme donnant la d´eriv´ee d’une compos´ee, on obtient
f′(x) =−1
2e−x2 pour toutx∈R.
L’exponentielle ne prenant que des valeurs strictement positives, on en d´eduit que f′(x) <0 pour tout x∈R.Par suite, la fonction f est strictement d´ecroissante surR.
La limite def en +∞est 0. En effet :
x→lim+∞−x 2 =−∞
x→−∞lim ex= 0
composition
=⇒ de limites
x→lim+∞e−x2 = 0.
La courbe repr´esentative def dans le plan rep´er´e admet donc une asymptote horizontale d’´equation y= 0 en +∞.
La limite def en−∞est +∞. En effet :
x→−∞lim −x 2 = +∞
x→lim+∞ex= +∞
composition
=⇒ de limites
x→−∞lim e−x2 = +∞.
1 2
1 2 3 4 5 6 7 8
Courbe repr´esentative def
u1 u2
(b) Interpr´etation g´eom´etrique deu1,deu2puis deun pour unn∈N∗quelconque.
L’exponentielle ne prenant que des valeurs strictement positives, on en d´eduit que f(x) > 0 pour tout x∈R. D’apr`es l’interpr´etation g´eom´etrique d’une int´egrale de fonction positive, vue en cours, on a donc :
• u1est l’aire de la portion de plan d´elimit´ee par les trois droites d’´equationsy= 0,x= 0,x= 1 et la courbe repr´esentative def,
• u2est l’aire de la portion de plan d´elimit´ee par les trois droites d’´equationsy= 0,x= 1,x= 2 et la courbe repr´esentative def,
• et plus g´en´eralement,un est l’aire de la portion de plan d´elimit´ee par les trois droites d’´equations y= 0,x=n−1,x=net la courbe repr´esentative de f, pour toutn∈N∗.
2. Calcul de un.
On utilise `a nouveau la primitive def donn´ee en 1. pour effectuer le calcul deun. un =
Z n
n−1
e−x2dx=
−2e−x2n
n−1
= 2(e−n−21 −e−n2)
= 2(e(−n2+12)−e−n2)
= 2(e−n2 ×e12−e−n2)
= 2e−n2(e12 −1)
= 2(e12 −1)×(e−12)n On peut remarquer que e12 =√
eet que e−12 = 1
√e. On a donc aussi la forme suivante pourun :
un= 2 √ e−1
× 1
√e n
.
3. Preuve de l’assertion : (un) est une suite g´eom´etrique.
On vient de d´emontrer que un = 2 (√
e−1)× 1
√e n
, pour toutn ∈ N∗. La suite (un) est donc g´eom´etrique, de raison 1
√e. Son premier terme estu1= 2(√
e−1) 1
√e = 2
1− 1
√e
.
4. (a) Expression de Sn en fonction de n, au moyen d’une formule du cours sur les suites g´eom´etriques.
Sn = u1+u2+. . .+un
= 2
1− 1
√e
×
1−
1
√e n
1− 1
√e
(formule du cours)
= 2
1−
1
√e n
(b) Preuve deSn = Z n
0
e−x2 dx et interpr´etation g´eom´etrique.
Sn = u1+u2+. . .+un
= Z 1
0
e−x2 dx+ Z 2
1
e−x2 dx+. . .+ Z n
n−1
e−x2 dx
= Z n
0
e−x2 dx (relation de Chasles)
Snest donc l’aire de la portion de plan d´elimit´ee par les trois droites d’´equationy = 0,x= 0,x=n et la courbe repr´esentative de f (cf. 1.(b)).
n Sn
(c) Calcul deSn grˆace `a 4.(b).
On utilise une nouvelle fois la primitive def donn´ee en 1. pour effectuer le calcul deSn.
Sn = Z n
0
e−x2dx=
−2e−x2n
0
= 2(1−e−n2)
= 2(1−(e−12)n)
= 2
1−
1
√e n
(care−12 = 1
√e) (d) ´Etude de la convergence de (Sn) et interpr´etation g´eom´etrique.
On sait queSn= 2
1− 1
√e n
pour toutn∈N∗. D’apr`es le cours sur les suites g´eom´etriques, la suite
1
√e n
est convergente et sa limite est nulle, car sa raison est 1
√e et−1< 1
√e <1. On en d´eduit que (Sn) converge et que lim
n→+∞Sn = 2.
D’apr`es l’interpr´etation g´eom´etrique de Sn donn´ee en 4.(b), la limite deSn, qui vaut 2, correspond
`a l’aireAde la portion (infinie) du plan d´elimit´ee par les deux droites d’´equationy= 0,x= 0 et la courbe repr´esentative de f.
A
Exercice 4 : Suites et probabilit´es
Alice d´ebute au jeu de fl´echettes. Elle effectue des lancers successifs d’une fl´echette. On admet les renseignements suivants :
– a) Si elle atteint la cible `a un lancer, alors la probabilit´e qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est
´egale `a 1 3.
– b) Si elle manque la cible `a un lancer, la probabilit´e qu’elle manque la cible au lancer suivant est ´egale `a 4
5.
– c) Au premier lancer, elle a autant de chance d’atteindre la cible que de la manquer.
Pour toutn∈N,on consid`ere les ´ev´enements suivants : An : ”Alice a atteint la cible aune coup ”.
Bn : ”Alice a manqu´e la cible aunecoup ”.
On notepn=p(An) la probabilit´e de l’´ev´enementAn.
1. Dresser un arbre pour repr´esenter cette exp´erience al´eatoire. Faire figurer les renseignementsa), b)et c) dans cet arbre.
2. Compl´eter l’arbre pour les 3 premiers lancers. Expliquer votre d´emarche en utilisant des formules du cours.
3. D´eterminerp1et p2,en justifiant votre d´emarche grˆace `a des formules du cours.
5. En utilisant la formule des probabilit´es totales, montrer que, pour toutn≥2,on a pn = 2
15pn−1+1 5. 6. Pour n ≥ 1, on poseun = pn− 3
13. Montrer que (un) est une suite g´eom´etrique, dont on pr´ecisera le premier terme et la raison.
7. D´eterminerun puispn en fonction de n.
8. D´eterminer lim
n→+∞ pn et interpr´eter ce r´esultat.
Correction
1. et 2. Arbre repr´esentant l’exp´erience al´eatoire, dont les trois premiers lancers.
. . . .. .
1/2
1/2
1/3
1/5 2/3
4/5
1/3 2/3
1/5 4/5
1/3 2/3
1/5
4/5
1/3 2/3
1/5
4/5
1/3 2/3 1/5 4/5
bA3
bB3
bA3
bB3
bA3
bB3
bA3
bB3
b
A2
b
B2
b
B2
b
A2
b
A1
b
B1
b b
An+1
b
Bn+1
b
An
b
An+1
b
Bn+1
b
Bn
bAn
b
Bn
b
An+1
b
Bn+1
b
An+1
b
Bn+1
Pour placer certaines probabilit´es sur les branches de l’arbre, on a appliqu´e la formule du cours P(A) = 1−P(A),
o`uAest un ´ev´enement et Al’´ev´enement contraire.
3. Calcul de p1et p2. On a p1=P(A1) = 1
2 et
p2=P(A2) = P(A1)×P(A2|A1) +P(B1)×P(A2|B1) (th´eor`eme des probabilit´es totales)
= 1
2 ×1 3 +1
2×1 5 = 4
15.
4. ´Etude de l’ind´ependance des ´ev´enementsA1 etA2. On a P(A1∩A2) =P(A1)×P(A2|A1) = 1
2 ×1 3 = 1
6. Or P(A1)×P(A2) = 1 2 × 4
15 = 2 15 6= 1
6. Les
´ev´enementsA1 etA2ne sont donc pas ind´ependants.
5. Preuve de l’assertion : pour toutn≥2,on apn = 2
15pn−1+1 5.
Soitn≥2. On a
pn=P(An) = P(An−1)×P(An|An−1) +P(Bn−1)×P(An|Bn−1) (th´eor`eme des probabilit´es totales)
= pn−1×1
3+ (1−pn−1)×1
5 (Bn−1=An−1 et P(An−1) = 1−P(An−1))
= 2
15pn−1+1 5.
6. Preuve de l’assertion : (un) est une suite g´eom´etrique.
Soitn≥1.
un+1=pn+1− 3 13 = 2
15pn+1 5 − 3
13 = 2
15pn− 2 65 = 2
15
pn− 3 13
= 2 15un. La suite (un) est donc g´oem´etrique, de raison 2
15. Son premier terme estu1=p1− 3 13= 7
26. 7. Expressions deun etpn en fonction den.
D’apr`es le cours et 6., on aun= 7 26×
2 15
n−1
, pour toutn∈N∗. Ainsi a-t-on
pn= 3
13+un= 3 13+ 7
26× 2
15 n−1
pour tout n ∈N∗. 8. Calcul de lim
n→+∞ pn et interpr´etation du r´esultat.
D’apr`es le cours sur les suites g´eom´etriques, la suite 2
15 n−1!
est convergente et sa limite est nulle, car sa raison est 2
15 et−1< 2
15 <1. On en d´eduit que la suite (pn) converge et que lim
n→+∞pn= 3 13. On en d´eduit qu’apr`es avoir lanc´e un grand nombre de fois, Alice touchera la cible au lancer suivant avec une probabilit´e voisine de 3
13.
