Inspection p´edagogique r´egionale de math´ematiques version septembre 2005
Enseigner la g´ eom´ etrie, raisonner et d´ emontrer d` es la classe de sixi` eme
La g´eom´etrie `a l’´ecole primaire
«L’une des finalit´es du travail relatif `a la g´eom´etrie `a l’´ecole ´el´ementaire est d’amener les ´el`eves `a passer d’une reconnaissance perceptive des objets math´ematiques du plan et de l’espace `a une connaissance de ces objets appuy´ee sur certaines propri´et´es, v´erifi´ees `a l’aide d’instruments. Il s’agit ´egalement de favoriser la mise en place d’images mentales pour les principaux concepts rencontr´es ( ) et pour les objets g´eom´etriques courants ( ). . ..»Cette g´eom´etrie est donc essentiellement exp´erimentale, mˆeme si quelques questions n´ecessitant des d´eductions doivent d´ej`a ˆetre propos´ees. Elle est organis´ee autour de cinq grands types de probl`emes : reproduire, d´ecrire, repr´esenter, construire, localiser»(«Articulation
´ecole coll`ege », document d’accompagnement des nouveaux programmes de l’´ecole primaire, 2002).
La g´eom´etrie au coll`ege
Les citations qui suivent sont tir´ees du chapitre intitul´e « MATHEMATIQUES - INTRODUCTION POUR LE COLLEGE », extrait des nouveaux programmes de math´ematiques (BO Hors –s´erie n˚5 09/09/2004). - Dans « Finalit´es et objectifs », les math´ematiques sont d´ecrites comme discipline de formation g´en´erale : «A travers la r´esolution de probl`emes, la mod´elisation de quelques situations et` l’apprentissage progressif de la d´emonstration, les ´el`eves prennent conscience petit `a petit de ce qu’est une v´eritable activit´e math´ematique ». - Dans l’ « Organisation des contenus », le premier objectif assign´e `a la G´eom´etrie est de « passer de l’identification perceptive (reconnaissance par la vue) de figures et de configurations `a leur caract´erisation par des propri´et´es (passage du dessin `a la figure)»; un autre objectif est de«se constituer un premier r´epertoire de th´eor`emes et apprendre `a les utiliser.» - Dans l’«Organisation des apprentissages et de l’enseignement», au paragraphe consacr´e `a«Une ini- tiation progressive `a la d´emonstration», on trouve les indications suivantes :«La question de la preuve occupe une place centrale en math´ematiques. La pratique de l’argumentation pour convaincre autrui de la validit´e d’une r´eponse, d’une solution ou d’une proposition ou pour comprendre un«ph´enom`ene» math´ematique a commenc´e d`es l’´ecole primaire et se poursuit au coll`ege pour faire acc´eder l’´el`eve `a cette forme particuli`ere de preuve qu’est la d´emonstration...»
A cet ´egard, deux ´etapes doivent ˆetre distingu´ees : la recherche et la production d’une preuve, d’une` part, la mise en forme de cette preuve, d’autre part. Le rˆole essentiel de la premi`ere ´etape (production d’une preuve) ne doit pas ˆetre occult´e par des exigences trop importantes sur la deuxi`eme (mise en forme de la preuve). Pour cela, la responsabilit´e de produire les ´el´ements d’une d´emonstration doit ˆetre progressivement confi´ee aux ´el`eves. `A partir des ´el´ements qu’ils fournissent, la mise en forme peut, elle, ˆetre r´ealis´ee collectivement, avec l’aide de l’enseignant. La prise de conscience de ce qu’est la recherche et la mise en œuvre d’une d´emonstration est ´egalement facilit´ee par le fait que, en certaines occasions, l’enseignant se livre `a ce travail devant la classe, avec la participation des ´el`eves. Cette initiation `a la d´emonstration doit en particulier permettre aux ´el`eves de distinguer une propri´et´e conjectur´ee et v´erifi´ee sur des exemples d’une propri´et´e d´emontr´ee. En particulier, l’enseignant doit pr´eciser expli- citement qu’un r´esultat math´ematique qui n’est pas d´emontr´e est admis ». - L’ «Organisation des apprentissages et de l’enseignement»insiste par ailleurs sur la«prise en compte des connaissances an- t´erieures des ´el`eves»:«Il convient de faire fonctionner les notions et “outils“ math´ematiques ´etudi´es au cours des ann´ees pr´ec´edentes dans de nouvelles situations, autrement qu’en reprise ayant un caract`ere
I. LES R `EGLES DU JEU
L’enseignement de la g´eom´etrie en classe de sixi`eme
Au d´ebut du paragraphe consacr´e `a la g´eom´etrie du programme de sixi`eme, on lit :«A l’´ecole ´el´emen-` taire, les ´el`eves ont acquis une premi`ere exp´erience des figures et des solides les plus usuels, en passant d’une reconnaissance perceptive (reconnaissance des formes) `a une connaissance plus analytique pre- nant appui sur quelques propri´et´es (alignement, perpendicularit´e, parall´elisme, ´egalit´e de longueurs, milieu, axes de sym´etrie) v´erifi´ees `a l’aide d’instruments. Ils ont ´et´e entraˆın´es au maniement de ces instruments (´equerre, r`egle, compas, gabarit) sur des supports vari´es, pour construire des figures, en particulier pour le trac´e de perpendiculaires et de parall`eles `a l’aide de la r`egle et de l’´equerre. Les tra- vaux conduits en sixi`eme prennent en compte les acquis ant´erieurs, ´evalu´es avec pr´ecision et ob´eissent
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a de nouveaux objectifs. Ils doivent viser d’une part `a stabiliser les connaissances des ´el`eves et d’autre part `a les structurer, et peu `a peu `a les hi´erarchiser. L’objectif d’initier `a la d´eduction est aussi pris en compte. `A cet effet, les activit´es qui permettent le d´eveloppement des capacit´es `a d´ecortiquer et `a construire des figures et des solides simples, `a partir de la reconnaissance des propri´et´es ´el´ementaires, occupent une place centrale». Plus loin, les commentaires sur la sym´etrie axiale pr´ecisent : «dans la continuit´e du travail entrepris `a l’´ecole ´el´ementaire, les activit´es s’appuient encore sur un travail exp´erimental (pliage, papier calque) permettant d’obtenir un inventaire abondant de figures simples,
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a partir desquelles sont d´egag´ees les propri´et´es de ”conservation” de la sym´etrie axiale (conservation des distances, de l’alignement, des angles et des aires)».
L’enseignement de la g´eom´etrie en classe de sixi`eme constitue donc une charni`ere entre celui d’une g´eom´etrie surtout perceptive, dans les classes ant´erieures et celui d’une g´eom´etrie d´eductive o`u la d´emonstration joue un rˆole essentiel, dans la suite du cursus scolaire. Il s’agit donc, entre autres, de favoriser progressivement l’acc`es `a la compr´ehension d’une des activit´es sp´ecifiques des math´ematiques que constitue la d´emonstration. Ce qui suit pourrait faire partie de«pierres d’attente»de cette activit´e fondamentale avant qu’elle ne soit formalis´ee.
I. Les r` egles du jeu
Les motsexp´erience, description, trac´e, d´eduction, d´efinitionetpropri´et´esont des mots-cl´es de l’enseignement de la g´eom´etrie au coll`ege, li´es entre eux mais de statuts diff´erents dont il convient de bien connaˆıtre le rˆole pour clarifier et articuler la d´emarche math´ematique .
L’exp´eriencerel`eve de la g´eom´etrie perceptive, d´eduction, d´efinitionetpropri´et´erel`event de la g´eom´etrie d´eductive, descriptionettrac´esont communs aux deux.
Ces deux g´eom´etries s’appuient l’une sur l’autre mais sont distinctes et il est important de connaˆıtre le cadre dans lequel on r´esout un probl`eme. Par exemple, un carr´e n’estpas per¸cu(habituellement) comme un losange, mais il en a les propri´et´es doncun carr´e est un losange en g´eom´etrie d´e- ductive. Ainsi le«on voit sur la figure» peut conduire `a une conjecture mais ne saurait ˆetre une justification.
Les « r`egles du jeu » changent lorsque l’on passe d’une g´eom´etrie perceptive `a la g´eo- m´etrie d´eductive. Il convient de le dire explicitement. Plus pr´ecis´ement, en g´eom´etrie d´eductive
– toute d´efinition est r´edig´ee en termes math´ematiques : les termes ont un sens univoque et ont ´et´e pr´ealablement d´efinis ;
– toute propri´et´e est ´etablie et ne peut ˆetre ´etablie qu’`a partir de d´efinitions ou/et de propri´et´es d´ej`a connues et par d´eductions, `a moins qu’elle ne soit admise.
II. TRAVAUX SUR LES FIGURES : CODAGES ET CONSTRUCTIONS
Exemple et contre-exemple
1. Sachant pr´ealablement ce que sont deux droites perpendiculaires, qu’il n’y a qu’une seule droite perpendiculaire `a une droite donn´ee passant par un point donn´e et ce qu’est le milieu d’un segment, on d´efinit la m´ediatrice d’un segment : « La m´ediatrice d’un segment est la droite perpendiculaire `a ce segment en son milieu ».
2. Un manuel propose en d´ebut du chapitre«Sym´etrie axiale»une activit´e intitul´ee :«Reconnaˆıtre des figures sym´etriques». On lit, pr´ec´edant deux figures encadr´ees, le texte suivant :«Si on plie la figure 1 suivant la droite (d), les deux parties se superposent. La droite (d) est axe de sym´etrie». Un autre texte pr´ec`ede alors six dessins, de formes vari´ees, num´erot´ees de 3 `a 8 : «Les figures 3 `a 8 ont-elles un axe de sym´etrie ? Si oui, les d´ecalquer et tracer cet axe de sym´etrie». Pour r´epondre `a la question je ne peux qu’imaginer ce qui se passerait si je pliais chacun des dessins suivant une droite tout aussi imaginaire. Si je trouve de par mon imagination un axe de sym´etrie tel que le d´ecrit le manuel, je n’ai alors d’autre justification possible que si, apr`es avoir d´ecalqu´e le dessin, je plie le dessin suivant cette droite et constate que deux parties se superposent. Ou bien, j’imagine qu’aucune droite ne peut ˆetre un axe de sym´etrie, mais je ne peux ´evidemment pas le justifier exp´erimentalement. Autrement dit, c’est avec un«on voit sur la figure»que l’on r´epond `a la question du manuel.
Ce mˆeme manuel encadre de rouge, dans le paragraphe intitul´e «Connaissances», le texte suivant :
«Deux figures sont sym´etriques par rapport `a un axe, si, en pliant suivant l’axe, les deux figures se superposent». Passons sur le mot «axe», car `a ce stade le mot axe n’avait pas de sens pr´ealablement et il vaudrait mieux le remplacer par le mot « droite». Il ne s’agit ´evidemment pas d’une d´efinition math´ematique. Cette affirmation rel`eve de la perception, du domaine sensible. Elle est op´eratoire exp´e- rimentalement dans le cas particulier de dessins tr`es pr´ecis que l’on peut d´ecalquer, et sans possibilit´e de v´erification dans une multitude de cas ( pensons `a la peinture, aux oeuvres d’art, aux ´el´ements naturels, aux objets d’usage courant,...). On voit bien l`a les limites d’une telle activit´e.
Je ne dispose donc pas l`a d’une d´efinition math´ematique de deux figures sym´etriques par rapport `a une droite.«Deux figuresF1 etF2 sont sym´etriques par rapport `a une droitedsignifie que tout point de F1 a pour sym´etrique par rapport `a d un point de F2 et que tout point deF2 a pour sym´etrique par rapport `a d un point de F1» serait une d´efinition math´ematique, une fois acquise la d´efinition d’un point sym´etrique d’un point donn´e par rapport `a une droite. Voil`a qui donne alors des outils de v´erification et de d´emonstration de r´esultats que l’on obtient ainsi par le raisonnement.
Remarque : ceci ´etant dit, l’activit´e math´ematique est faite de perception (importance des figures) et de raisonnement (importance des « r`egles du jeu »). On verra plus loin comment le cours de math´ematiques se bˆatit `a partir de d´efinitions math´ematiques et de propri´et´es admises `a partir de l’exp´erience. C’est`a partir de ces d´efinitions et ces propri´et´es«fondatrices»que l’on obtiendra par d´eduction des r´esultats math´ematiques, le tout permettant alors de r´esoudre math´ematiquement des probl`emes.
II. Travaux sur les figures : codages et constructions
Une figure est d´efinie et ne peut ˆetre d´efinie que par des propri´et´es, ´enonc´ees en termes math´ematiques, qui la caract´erisent. Elle n’a de sens que si ces propri´et´es sont mention- n´ees par un texte math´ematique ou par un codage. Le trac´e de cette figure se fait – soit `a l’aide d’instruments dont le statut doit ˆetre pr´ecis´e : ils sont impos´es et n´eces-
sitent de d´eterminer les propri´et´es de la figure les mieux adapt´ees `a ces instruments, ou laiss´es au choix pour utiliser au mieux les propri´et´es donn´ees de la figure,
II. TRAVAUX SUR LES FIGURES : CODAGES ET CONSTRUCTIONS
1. Exercices de codage
– `A partir d’un ´enonc´e, faire la figure et la coder (directement sur la figure et en y ajoutant certaines donn´ees si besoin est (par exemple (AB)//(CD)).
– ´Ecrire les propri´et´es d’une figure cod´ee donn´ee, apr`es l’avoir reproduite.
2. Exercices de construction
– Programme de construction d’une figure donn´ee (figure cod´ee ou d´ecrite par ses propri´et´es).
– Exercices sugg´er´es par le document « les travaux g´eom´etriques au d´ebut du coll`ege : une transition entre une g´eom´etrie d’observation et une g´eom´etrie de d´emonstration » dans le fascicule « MATHEMATIQUES en classe de sixi`eme» de l’acad´emie de Strasbourg (La mise en œuvre du programme 1996, fascicule 2, Rectorat de Strasbourg).
3. Exercices du type :« Sachant que... , peut-on affirmer que. . . ?» Sachant que... , peut-on affirmer que. . . ?
– si oui, expliquer pourquoi
– si non, indiquer la ou les donn´ees manquantes ou faire une figure cod´ee de contre-exemple.
Exemples tir´ es de « Ressources pour le programme de sixi` eme » de l’IREM de Strasbourg
A
B C
I D A
B C
I D
Les points B,I etC sont align´es
III. ARCHITECTURE DU COURS, S ´EQUENCES D ´EDUCTIVES
Sur la figure de gauche, peut-on af- firmer que le pointC appartient `a la m´ediatrice du segment [AD] ?
R´eponse :
non, car rien ne dit que la droite (BC) coupe [AD] en son milieu.
ou: non ; contre-exemple :
A
B C
I D
Sur la figure de droite, peut-on affirmer que le point C appartient `a la m´ediatrice du segment [AD] ?
R´eponse:
Oui, car I est `a ´egale distance de Aet deD, et B est `a ´egale distance deAet de D; donc (IB) est la m´ediatrice de [AD]. Le point C est align´e avec I et B, donc il appartient `a la m´ediatrice de [AD].
III. Architecture du cours, s´ equences d´ eductives
d´efinitions propri´et´es exp´erience description math´ematiques d´eduction de figures
propri´et´es et r´esolution de
« fondatrices» probl`emes
1. De l’ exp´erience`a une d´efinition d’un objet math´ematique et `a ses propri´et´es Exemple : la sym´etrie axiale
N.B. Un objectif principal du programme est d’ « utiliser des propri´et´es de la sym´etrie axiale, reli´ees aux notions de m´ediatrice d’un segment et de bissectrice d’un angle ». Rappelons que le programme pr´ecise par ailleurs (voir plus haut) que « dans la continuit´e du travail entrepris
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a l’´ecole ´el´ementaire, les activit´es s’appuient encore sur un travail exp´erimental (pliage, papier calque) permettant d’obtenir un inventaire abondant de figures simples, `a partir desquelles sont d´egag´ees les propri´et´es de «conservation» de la sym´etrie axiale (conservation des distances, de l’alignement, des angles et des aires)».
Exp´erience : le pliage
D´efinition : la sym´etrie axiale
III. ARCHITECTURE DU COURS, S ´EQUENCES D ´EDUCTIVES
N.B. La m´ediatrice d’un segment a ´et´e d´efinie pr´ealablement comme droite perpendiculaire `a ce segment en son milieu (d´efinition qui permet son trac´e `a la r`egle gradu´ee et `a l’´equerre). Il faut noter que l’existence et l’unicit´e du point B dans la d´efinition ci-dessus sont admis.
Propri´et´es « fondatrices » : elles sont les « transcriptions math´ematiques » de certaines propri´et´es du pliage mises en ´evidence exp´erimentalement : image d’une droite, d’un segment, conservation des distances (entre deux points, d’un point `a une droite), des angles, de l’ortho- gonalit´e. Un choix est op´er´e par l’enseignant. Ce choix est guid´e par des crit`eres de coh´erence, d’efficacit´e et de simplicit´e. Il peut ˆetre fonction du public auquel on s’adresse.
2. De propri´et´es en propri´et´es : exemples ded´eductions
Remarque pr´ealable : les d´emonstrations qui suivent ne constituent pas des objec- tifs d’enseignement. Elles justifient l’articulation des ´el´ements du cours, l’ordre de pr´esentation des notions et des propri´et´es. Certaines d’entre elles seront pr´esent´ees aux ´el`eves pour illustrer la d´emarche d´eductive, voire mˆeme pour les initier `a cette d´emarche.
(a) La m´ediatrice d’un segment
La propri´et´e directe «Tout point de la m´ediatrice d’un segment est ´equidistant des extr´e- mit´es de ce segment» ou « Soitd la m´ediatrice du segment [AB]. SiM est un point de d, alors M A = M B » peut ˆetre d´eduite de la propri´et´e de conservation des distances de la sym´etrie orthogonale. La propri´et´e r´eciproque « Soit d la m´ediatrice du segment [AB]. Si M A=M B, alors M est un point ded» sera admise en classe de sixi`eme et pourrait ˆetre d´emontr´ee en cinqui`eme ( voir en annexe ). Cette propri´et´e justifie la construction de la m´ediatrice d’un segment `a la r`egle et au compas. On ne pr´esentera donc cette construction qu’apr`es avoir explicit´e cette propri´et´e.
N.B.1. On peut noter au passage l’int´erˆet de la seconde r´edaction de la propri´et´e directe pour passer `a celle de la propri´et´e r´eciproque. Le contexte (soit dla m´ediatrice du segment [AB])reste inchang´e. Seuls les contenus des ´enonc´es apr`es« si. . .alors» sont ´echang´es.
N.B.2. `A ce stade, il convient de d´efinir un axe de sym´etrie d’une figure.
(b) Les axes de sym´etrie d’un losange
La propri´et´e« les diagonales sont axes de sym´etrie du losange » se d´eduit de la propri´et´e r´eciproque pr´ec´edente assez simplement. Il s’agit de travailler en deux temps et de d´emontrer dans un premier temps qu’elles sont les m´ediatrices des diagonales.
(c) La bissectrice d’un angle
D´efinition : la bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de mˆeme mesure.
Propri´et´e: la bissectrice d’un angle est un axe de sym´etrie de cet angle.
D´emonstration :
SoitOz la bissectrice de l’angle xOy. On ad xOzd =zOy.d
On note Ox′ la demi-droite sym´etrique de la demi-droite Oxpar rapport `a Oz.
On a xOzd =zOx[′. On en conclut que Ox′ n’est autreOy.
Cette propri´et´e justifie la construction de la bissectrice d’un angle `a la r`egle et au compas.
L’´enonc´e de la propri´et´e pr´ec´edera donc la construction.
La propri´et´e directe « Soit d la bissectrice d’un angle. Si M est un point de d, alors M est ´equidistant des deux cˆot´es de cet angle»peut ˆetre d´eduite des propri´et´es de la sym´etrie orthogonale. La propri´et´e r´eciproque«Soitdla bissectrice d’un angle. SiM est ´equidistant des deux cˆot´es de cet angle, alors M est un point de d» sera admise en classe de sixi`eme et pourrait ˆetre d´emontr´ee en cinqui`eme ( voir en annexe ).
(d) Les axes de sym´etrie d’un rectangle
La structure mˆeme de la d´emonstration apparaˆıt nettement plus compliqu´ee que dans le cas du losange. Le pliage peut «suffire» `a admettre le r´esultat (voir en annexe).
(e) Propri´et´es du rectangle
Remarque : on s’appuie sur la d´efinition du rectangle et sur les propri´et´es :«Si deux droites
III. ARCHITECTURE DU COURS, S ´EQUENCES D ´EDUCTIVES
sont perpendiculaires `a une mˆeme troisi`eme, alors elles sont parall`eles»et«si deux droites sont parall`eles, alors toute droite perpendiculaire `a l’une est perpendiculaire `a l’autre ». D´efinition : le rectangle
«Un rectangle est un quadrilat`ere dont les quatre angles sont droits » Propri´et´es :
i. «Les cˆot´es d’un rectangle sont deux `a deux parall`eles ».
La d´emonstration ne n´ecessite qu’un seul pas avec la propri´et´e pr´ec´edente.
ii. «Soit un quadrilat`ere. S’il a trois angles droits alors c’est un rectangle». Deux pas de d´emonstration sont ici n´ecessaires.
N.B. La premi`ere propri´et´e peut ˆetre per¸cue comme ´evidente, la seconde un peu moins. Il s’agit l`a d’exercices possibles pour faire comprendre«les r`egles du jeu »d’une d´emonstra- tion `a partir de d´efinitions et/ou propri´et´es d’une figure.
La r`egle du jeu `a acqu´erir est celle-ci : toute construction de figure g´eom´etrique et toute affirmation concernant les propri´et´es d’une figure donn´ee ne sont justifi´ees qu’en tant que cons´equences des d´efinitions et/ou des propri´et´es reconnues, d´emontr´ees ou admises pr´ec´edemment. Autrement dit, pour d´eduire math´ematiquement ce que l’on affirme de ce que l’on sait on dispose et on ne dispose que des d´efinitions et propri´et´es d´ej`a « catalogu´ees » de figures et de transformations (ici, la sym´etrie axiale) d´ej`a connues.
Cela ´etant dit, on continuera `a ´etudier soigneusement les figures pour en percevoir les propri´et´es et le cheminement des d´eductions.
ANNEXE
RECTANGLE
Propri´et´e:
Un rectangle admet deux axes de sym´etrie : les m´ediatrices de ses cˆot´es.
L’id´ee est de d´emontrer que la m´ediatrice de chaque cˆot´e l’est aussi du cˆot´e oppos´e. Une d´emons- tration possible avec les seuls outils du programme de sixi`eme (mais elle ne constitue pas un objectif de cette classe, d’autant plus que d’autres situations se prˆetent mieux `a l’initiation au raisonnement d´eductif ).
Soit ABCD un rectangle. On appelle H le milieu du segment [AB], K celui du segment[BC] et I le point d’intersection des m´ediatrices des segments [AB] et [BC].
A H B
K
C D
I
III. ARCHITECTURE DU COURS, S ´EQUENCES D ´EDUCTIVES
On a les ´egalit´es : IA=IB =IC;AIH[ =HIB[ etBIK[ =KIC[. Donc :AIC[ = 2\HIK.
Les deux m´ediatrices de [AB] et [BC] sont perpendiculaires.
Donc AIC[ est un angle plat. Par cons´equent, les pointsA, I et C sont align´es. Donc I est le milieu du segment [AC].
On d´emontre de la mˆeme fa¸con que le point d’intersection des m´ediatrices de [AD] et [DC] est le milieu du segment [AC].
On en d´eduit que la m´ediatrice de [AB] est celle de [CD] et que la m´ediatrice de [AD] est celle de [CB].
On en conclut la propri´et´e ´enonc´ee ainsi que la propri´et´e suivante :
« Les diagonales d’un rectangle sont de longueurs ´egales et se coupent en leur milieu.» On remarque que ce r´esultat s’obtient ainsi sans ´etude pr´ealable du parall´elogramme.
Une d´emonstration utilisant les propri´et´es du parall´elogramme
Soit ABCDun rectangle. On appelle dla m´ediatrice du segment [AB].
On sait que les droites (AB) et (CD) sont parall`eles. Donc dest perpendiculaire `a (CD). On note H le milieu de [AB]. On a : AH = HB. On note J le point d’intersection de d avec le segment [CD].
Les quadrilat`eres AHJD etBHJC ont leurs cˆot´es oppos´es deux `a deux parall`eles. Ce sont donc des parall´elogrammes. On en d´eduit queDJ =AH =HB =JC et que J est le milieu de [DC].
Doncd, m´ediatrice de [AB], l’est aussi de [CD].
On d´emontre de mˆeme que la m´ediatrice de [AD] l’est aussi de [BC].
On remarque que la seconde d´emonstration est plus simple que la premi`ere : on voit ce qu’apporte la construction d’un nouvel outil, ici le parall´elogramme, en classe de cinqui`eme.
M´ EDIATRICE
Propri´et´e: Soit dla m´ediatrice du segment [AB]. Si M A=M B, alorsM est un point de d.
L’id´ee est de d´emontrer la contrapos´ee : si M n’est pas un point de d, alors MA6=MB, ou encore : si M n’est pas un point de d, alors MA < MB ou MA> MB.
Soitdla m´ediatrice du segment [AB], etM un point du demi-plan de fronti`eredet contenantA. On per¸coit que M est plus proche deA que deB. On cherche donc `a d´emontrer que M A < M B.
La droite (M B) coupe den I.
On a :IA=IB etM B=M I+IB. Donc M B=M I+IA.
Or,M I+IA > M A ( in´egalit´e triangulaire ) donc on a bien :M A < M B. On a ainsi d´emontr´e : si M est un point du demi-plan de fronti`eredet contenant AalorsM A < M B.
On d´emontre de mˆeme : siM est un point du demi-plan de fronti`eredet contenantBalorsM B < M A.
On a donc bien d´emontr´e que siM n’est pas un point ded, alors M A < M B ouM A > M B.
On en conclut que siM A=M B, alorsM appartient `ad.
On peut dire les choses autrement : On a d´emontr´e :
si M est un point du demi-plan de fronti`eredet contenant A alorsM A < M B, si M est un point du demi-plan de fronti`eredet contenant B alorsM B < M A
On sait que : Si M est un point de d alors M A= M B. On en conclut que si M A = M B, alors M appartient `ad.
III. ARCHITECTURE DU COURS, S ´EQUENCES D ´EDUCTIVES
Cette m´ethode est appel´ee m´ethode par disjonction des cas.
BISSECTRICE
Propri´et´e: Soitdla bissectrice d’un angle. SiM est un point ded, alorsM est ´equidistant des deux cˆot´es de cet angle.
Cette propri´et´e peut aussi se d´eduire de la conservation de l’orthogonalit´e et de la distance entre deux points par sym´etrie axiale:
Ox
Oz
Oy
b
I Ab
b
B Ob
Soit I est un point situ´e sur Oz.
On note A le point d’intersection de Ox et de la perpendiculaire `a Ox issue de I,B le point d’inter- section deOy et de la perpendiculaire `aOy issue deI.
On noteA′ le point sym´etrique deApar rapport `aOz: le pointA′ est un point deOy. La droite (IA) est perpendiculaire `a Ox; donc la droite (IA′) est perpendiculaire `a Oy . Par cons´equent, A′ n’est autre queB.
On en d´eduit queB est le sym´etrique deA par rapport `a Oz, ou encore queOz est la m´ediatrice de [AB].
On en conclut que IA=IB.
Propri´et´e (r´eciproque):
Soitdla bissectrice d’un angle etM un point situ´e dans cet angle. SiM est ´equidistant des deux cˆot´es de l’angle, alorsM est un point de d.
Cette propri´et´e peut ˆetre d´emontr´ee de la fa¸con suivante :
III. ARCHITECTURE DU COURS, S ´EQUENCES D ´EDUCTIVES
Ox Oz
Oy Mb
A b
b
B
b
H Ob
Soit M un point situ´e dans l’angleyOz.
On noteAle point d’intersection deOxet de la perpendiculaire `aOxissue deM,Ble point sym´etrique de A par rapport `a Oz : ce point appartient `aOy.
La droiteOz´etant la m´ediatrice de [AB], on a M A > M B.
SoitH le point d’intersection deOy et de la perpendiculaire `a Oy issue deM : on a M B > M H. On en d´eduit queM A > M H, c’est–`a-dire que la distance deM `aOxest strictement sup´erieure `a celle de M `aOy. `A partir de l`a, le raisonnement utilis´e dans la d´emonstration de la propri´et´e r´eciproque de la m´ediatrice (contrapos´ee ou disjonction des cas) permet de terminer la d´emonstration de la propri´et´e r´eciproque de la bissectrice.
