ECO 4272: Introduction l’´econom´etrie Exercice 1
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal
c 2011, Steve Ambler Hiver 2011
Veuillez ´ecrire lisiblement. Veuillez bien agraferles feuilles de votre tp en- semble avant de le remettre. Date de remise du tp : vendredi, le 18 f´evrier 2011 `a 12h30 (la fin du cours). Je vais afficher les solutions tout de suite apr`es le cours.
Pour cette raison, les copies remises en retard ne seront pas accept´ees. Vous ˆetes libres de travailler seul(e)s ou en groupe. J’encourage la collaboration – discuter avec les coll`egues est sans doute la meilleure fac¸on d’apprendre. Par contre, le nombre maximal de membres par groupe ne peut d´epasser 4 personnes. Veuillez remettre seulement une copie en notant les noms de tous les membres du groupe sur la premi`ere page.
1 Propri´et´es de la covariance (10 points)
Soit deux variables al´eatoires discr`etesXetY. Par d´efinition, la covariance entre les deux est donn´ee par :
Cov(X , Y) =
m
X
i=1 n
X
j=1
(Xi−E(X)) (Yj −E(Y))Pr(X =Xi , Y =Yj). Montrezexplicitementet en d´etail `a partir de cette d´efinition que
Cov(X , Y) =E(X Y)−E(X)E(Y).
Soyez explicites concernant les propri´et´es que vous utilisez dans vos d´emonstrations.
2 Tests d’hypoth`ese, intervalles de confiance, etc.
(30 points)
Vous avez un ´echantillon de 800 observations concernant la taille des hommes qu´eb´ecois adultes. La moyenne ´echantillonnale est 177cm et l’´ecart type
´echantillonnal est 6,5cm.
Vous avez un ´echantillon de 1000 observations concernant la taille des hommes ontariens adultes. La moyenne ´echantillonnale est 179cm et l’´ecart type
´echantillonnale est 7,2cm.
1. Calculez les intervalles de confiance de 95% pour la taille moyenne des hommes qu´eb´ecois et pour la taille moyenne des hommes ontariens.
2. Calculez les intervalles de confiance de 99% pour la taille moyenne des hommes qu´eb´ecois et pour la taille moyenne des hommes ontariens.
3. Calculez la p-value pour un test de l’hypoth`ese nulle que la taille moyenne des hommes qu´eb´ecois est ´egale `a 179cm, contre l’hypoth`ese alternative qu’elle est diff´erente de 179cm.
4. Calculez la p-value pour un test de l’hypoth`ese nulle que la taille moyenne des hommes qu´eb´ecois est ´egal `a 179cm, contre l’hypoth`ese alternative qu’elle est sup´erieure `a 179cm.
5. Calculez l’intervalle de confiance de 95% pour la diff´erence des tailles moyennes des hommes qu´eb´ecois et ontariens.
6. Calculez la p-value pour un test de l’hypoth`ese nulle que les deux tailles moyennes sont identiques, contre l’hypoth`ese alternative qu’elles sont diff´erentes.
7. Supposez maintenant les mˆemes moyennes ´echantillonnales et les mˆemes
´ecarts types obtenus que dans l’´enonc´e, mais supposez deux ´echantillons de taille ´egale mais inconnue. Quelle serait la taille d’´echantillon minimal afin de pouvoir rejeter l’hypoth`ese nulle que les deux tailles moyennes sont identiques avec une p-value de 0.05 ?
3 Convergence (20 points)
Soit la variable al´eatoireY qui est i.i.d. avec E(Y) = µY et avec une variance finie donn´ee par
Var(Y) =σY2.
Soit l’estimateur de la moyenne bas´e surnr´ealisations de la variable al´eatoire donn´e par :
Ye = 1
4Y1+ 1
4Y2 + 1 2(n−2)
n
X
i=3
Yi.
1. Montrez que l’estimateurYe est non biais´e.
2. Calculez la variance de l’estimateur pour une taille arbitraire de l’´echantillon donn´e parn.
3. Qu’est-ce qui arrive `a la variance de l’estimateur lorsquendevient tr`es grand ?
4. Est-ce que l’estimateurYe est un estimateur convergent (convergence en probabilit´e) deµY ? Ne donnez pas de preuve formelle mais expliquez intuitivement votre r´eponse.
5. Comparez la variance de l’estimateurYe avec celle de l’estimateur MCO.
Expliquez ce que vous trouvez.
4 Convergence et th´eor`eme de la limite centrale (40 points)
L’id´ee ici est d’illustrer le principe de convergence en distribution vers une loi normale. Vous allez utiliser des donn´ees artificielles engendr´ees par une
g´en´eratrice de nombres al´etoires et provenant d’une distribution connue qui n’est pas normale. De cette fac¸on, vous allez faire une ´etudeMonte Carlo tr`es simple. Pour plus de d´etails sur l’utilisation deGRETLpour ce type de travail, voirhttp://www.learneconometrics.com/pdf/MCgretl.pdf Vous allez utilisez la commandegretl rand uniform minmax(·) afin de g´en´erer des nombres uniformes dans l’intervalle[min,max]. Les arguments de la
commande et son utilisation sont expliqu´es dans le manuel ou dans le document suivant :
http://gretl.sourceforge.net/API/gretl-PRNG.html. Utilisez 0.3 comme valeur minimale et 1.5 comme valeur maximale.
Incluez le codeGRETL(ouSTATA, etc.) utilis´e dans vos r´eponses.
1. Calculez la moyenne th´eorique d’une variable al´eatoire provenant d’une distribution uniforme[0.3,1.5]. Montrez votre travail. Utilisez la section des notes de cours sur la distribution uniforme.
2. Calculez la variance th´eorique d’une variable al´eatoire provenant d’une distribution uniforme[0.3,1.5]. Montrez votre travail. Utilisez la section des notes de cours sur la distribution uniforme.
3. Calculez la variance th´eorique d’une moyenne ´echantillonnale bas´ee sur un
´echantillon de taillende variables al´eatoires provenant d’une distribution uniforme[0.3,1.5]. Montrez votre travail. Votre r´esultat devrait d´ependre den.
4. Engendrez 500 ´echantillons de taille 1. Faites un histogramme des valeurs obtenues, soit avec la commandefreq soit `a partir du menu. La commande fait automatiquement un testDoornik-Hansen pour la normalit´e de la variable al´eatoire. Vous ne devez pas comprendre les d´etails de ce test. Il suffit de savoir que l’hypoth`ese nulle du test est que la variable al´eatoire provient d’une distribution normale.
5. Engendrez 500 ´echantillons de taille 4. Calculez la moyenne
´echantillonnale de chaque ´echantillon. Divisez par l’´ecart type de cette moyenne ´echantillonnale (voir la partie 3 de cette question). Produisez un histogramme des valeurs obtenues.
6. Engendrez 500 ´echantillons de taille 50. Calculez la moyenne
´echantillonnale de chaque ´echantillon. Divisez par l’´ecart type de cette moyenne ´echantillonnale. Produisez un histogramme des valeurs obtenues.
7. Engendrez 500 ´echantillons de taille 500. Calculez la moyenne
´echantillonnale de chaque ´echantillon. Divisez par son ´ecart type.
Produisez un histogramme des valeurs obtenues.
8. Expliquez ce que vous avez trouv´e dans cet exercice. Est-ce qu’il est une bonne illustration du th´eor`eme de la limite centrale ? Expliquez.
9. Est-ce que la moyenne ´echantillonnale dans ce cas est un estimateur convergent de la moyenne de la distribution qui engendre les donn´ees ? Expliquez.
cr´e´e le 06/02/2011
