Durée de l’épreuve : 4h de 8h à 12h00 Professeur : M. de Saint Julien Les calculatrices sont interdites.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022

Année scolaire 2021-2022 MPSI

Devoir surveillé de MATHÉMATIQUES n°4 Samedi 11 décembre 2021

Durée de l’épreuve : 4h de 8h à 12h00 Professeur : M. de Saint Julien Les calculatrices sont interdites.

Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.

I Pour démarrer

Exercice 1

1. Déterminer une primitive de la fonction x 7→ x ln x.

2. Déterminer les solutions sur ]0, +∞[ de l’équation différentielle (E) : xy ⁰ (x) + 2y(x) = ln x

Exercice 2 Déterminer les solutions à valeurs réelles de l’équation différentielle : (E) y ⁰⁰ (x) + y ⁰ (x) + y(x) = x ² + x + 1.

Exercice 3 (Une équation fonctionnelle) Trouver toutes les fonctions f : R → R déri- vables telles que :

∀x ∈ R , f ⁰ (x) =

Z x 0

f (t) dt.

Exercice 4 (un vrai-faux) Pour toutes les propositions, répondre par vrai ou faux, et sur- tout justifier avec précision votre réponse par une démonstration ou un contre-exemple.

Attention, toute réponse sans justification ne sera pas prise en compte.

1. Si une suite converge vers 1, à partir d’un certain rang, tous ses termes sont supérieurs à 0, 999.

2. Une suite bornée possède une suite extraite convergente.

3. Une suite non majorée tend vers +∞.

1/3

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022

II PROBLEME : convergence d’un produit

Soit (u _n ) une suite de réels non nuls, on lui associe la suite (p _n ) définie par :

∀n ∈ N ^∗ , p _n =

n

Y

p=1

u _p = u ₁ u ₂ · · · u _n

On dit que le produit (p _n ) converge si et seulement si la suite (p _n ) admet une limite finie non nulle. Sinon on dit que le produit (p _n ) diverge.

PREMIERE PARTIE 1. Soit p _n = ^{Q n}

p=1

1 + 1 p

!

.

Calculer p _n pour tout n ∈ N . En déduire la nature du produit (p _n ).

2. Dans cette question, (u _n ) désigne une suite quelconque de réels non nuls telle que le produit (p _n ) converge. En considérant le quotient p _n

p n−1

montrer qu’il est nécessaire que la suite (u _n ) converge vers 1.

3. On pose pour n ∈ N ^∗ , u _n = 1 + _n ^{1 n} . Déterminer la limite de la suite (u _n ). En déduire la nature du produit (p _n ) associé à (u _n ).

4. Soient un réel a différent de kπ (k ∈ Z ) et p _n = ^{Q n}

p=1

cos a 2 ^p . Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, on a

p _n sin

a 2 ⁿ

= sin a 2 ⁿ . En déduire que le produit (p _n ) converge et donner sa limite.

DEUXIEME PARTIE

5. Soit (p _n ) un produit associé à une suite (u _n ) qui converge vers 1.

(a) Montrer qu’il existe un entier n ₀ tel que : ∀n > n ₀ , u _n > 0.

(b) On pose pour n > n ₀ , S _n = ^{P n}

p=n

ln(u _p ).

Démontrer que la suite (S _n ) converge, si et seulement si, le produit (p _n ) converge.

6. Soit p _n = ^{Q n}

p=1

√

p et soit S _n = ^{P n}

p=1

ln p p .

(a) Déterminer la monotonie de la fonction f : x 7→ ^ln _x ^x sur ]0, +∞[. En déduire que :

∀n > 3,

n

X

p=3

ln p p >

Z n+1 3

f(x) dx.

(b) En déduire la nature de la suite (S _n ) et du produit (p _n ).

2/3

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022

TROISIEME PARTIE 7. Soit p _n = ^{Q n}

p=1

(1 + v _p ) où (v _n ) est une suite de réels strictement positifs qui converge vers 0.

On pose

S _n ⁰ =

n

X

p=1

v _p et S _n =

n

X

p=1

ln(1 + v _p ).

(a) Déterminer la monotonie de la suite (S _n ).

(b) Montrer que si la suite (S _n ⁰ ) converge, alors le produit (p _n ) converge.

8. Déduire de la question 1. la limite de la suite (S _n ⁰ ) définie par S _n ⁰ = ^{P n}

p=1

1 p . 9. Application : soit p _n = ^{Q n}

p=1

(1 + a ^p ) où a ∈ R ^∗ + .

Discuter la nature du produit (p _n ) selon la valeur de a.

III Pour finir

Exercice 5 (Une approximation de π ) 1. Soit n ∈ N . Démontrer que :

π 4 =

n

X

k=0

(−1) ^k

2k + 1 + (−1) ⁿ⁺¹

Z 1 0

x ²ⁿ⁺² 1 + x ² dx.

On pourra intégrer la fonction f définie par f(x) =

n

X

k=0

(−1) ^k x ^2k .

2. En déduire une suite (u _n ) de rationnels qui converge vers π.

3/3