Chapitre n°3 : Probabilités conditionnelles et loibinomiale.

(1)

Chapitre n°3 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale.

Objectifs :

1. Savoir construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée.

2. Savoir exploiter la lecture d'un arbre pondéré pour déterminer des probabilités.

3. Savoir calculer la probabilité d'un événement connaissant ses probabilités conditionnelles relatives à une

partition de l'univers.

Démonstration : Si deux évènements A et B sont indépendants, alors A et B sont indépendants.

Activité d'approche n°1 : probabilités conditionnelles

(Source d'inspiration : Déclic)

Dans une entreprise, le nombre d'employés, de cadres et de cadres supérieurs est donné dans le tableau ci-dessous :

Employés Cadres Cadres supérieurs

Femmes 220 38 12

Hommes 200 62 38

On choisit un salarié au hasard, et on considère les évènements suivants : E : « le salarié est un employé »

C : « le salarié est un cadre »

S : « le salarié est un cadre supérieur » H : « le salarié est un homme »

F : « le salarié est une femme »

1. Donner la probabilité des évènements E,C,S,H et F.

...

(2)

probabilité que ce soit un cadre supérieur ?

...

Cette probabilité est une probabilité conditionnelle : on cherche la probabilité qu'un employé soit un carde supérieur, sachant que l'on sait déjà que c'est un homme.

Elle est notée : P

H

(S).

3. Calculer P

H

(E) et P

H

(C).

...

4. Calculer P(E  H) .

...

5. Calculer P(H).

...

6. Établir la relation entre P

H

(E), P(EH) et P(H).

...

7. Compléter les deux arbres pondérés ci-dessous :

(3)

8. Comment retrouver P(E) avec le deuxième arbre ?

...

9. Comment retrouver P(H) avec le premier arbre ?

...

Cours n°1

Chapitre n°3 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale.

I) Probabilités conditionnelles

Définition n°1 (probabilité conditionnelle)

La probabilité de l'évènement B sachant que l'évènement A est réalisé se note

…... et s'appelle la probabilité conditionnelle.

Propriété n°1 (Probabilité conditionnelle)

Soit A et B deux évènements, A étant de probabilité non nulle. La probabilité de l'évènement B sachant que l'évènement A est réalisé s'obtient par la formule : P

A

(B) = ...

... et P(AB) = …...

Exemple n°1

Deux ateliers produisent des paires de chaussures. Le premier atelier produit 6000 paires. Le deuxième produit 4000 paires. 120 paires sont défectueuses et proviennent du premier atelier.

1. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse sachant qu'elle

(4)

…...

...

2.Compléter l'arbre pondéré :

Propriété n°2 (propriétés des arbres pondérés) Dans un arbre pondéré :

● la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut ….

● la probabilité d'un chemin vaut le …... des probabilités qui compose ce chemin.

Définition n°2 (Partition d'un ensemble)

Un ensemble de parties d'un ensemble  est une partition de cet ensemble si :

● aucune de ces parties est vide.

● l'union de toutes les parties redonne  .

● l'intersection de chacune des partie avec n'importe quelle autre partie est

vide.

(5)

Exemple n°2 :

Dans un jeu de 32 cartes, si l'on répartie les cartes suivant les couleurs, on fait une partition du jeu.

Proposer une autre partition :

...

Propriété n°3 (formule des probabilités totales) Soit A

1

, A

2

,.., A

n

une partition de l'ensemble  Alors la probabilité d'un évènement B vaut : P(B)=P(A

1

 B)+P(A

2

 B)+...+P(A

n

 B)

Exemple n°3 :

On reprend l'exemple n°1. On sait maintenant que, si on ne prélève que des paires venant du deuxième atelier, la probabilité qu'une paire soit défectueuse est de 0,3.

1. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse et provienne du deuxième atelier ?

…...

...

2. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse ?

…...

...

Exercice n°1 Ex.1 p.302 Exercice n°2

Ex.9 p.302 Exercice n°3

Ex.13 p.303

Exercice n°4

(6)

Exercice n°5

Correctif : il faut lire « Les pourcentages d’objets défectueux sont respectivement 2 %, 3 % et 4 % de chacune des trois productions ».

Ex.36 p.305 Exercice n°6*

Ex.44 p.306

Activité d'approche n°2 : indépendance d'évènements

Dans une urne, on a 4 boules vertes et 3 boules rouges.

1. On tire au hasard une première boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, et on tire au hasard une deuxième boule.

a. Compléter l'arbre pondéré ci-dessous :

b. Que peut-on dire de P

V

(R) et de P(R) ?

...

c. À quoi est égal P(RV) ?

...

d. Comparer P(R  V) et P(R) × P(V).

...

La réalisation ou non de l'évènement V ne modifie pas la probabilité de

l'évènement R : on dit qu'ils sont indépendants.

(7)

2. On recommence l'expérience, mais sans remise : on tire au hasard une première boule, on note sa couleur, on la met de côté, et on tire au hasard une deuxième boule.

a. Compléter l'arbre pondéré ci-dessous :

b. Que peut-on dire de P

V

(R) et de P(R) ?

...

c. À quoi est égal P(RV) ?

...

d. Comparer P(R  V) et P(R) × P(V).

...

Cours n°2

II) É vènements indépendants

Définition n°3

Deux évènements A et B sont indépendants si …... =...

Exemple n°4

On tire deux cartes sans remise d'un jeu de 32 cartes. A est l'évènement :

« les deux cartes tirées sont des as ». T est l'évènement « les deux cartes

tirées sont noirs». Calculer P(A) et P(T). Les évènements A et T sont-ils

indépendants ?

(8)

...

Propriété n°4

Soient A et B deux évènements de probabilité non nulle.

Dire que A et B sont indépendants revient à dire que P

...

(...)=P(...) (ou que P

...

(...)=P(...))

Démonstration :

Dire que A et B sont indépendants revient à dire que P(A  B)

=... ×...

     P(A) × P

A

(B)

=... ×...

     …... =...

Propriété n°5

Soient A et B deux évènements indépendants.

Alors A et B sont indépendants.

Démonstration : R.O.C.

P(AB)=P(B)×P

B

(A)=P(B)×(1 – …...).

Mais A et B sont indépendants, donc : P

...

(....) =P(....) Et 1 – P(...)=P(....), donc P(AB)=...

Donc A et B sont indépendants.

Exercice n°7 Ex.20 p.303 Exercice n°8

Ex.52 p.307

(9)

Exercice n°9*

Sujet C p.315 Exercice n°10**

Sujet D p.316 Exercice n°11***

Ex.98 p.319

(10)

Résultats ou indices

Ex.1 (1 p.302) : 1. Non, P(V). 2. Oui, P

U

(V). 3. Oui, P

V

(U). 4. Non P(U∩V)

Ex.2 (9 p.302) : 1. 2. P(A)=0,55 ; P(A∩B)=0,2

3. P

B

(A)=0,6. PA(B)= 4 11 .

Ex.3 (13 p.303) : 1. P(A∩B)=0,45 2. P(A∩B)=0,12 2. P(B)=0,57 Ex.4 (21 p.304) : 1. P(I)= 8

15 ;P(M)= 1

3 2. P(I)= 7

15 ;P(I∩M)= 1

5 ;P(I∩M)= 2

15 3. P

M

(I)= 3

5 ; P

I

(M)= 2 7 .

Ex.5 (36 p.305) : 1. 2. P(D)=0,025 3. P

D

(C)=0,16.

Ex.6 (44 p.306) : 1. 2.a. P(D∩R)=0,12 ; b. P(F∩R)=0,02 c. P(R)=0,68 3.P

R

(M)=0,375

4.P

R

(F)= 19 34 .

Ex.7 (20 p.303) : 1.0,9215 2. Idem.

Ex.8 (52 p.307) : 1.P(A)=0,5, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,25. A et B sont indépendants. 2. A et C ne sont pas indépendants. B et C ne sont pas indépendants.