Study of constitutive laws for hardening or fibre reenforced materials

(1)

M´emoire de DEA d’analyse num´erique

Rapport de stage d’ingénieur en Mathématiques Appliquées et Calcul Scientifique

Jean-Fran¸cois Babadjian

(2)

Remerciements

Je tiens à remercier tout particulièrement monsieur Michel Frémond pour m’avoir accueilli et encadré durant quatre mois au sein du LCPC. J’adresse également mes remerciements à monsieur Gilles Francfort, enseignant-chercheur à l’Institut Galilée, pour avoir accepté de superviser mon travail tout au long de ce stage.

(3)

Table des mati` eres

Introduction 3

1 Etude d’un mat´eriau durcissant 4

1.1 Introduction . . . 4

1.2 Etude du probl`eme stationnaire . . . 5

1.2.1 Existence et unicité du problème approché . . . 5

1.2.2 Estimations `a priori . . . 6

1.2.3 Retour au probl`eme initial . . . 9

1.3 Etude du probl`eme instationnaire . . . 10

1.3.1 Methode de Galerkin pour l’étude du problème approché . . . 10

1.3.2 Estimations d’´energie . . . 15

1.3.3 Retour à l’équation de départ . . . 17

2 Etude d’un mat´eriau constitu´e de fibres 19 2.1 Introduction . . . 19

2.2 Fibres non cassantes . . . 20

2.2.1 Etude du probl`eme stationnaire . . . 20

2.2.2 Etude du probl`eme instationnaire . . . 21

2.3 Fibres cassantes . . . 24

2.3.1 Etude du probl`eme stationnaire . . . 24

2.3.2 Etude du probl`eme instationnaire . . . 27

Conclusion 34

Bibliographie 35

(4)

Introduction

Nous avons effectué notre stage de DEA et de fin d’étude d’ingénieur au sein du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées à Paris avec Michel Frémond. Ce stage avait pour objet de mettre en application les enseignements suivis en formation d’ingénieur en mathématique appliquées et calcul scientifique de l’Institut Galilée ainsi que les enseignements de DEA d’analyse numérique de l’université Pierre et Marie Curie. A cet effet, nous avons mené durant quatre mois un travail à caractère théorique dans le domaine de la mécanique du solide dont le but était d’établir des résultats d’existence et d’unicité - ou seulement d’existence - de solutions d’équations aux dérivées partielles régissant l’évolution d’un solide. A partir de la loi de comportement de celui-ci, on écrit l’équation de la quantité de mouvement. Le problème mécanique devient alors purement un problème mathématique et c’est là qu’intervient notre contribution.

Les problèmes envisagés se situeront toujours en dimension deux ou trois. Nous avons étudié deux types de matériaux. Dans la première partie, on considère un matériau dit durcissant ou encore à blocage c’est

`

a dire qu’il se comporte de manière élastique tant que le déplacement reste borné par une certaine valeur.

Par contre, dès que ce seuil est atteint, il se bloque ce qui signifie que quelle que soit la contrainte exercée, il ne se déformera plus. La deuxième partie quant à elle s’intéresse à un matériau constitué de fibres.

Nous supposerons d’abord que les fibres ne peuvent pas casser et ensuite, nous ´etudierons le cas o`u la rupture est possible.

(5)

Chapitre 1

Etude d’un mat´ eriau durcissant

1.1 Introduction

On considère un matériau anisotrope et non homogène matérialisé par Ω un domaine borné régulier deR^N. On dénote par Ason tenseur d’élasticité qui vérifie les propriétés suivantes :

1. Propriété de symétrie :∀1≤i, j, k, l≤N et p.p.x∈Ω

A_ijkl(x) =A_ijlk(x) =A_jikl(x) =A_klij(x) 2. Propriété d’ellipticité : ∃α >0,∀ξ∈R^N

2 et p.p.x∈Ω

N

X

k,l=1

Aijklξijξkl ≥α

N

X

i,j=1

ξ_ij²

De plus∀1≤i, j, k, l≤N,A_ijkl∈L^∞(Ω).

On note∀1≤i, j≤N,

e_ij(u) = 1 2

∂u_i

∂xj

+∂u_j

∂xi

le tenseur des déformations. La loi de comportement de ce matériau est donnée par : σ∈∂ψ e(u)

o`u ψest une fonctionnelle convexe d´efinie par ψ(ξ) =1

2A(x)ξ.ξ+IM(ξ) et IM est la fonction indicatrice de l’ensemble C ={ξ∈R^N

2 /|ξ| ≤M} qui vaut 0 si|ξ| ≤M et +∞

sinon.∂ψ e(u)

correspond `a la sous-diff´erentielle deψ ene(u).

On suppose que ce matériau est maintenu fixe sur le bord de Ω, ce qui se formalise par la condition de Di- richletu= 0 sur∂Ω, et qu’il est soumis à des forces volumiquesf. Par ailleurs, le déplacement à l’instant initial est donné paru0. Nous nous proposons d’étudier l’équation d’élasticité associée. Un tel matériau se comporte de manière élastique tant que les déformations restent inférieures àM. Le terme supplémentaire intervenant dans l’équation signifie que lorsque les déformations atteignent la valeurM, alors quelle que soit la contrainte exercée, le solide ne se déformera pas plus. D’où l’appellation de matériau durcissant.

On appelera aussi ce type de matériaux, matériaux à blocage. Tant que les déformations restent bornées, le matériau sera élastique, c’est à dire que si l’on cesse de lui faire subir des contraintes externes, il reviendra à sa configuration initiale.

Dans une première partie, nous nous intéresserons à la résolution de l’équation d’élasticité stationnaire dont la loi de comportement est donnée ci-dessus :

−div∂ψ(e(u))3f dans Ω

u= 0 sur ∂Ω (1.1)

(6)

Par la suite, nous étudierons le problème quasi-statique en rajoutant un terme de résistance visqueuse.

Nous aurons donc à faire à un matériau de type visco-élastique, c’est à dire à un matériau ”doué de mémoire” en ce sens que l’état de contraintes à l’instant tdépend de toutes les déformations subies par le matériau aux instants antérieurs. Il s’agit de l’équation d’évolution suivante :







∂tu−div∂ψ(e(u))3f dans QT

u=u0 sur Ω

u= 0 sur ∂Ω×]0, T[

(1.2)

Nous ne pourrons pas étudier ces deux problèmes de front. A cet effet, nous allons introduire un problème approché en rempla¸cant la fonctionψpar une fonctionψ_nconvexe et différentiable dansR^N

2, d´efinie par ψ_n(ξ) = 1

2A(x)ξ.ξ+n[(|ξ| −M)⁺]^p

oùp≥2 est fixé etnest un paramètre amené à tendre vers +∞. Commeψ_n est une fonction convexe et différentiable, alors la sous-différentielle deψ_n coincide avec la différentielle ordinaire donc

∂ψn(ξ) =Dψn(ξ) =A(x)ξ+np[(|ξ| −M)⁺]^p−1 ξ

|ξ|

On espère que lorsquen→+∞le problème approché converge en un certain sens vers le problème initial.

1.2 Etude du probl` eme stationnaire

Soitf ∈[L²(Ω)]^N, nous sommes donc amenés à étudier l’équation ( −div

A(x)e(u) +np[(|e(u)| −M)⁺]^p−1_|e(u)|^e(u)

=f dans Ω u= 0 sur ∂Ω

(1.3)

1.2.1 Existence et unicit´ e du probl` eme approch´ e

Montrons, tout d’abord que le problème (1.3) est bien posé. On remarque qu’il s’agit de l’équation d’Euler du problème de minimisation suivant :

min

v∈[W₀^1,p(Ω)]^N

n1 2

Z

Ω

A(x)e(v).e(v) +n Z

Ω

(|e(v)| −M)⁺p

− Z

Ω

f vo

On d´efinit la fonctionnelle Jn: [W₀^1,p(Ω)]^N →Rpar J_n(v) = 1

2 Z

Ω

A(x)e(v).e(v) +n Z

Ω

(|e(v)| −M)⁺p

− Z

Ω

f v

[W₀^1,p(Ω)]^N est un espace de Banach r´eflexif. Nous allons montrer queJ_nest une fonctionnelle strictement convexe, fortement sci et coercive.

A cet effet, posons :











F(u) = 1 2

Z

Ω

A(x)e(u).e(u)

G(u) = Z

Ω

f u

H(u) =n Z

Ω

(|e(u)| −M)⁺^p

(7)

On d´emontre ais´ement queF est strictement convexe et fortement sci sur [W₀^1,p(Ω)]^N et queGest convexe et fortement sci sur [W₀^1,p(Ω)]^N.

Posons maintenanth(r) =n

(r−M)⁺p

.hest convexe et commeH(u) =R

Ωh(|e(u)|) on en d´eduit que H est convexe. EnfinH est continue comme compos´ee d’applications continues et doncHest fortement sci.

Et donc Jn est strictement convexe fortement sci. Il reste `a montrer que Jn est coercive. En effet

∀v∈[W₀^1,p(Ω)]^N,

J_n(v)≥n Z

Ω

(|e(v)| −M)⁺^p

− Z

Ω

f v

Les inégalités de Cauchy-Schwarz, Poincaré et Korn impliquent que Jn(v)≥2^−pnk∇vk^p_Lp(Ω)− kfk_Lp0

(Ω)k∇vkL^p(Ω)−M^pn|Ω|

doncJn(v)→+∞quand kvk_[W1,p

0 (Ω)]^N →+∞ce qui prouve queJn est coercive.

Ceci établit l’existence et l’unicité d’une solutionu_n dans [W₀^1,p(Ω)]^N au problème de minimisation.

CommeJ_n est Gâteau-différentiable sur [W₀^1,p(Ω)]^N, ce minimum est caractérisé par l’équation d’Euler

∀v∈[W₀^1,p(Ω)]^N

J_n⁰(u_n).v= 0 et donc

Z

Ω

A(x)e(un).e(v) +np Z

Ω

{(|e(un)| −M)⁺}^p−1 e(un)

|e(u_n)|.e(v) = Z

Ω

f v

En utilisant la formule de Green, il vient

−div

A(x)e(u)_n+np[(|e(un)| −M)⁺]^p−1 e(u_n)

|e(un)|

=f dans [D⁰(Ω)]^N

On a donc démontré l’existence et l’unicité d’une solutionu_n ∈[W₀^1,p(Ω)]^N de l’équation ( −div

A(x)e(un) +np[(|e(un)| −M)⁺]^p−1_|e(u^e(uⁿ⁾

n)|

=f dans Ω un= 0 sur ∂Ω

1.2.2 Estimations ` a priori

Commeun est l’unique minimiseur deJn, on a

Jn(un)≤Jn(0)

donc 1

2 Z

Ω

A(x)e(un).e(un) +n Z

Ω

(|e(un)| −M)⁺^p

≤ Z

Ω

f un

D’après les inégalités de Cauchy-Schwarz et de Poincaré et en minorant le premier membre, il vient α

2 Z

Ω

|e(un)|²+n Z

Ω

(|e(un)| −M)⁺^p

≤Ckfk_[L2(Ω)]^Nkunk_[H1 0(Ω)]^N

Donc en utilisant l’in´egalit´e de Korn











kunk_[H¹

0(Ω)]^N ≤Ckfk[L²(Ω)]^N

Z

Ω

(|∇u_n| −M)⁺p

≤ C n

(8)

On peut donc extraire une sous-suite telle que

un* u faiblement dans [H₀¹(Ω)]^N Par ailleurs,

Z

Ω

|e(u_n)|^p≤2^pZ

Ω

(|e(u_n)| −M)^p

+M^p|Ω|

≤2^pZ

Ω

(|e(u_n)| −M)⁺^p

+CM^p|Ω|

≤C On peut donc extraire une sous-suite telle que

e(un)* e(u) faiblement dans [L^p(Ω)]^N² Et comme

Z

Ω

|∇u_n|^p≤C Z

Ω

|e(u_n)|^p On peut `a nouveau extraire une sous-suite telle que

∇un *∇u faiblement dans [L^p(Ω)]^N² Donc

u_n * u faiblement dans [W₀^1,p(Ω)]^N

Montrons maintenant queke(u)k_[L∞(Ω)]^N² ≤M. Nous allons avoir besoin d’un argument d’int´egration : Lemme 1 Soitfn une suite de fonctions positives qui tend versf faiblement dansL^r(Ω),(r≥1)et soit An={x∈Ω :fn(x)≥K} un ensemble mesurable tel que |An| →0. Alorsf ∈L^∞(Ω) etkfkL^∞ ≤K.

D´emonstration.Soitϕ∈ C₀^∞(Ω) et soitε >0. Alors pournassez grand

Z

Ω/A_n

ϕ(f_n−f) ≤ε Donc

Z

Ω/An

ϕf ≤ε+

Z

Ω/An

ϕf_n

≤ε+K Z

Ω/An

|ϕ|

Par ailleurs, comme |An| → 0, ϕf χA_n → 0 pp et comme |ϕf χA_n| ≤ |f ϕ| ∈ L¹(Ω) on en d´eduit par convergence domin´ee que

R

Anϕf →0.

En faisant maintenant tendreεvers 0, il vient Z

Ω

ϕf ≤K

Z

Ω

|ϕ|

D’o`u le lemme.

On voudrait appliquer le lemme 1 `a fn = |e(un)| et K = M +η, o`u 0 < η < 1. Posons An = {x ∈ Ω :|e(un)| ≥M+η}. Il s’agit de montrer que|An| →0. En effet,

η^p|An| ≤ Z

A_n

(|e(un)| −M)⁺^p

≤ Z

Ω

(|e(un)| −M)⁺^p

≤C n →0 Donc

|An| →0

Le lemme 1 nous dit alors que|e(u)| ∈L^∞(Ω) etke(u)k_[L∞(Ω)]^N² ≤M+η. En faisant tendreη vers 0 on en d´eduit queke(u)k_[L∞(Ω)]^N² ≤M.

(9)

Nous allons à présent démontrer qu’il y a en fait convergence forte. En effet, on a prouvé que un était l’unique minimiseur deJn donc∀0< t <1

Jn(un)≤Jn(tu) 1

2 Z

Ω

A(x)e(un).e(un) +n Z

Ω

(|e(un)| −M)⁺p

− Z

Ω

f un≤

≤t² 2

Z

Ω

A(x)e(u).e(u) +n Z

Ω

(|te(u)| −M)⁺^p

−t Z

Ω

f u Or|e(u)| ≤M ⇒t|e(u)| ≤tM ⇒t|e(u)| −M ≤M(t−1)≤0. DoncnR

Ω

(|te(u)| −M)⁺^p

= 0.

En minorant le premier membre et en passant `a la limite sup dans celui-ci, il vient lim sup1

2 Z

Ω

A(x)e(un).e(un)− Z

Ω

f u≤ t² 2

Z

Ω

A(x)e(u).e(u)−t Z

Ω

f u

En faisant tendre t → 1 et en tenant compte du fait que F est faiblement sci (car F est convexe et fortement sci), on en d´eduit que

lim sup Z

Ω

A(x)e(un).e(un)≤ Z

Ω

A(x)e(u).e(u)≤lim inf Z

Ω

A(x)e(un).e(un) Donc

lim Z

Ω

A(x)e(un).e(un) = Z

Ω

A(x)e(u).e(u)

Et commee(u_n)* e(u) faiblement dans [L²(Ω)]^N² on en d´eduit que lim

Z

Ω

A(x) e(u_n)−e(u)

. e(u_n)−e(u)

= 0

Et donc, d’après la propriété d’ellipticité deA(x),e(u_n)→e(u) fortement dans [L²(Ω)]^N². L’inégalité de Korn implique que∇un→ ∇ufortement dans [L²(Ω)]^N². On peut donc extraire une sous-suite telle que

∇un→ ∇upp.

Lemme 2 Soit fn une suite de fonctions qui tend vers f presque partout et telle que kfkL^p(Ω) ≤ C (1< p <∞), alors f ∈L^q(Ω) etfn →f dansL^q(Ω),∀1≤q < p.

D´emonstration.Sifn→f pp, alors|fn|^p→ |f|^ppp. d’autre part, le lemme de Fatou implique que Z

Ω

|f|^p= Z

Ω

lim inf|fn|^p≤lim inf Z

Ω

|fn|^p<+∞

carf_n ∈L^p(Ω). Doncf ∈L^p(Ω).

Par ailleur, d’après le théorème d’Egoroff, ∀ε >0,∃Aε mesurable tel que|Ω/Aε|< εet sup

x∈Aε

|fn(x)−f(x)| →0 Ainsi, en appliquant L’inégalité de Hölder,∀q∈[1, p[, on a : Z

Ω

|fn−f|^q = Z

Ω/Aε

|fn−f|^q+ Z

Aε

|fn−f|^q ≤Z

Ω

|fn−f|^pq/p

|Ω/Aε|^1−q/p+ sup

x∈Aε

|fn(x)−f(x)|q

|Ω| →0 carq < p.

Et le lemme 2 est ainsi d´emontr´e.

En se souvenant que ∇un est born´e dans tous les [L^p(Ω)]^N², ∀p < +∞ et en appliquant le lemme

(10)

2, on en conclut que ∇u∈[L^q(Ω)]^N²,∀q < p <+∞et ∇un → ∇ufortement dans [L^q(Ω)]^N². Et donc un→ufortement dans [W₀^1,q(Ω)]^N,∀2≤q <+∞.

Posons maintenantRn(e(u_n)) =n

(|e(un)| −M)⁺^p−1 _e(u

n)

|e(un)|.Rn(e(u_n)) est sym´etrique care(u_n) l’est.

Le probl`eme (1.3) s’´ecrit alors ( −div

A(x)e(u_n))−divR_n(e(u_n)

=f dans Ω un= 0 sur ∂Ω

1.2.3 Retour au probl` eme initial

Notons

K={v∈[W₀^1,q(Ω)]^N ∀q <∞, tel que|e(v(x))| ≤M p.p. x∈Ω}

De cette mani`ere, on au∈ K

Nous allons commencer par d´emontrer le r´esultat suivant :∀v∈ K Rn(e(u_n)), e(v)−e(u_n)

[L²(Ω)]^N² ≤0 Rappelons queRn(e(un)) =n

(|e(un)| −M)⁺p−1 e(un)

|e(u_n)| et soit doncv∈ K Distingons deux cas :

1. si|e(u_n)| ≤M, alorsR_n(e(u_n)) = 0 et donc R_n(e(u_n)), e(v)−e(u_n)

[L²(Ω)]^N² = 0 2. si|e(un)| ≥M, alors d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

e(u_n).e(v)− |e(un)|²≤ |e(un)||e(v)| − |e(un)|²≤ |e(un)|(M− |e(un)|)≤0 donc Rn(e(un)), e(v)−e(un)

[L²(Ω)]^N² =nR

Ω

(|e(un)| −M)⁺n−1 e(un)

|e(un)|.(e(v)−e(un))≤0 et donc

Rn(e(u_n)), e(v)−e(u_n)

[L²(Ω)]^N² ≤0 Ce qui ´etablit le r´esultat attendu.

NotonsIla fonction indicatrice de l’ensembleKc’est `a dire,I(v) = 0 siv∈ K etI(v) = +∞sinon. On a I(v) =

Z

Ω

IM(e(v(x)))dx

∀v∈ K, prenonsv−un comme fonction test dans la formulation variationnelle, il vient Z

Ω

A(x)e(u_n).(e(v)−e(u_n)) + Z

Ω

R_n(e(u_n)).(e(v)−e(u_n)) = Z

Ω

f(v−u_n) et donc

Z

Ω

A(x)e(u_n).(e(v)−e(u_n))≥ Z

Ω

f(v−u_n) Par passage à la limite, il vient d’après les convergences établies ci-dessus

Z

Ω

A(x)e(u).(e(v)−e(u))≥ Z

Ω

f(v−u) Ce qui est l’in´equation d’Euler du probl`eme de minimisation

minv∈K

n1 2

Z

Ω

A(x)e(v).e(v)− Z

Ω

f vo

(1.4) Posons

J(v) = 1 2

Z

Ω

A(x)e(v).e(v)− Z

Ω

f v

(11)

On a déjà vu queJétait une fonctionnelle strictement convexe sci et coercive sur [W₀^1,q(Ω)]^N. Par ailleurs, K est un convexe, fermé non vide. Il existe donc une unique solutionu∈ K à ce problème. L’inégalité que nous avons obtenue signifie aussi que

f+ div(A(x)e(u))∈∂I(u)

Nous allons avoir besoin d’expliciter la sous-diff´erentielle de I. Pour ce faire, posons Λ : [W₀^1,q(Ω)]^N →[L^q(Ω)]^N,u7−→e(u). Λ estC¹ et∀v∈[W₀^1,q(Ω)]^N,<Λ⁰(u), v >=e(v).

F : [L^q(Ω)]^N →R,w7−→R

ΩIM(w). CommeIM est convexe sci, on sait que

∂F(w) ={g∈[L^q⁰(Ω)]^N :g(x)∈∂IM(w(x))pp}

Comme

I(u) = Z

Ω

IM(e(u)) = (F◦Λ)(u) Alors sih∈∂I(u),∀v∈[W₀^1,q(Ω)]^N on a

< h, v >=

Z

Ω

w(x)e(v(x))dx

où w(x)∈∂IM(e(u(x))) pp. Et donch=−divw. On en déduit alors que f+ div(A(x)e(u)) =−divZ Où

Z(x)∈ −div(∂IM(e(u(x)))pp Finalement, on a d´emontr´e la

Proposition 1 Sif ∈[L²(Ω)]^N, alors l’´equation











−div(A(x)e(u))−divZ=f dans [D⁰(Ω)]^N Z(x)∈ −∂IM(e(u(x)) p.p. x∈Ω

|e(u(x))| ≤M p.p. x∈Ω admet une unique solutionu∈[W₀^1,q(Ω)]^N,∀q <∞.

1.3 Etude du probl` eme instationnaire

Soient f ∈ L²(0, T; [L²(Ω)]^N) etu₀ ∈[H₀¹(Ω)]^N tel que |e(u₀)| ≤M pp, nous allons nous intéresser dans cette partie à la résolution de l’équation d’évolution











∂_tu−div

A(x)e(u) +np[(|e(u)| −M)⁺]^p−1_|e(u)|^e(u)

=f dans Q_T u(0) =u0 sur Ω

u= 0 sur ∂Ω×]0, T[

(1.5)

1.3.1 Methode de Galerkin pour l’´ etude du probl` eme approch´ e

NotonsRn(e(u)) =np[(|e(u)| −M)⁺]^p−1_|e(u)|^e(u) =Dφ_n(e(u)), o`uφ_n(e(u)) =n[(|e(u)| −M)⁺]^p est une fonction convexe de classeC^p−1.

(12)

Unicité du problème approché

Commep≥2 alors [W₀^1,p(Ω)]^N ,→[H₀¹(Ω)]^N. Soit l’op´erateurB d´efini par :

B:L²(0, T; [H₀¹(Ω)]^N)→L²(0, T; [H⁻¹(Ω)]^N), u7−→Bu=−div(A(x)e(u))−divR_n(e(u)) Montrons queB est un op´erateur strictement monotone. Soientu, v ∈[H₀¹(Ω)]^N

Z T 0

hBu(t)−Bv(t), u(t)−v(t)i_H¹

0,H⁻¹dt

≥α Z T

0

k∇u(t)− ∇v(t)k²

[L²(Ω)]^N²dt+ Z T

0

(R_n(e(u(t)))− R_n(e(v(t))), e(u(t))−e(v(t)))_[L2(Ω)]^N²dt

≥α Z T

0

k∇u(t)− ∇v(t)k²

[L²(Ω)]^N²dt

En effet, par caractérisation de la convexité deφn au premier ordre, on en déduit queDφn est monotone, c’est à dire que∀t∈]0, T[

(Dφn(e(u(t)))−Dφn(e(v(t))), e(u(t))−e(v(t)))_[L2(Ω)]^N² ≥0 et donc

Z T 0

(Rn(e(u(t))− Rn(e(v(t))), e(u(t)−e(v(t))_[L2(Ω)]^N²dt≥0 Ce qui d´emontre effectivement queB est un op´erateur strictement monotone.

Nous sommes à présent en mesure de démontrer l’unicité d’une solution de (1.6). En effet, prenons u et ¯udeux solutions de (1.6), alors il vient par estimation d’énergie que

1 2

d

dtku(t)−u(t)k¯ ²_[L2(Ω)]^N +hBu(t)−Bu(t), u(t)¯ −u(t)i¯ = 0 Donc∀t∈]0, T[

1 2

d

dtku(t)−u(t)k¯ ²_[L2(Ω)]^N ≤0 Par int´egration,∀t∈]0, T[

ku(t)−u(t)k¯ [L²(Ω)]^N ≤0

caru(0) = ¯u(0) =u₀et doncu= ¯uce qui traduit l’unicit´e de la solution de (1.6).

Existence du probl`eme approch´e

C’est ici que nous allons employer une méthode de Galerkin. Soit {ϕi} une base hilbertienne de [L²(Ω)]^N formée des vecteurs propres de l’opérateur de l’élasticité avec condition de Dirichlet. On note {λi}les valeurs propres correspondantes qui forment une suite de nombres positifs qui tend vers +∞. On a donc

−div(A(x)e(ϕi)) =λ_iϕ_i Notonsu^m(t) =Pm

i=1u^m_i (t)ϕ_i. On a f^m(t) =

m

X

i=1

f_i^m(t)ϕi→f(t) fort dansL²(0, T; [L²(Ω)]^N) et

u^m₀ =

m

X

i=1

u^m_0,iϕi→u0 fort dans [L²(Ω)]^N

(13)

Nous allons commencer par montrer que l’´equation











∂_tu^m−div

A(x)e(u^m)) +Rn(e(u^m)

=f^m dans Q_T u^m(0) =u^m₀ sur Ω

u^m= 0 sur ∂Ω×]0, T[

admet une solution dans V^m = [ϕ₁, ..., ϕ_m] le sous-espace vectoriel de dimension finie engendr´e par les mpremiers vecteurs de la base hilbertienne. En multipliant parϕ_i et en int´egrant sur Ω, il vient

Z

Ω

∂tu^mϕi+ Z

Ω

A(x)e(u^m).e(ϕi) + Z

Ω

Rn(e(u^m)).e(ϕi) = Z

Ω

f^mϕi

⇒ d dt

Z

Ω

u^mϕi+ Z

Ω

Rn(e(u^m)).e(ϕi) =f_i^m

⇒ du^m_i

dt +λ_iu^m_i + Z

Ω

R(e(u^m)).e(ϕ_i) =f_i^m

On pose maintenantU^m= (u^m₁, ..., u^m_m),F^m= (f₁^m, ..., f_m^m),U₀^m= (u^m_0,1, ..., u^m_0,m) et on note R(U^m)i=

Z

Ω

Rn(e(u^m)).e(ϕi) et enfin

Λ = diag(λ_j) DoncU^mv´erifie l’´equation

_dU^m

dt + ΛU^m+R(U^m) =F^m U^m(0) =U₀^m

U^m 7−→ ΛU^m+R(U^m)−F^m est continue car Λ est une application linéaire et φ_n est de classe C^p−1. On en déduit l’existence d’une solution U^m de l’équation différentielle ci-dessus sur un inter- valle de temps [0, T(U₀^m)[ dépendant de la donnée initiale. L’existence d’une solution globale sur [0, T] est obtenue si |V^m(t)| n’explose pas quand t tend vers T(U₀^m). Autrement dit, il existe une solution u^m∈ C¹(]0, T(U₀^m)[;V^m) de











∂_tu^m−div

A(x)e(u^m)) +Rn(e(u^m)

=f^m dans Q_T u^m(0) =u^m₀ sur Ω

u^m= 0 sur ∂Ω×]0, T[ Estimations d’´energie

On voudrait à présent faire tendre le paramètremvers l’infini, afin de se ramener au probème (1.6).

Pour ce faire, nous allons effectuer une estimation d’´energie en multipliant l’´equation Z

Ω

∂tu^mϕi+ Z

Ω

Rn(e(u^m)).e(ϕi) = Z

Ω

f^mϕi

paru^m_i , en sommant pouriallant de 1 à met en intégrant sur Ω, il vient après minoration du premier membre

1 2

d

dtku^m(t)k²_[L2(Ω)]^N+αk∇u^m(t)k²_[L₂_(Ω)]_N2+ Z

Ω

Rn(e(u^m(t))).e(u^m(t))≤ Z

Ω

f^m(t)u^m(t)

(14)

CommeR

ΩRn(e(u^m(t))).e(u^m(t))≥0, en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on en déduit que 1

2 d

dtku^m(t)k²_[L2(Ω)]^N+αk∇u^m(t)k²

[L²(Ω)]^N² ≤ kf^m(t)k_[L2(Ω)]^Nku^m(t)k_[L2(Ω)]^N

En particulier ku^m(t)k_[L2(Ω)]^N

d

dtku^m(t)k_[L2(Ω)]^N =1 2

d

dtku^m(t)k²_[L2(Ω)]^N ≤ kf^m(t)k_L2([L²(Ω)]^Nku^m(t)k_[L2(Ω)]^N

Par int´egration il vient

ku^m(t)k[L²(Ω)]^N ≤ kf^mkL¹(0,T;[L²(Ω)]^N)+ku^m₀k[L²(Ω)]^N ≤C DoncT(U₀^m) =T et

ku^mk_L∞(0,T;[L²(Ω)]^N)≤C D’un autre cˆot´e, on a

Z T 0

k∇u^m(t)k²

[L²(Ω)]^N²dt≤ ku^mk_L∞(0,T;[L²(Ω)]^N)kf^mk_L1(0,T;[L²(Ω)]^N)≤C donc

ku^mk_L2(0,T;[H₀¹(Ω)]^N)≤C Par ailleurs,

np Z

QT

(|e(u^m)| −M)⁺p−1

|e(u^m|= Z

QT

Rn(e(u^m)).e(u^m)≤C

⇒np Z

Q_T

(|e(u^m)| −M)⁺p

+M np Z

Q_T

(|e(u^m| −M)⁺p−1

≤C

Or Z

Q_T

|e(u^m)|^p≤2^p Z

Q_T

(|e(u^m| −M)^p+ (2M)^p|QT| ≤C

Donc Z

Q_T

|e(u^m)|^p≤2^p Z

Q_T

(|e(u^m| −M)⁺p

+C(2M)^p|QT| ≤C et donc

ke(u^m)k_Lp(0,T;[L^p(Ω)]^N²)≤C En particuliere(u^m)* e(u) faible dansL^p(0, T; [L^p(Ω)]^N²).

En d´esignant parp⁰ l’exposant conjugu´e dep(p⁰ =_p−1^p ), on constate que kDφ_n(e(u^m(t)))k^p⁰

[L^p⁰(Ω)]^N² = (np)^p⁰ Z

Ω

(|e(u^m(t))| −M)⁺^p⁰(p−1)

= (np)^p⁰ Z

Ω

(|e(u^m(t))| −M)⁺^p

≤C Et donc

kDφn(e(u^m))k^p⁰

L^p⁰(0,T;[L^p⁰(Ω)]^N²)≤C

⇒Dφn(e(u^m))* Yn faible dansL^p⁰(0, T; [L^p⁰(Ω)]^N²).

Il s’agit `a pr´esent de montrer queYn =Dφn(e(u)).

Lemme 3 Soit φ une fonction convexe, C¹ et `a croissance p. On suppose que w^m * w faible dans L^p(0, T;L^p(Ω))et queDφ(w^m)* Y faible dansL^p⁰(0, T;L^p⁰(Ω)). On suppose de plus que

lim sup Z T

0

Z t 0

Z

Ω

Dφ(w^m)w^m≤ Z T

0

Z t 0

Z

Ω

Y w Alors, Y =Dφ(w).

(15)

Démonstration.Par caractérisation de la convexité au premier ordre, la différentielle deφest une application monotone. Et donc∀v∈L^p(0, T;L^p(Ω))

Z T 0

Z t 0

Z

Ω

(Dφ(w^m))−Dφ(v))(w^m−v)≥0 Par passage `a la limite sup, il vient par convergence faible

Z T 0

Z t 0

Z

Ω

(Y −Dφ(v))(w−v)≥0 On posev=w+su, avecs∈R^∗ et u∈L^p(0, T;L^p(Ω)). Donc

−s Z T

0

Z t 0

Z

Ω

(Y −Dφ(w+su))u≥0 En simplifiant pars









 Z T

0

Z t 0

Z

Ω

(Y −Dφ(w+su))u≤0 si s >0

Z T 0

Z t 0

Z

Ω

(Y −Dφ(w+su))u≥0 si s <0 Commeφest `a croissancepon en d´eduit qu’il existe unC >0 tel que

|Dφ(w+su)| ≤C|w+su|^p−1 donc

|Dφ(w+su)|^p⁰ ≤C|w+su|^p

Orw+su→wdansL^p(0, T;L^p(Ω)) donc par d’après la réciproque de la convergence dominée, il existe ung∈L^p(0, T;L^p(Ω)) tel que|w+su| ≤g. Et donc

|Dφ(w+su)|^p⁰ ≤Cg^p∈L¹(0, T;L¹(Ω))

Par ailleurs, par continuité deDφon aDφ(w+su)→Dφ(w)pp, donc d’après le théorème de convergence dominée,Dφ(w+su)→Dφ(w) dansL^p⁰(0, T;L^p⁰(Ω)). En passant à la limite quands→0, il vient

Z T 0

Z t 0

Z

Ω

(Y −Dφ(w))u= 0 SoitY =Dφ(w) ce qui prouve le lemme.

u^mv´erifie l’´equation

∂tu^m−div

A(x)e(u^m) +R(e(u^m)

=f^m Par passage à la limite au sens des distributions,uvérifie l’équation

∂tu−div

A(x)e(u) +Yn

=f

Nous voudrions appliquer lemme précédent à w^m = e(u^m). φ_n est bien une fonction convexe, C¹ et à croissancep. Il reste à vérifier que

lim sup Z T

0

Z t 0

Z

Ω

Dφ_n(e(u^m))e(u^m)≤ Z T

0

Z t 0

Z

Ω

Y e(u)

Dφ_n(e(u^m(t))), e(u^m(t)

[L²(Ω)]^N² = (f^m(t), u^m(t))_[L2(Ω)]^N− A(x)e(u^m(t), e(u^m(t)

[L²(Ω)]^N²−

(16)

−

∂tu^m(t)), u^m(t)

[L²(Ω)]^N

Or

lim sup Z T

0

Z t 0

(f^m(t), u^m(t))_[L2(Ω)]^N = Z T

0

Z t 0

(f(t), u(t))_[L2(Ω)]^N

carf^m→f fortement dansL²(0, T; [L²(Ω)]^N) etu^m* ufaiblement dansL²(0, T; [L²(Ω)]^N).

Ensuite par semi-continuit´e inf´erieure

− Z T

0

Z t 0

A(x)e(u(t)), e(u(t))

[L²(Ω)]^N²

≥ −lim inf Z T

0

Z t 0

A(x)e(u^m(t), e(u^m(t)

[L²(Ω)]^N² = lim sup− Z T

0

Z t 0

A(x)e(u^m(t), e(u^m(t)

[L²(Ω)]^N²

Et enfin, on d´emontre par densit´e des fonctionsC¹([0, T];C_c^∞(Ω)) dansH¹(0, T;L²(Ω)) que

− Z T

0

Z t 0

∂_tu^m(s)), u^m(s)

[L²(Ω)]^N

=−1 2

Z T 0

ku^m(t)k²_[L2(Ω)]^N +Tku^m₀k²_[L2(Ω)]^N

⇒lim sup− Z T

0

Z t 0

Z

Ω

∂_tu^m(t)u^m(t)≤ −1 2

Z T 0

ku(t)k_[L2(Ω)]^N +Tku₀k_[L2(Ω)]^N =− Z T

0

Z t 0

Z

Ω

∂_tu(t)u(t)

On constate effectivement que lim sup

Z T 0

Z t 0

Z

Ω

Dφn(e(u^m)e(u^m)≤ Z T

0

Z t 0

Z

Ω

Yne(u)

Appliquant maintenant le lemme, on déduit queY_n =Dφ_n(e(u)) =R_n(e(u)). On a finalement montré l’existence et l’unicité d’une solutionun ∈L^p(0, T; [W₀^1,p(Ω)]^N)∩L^∞(0, T; [L²(Ω)]^N) de l’équation











∂tun−div

A(x)e(un) +np[(|e(un)| −M)⁺]^p−1_|e(u^e(uⁿ⁾

n)|

=f dans QT

un(0) =u0 sur Ω

un= 0 sur ∂Ω×]0, T[

1.3.2 Estimations d’´ energie

En effectuant les mêmes estimations d’énergie qu’au paragraphe précédent en rempla¸cantf^mparf, on démontre queun est suite bornée dansL^p(0, T; [W₀^1,p(Ω)]^N)∩L^∞(0, T; [L²(Ω)]^N). On peut donc extraire une sous-suite telle queu_n * ufaiblement dansL^p(0, T; [W₀^1,p(Ω)]^N)∩L^∞(0, T; [L²(Ω)]^N).

On d´emontre aussi que

Z

QT

Rn(e(un)).e(un)≤C

⇒np Z

Q_T

(|e(un)| −M)⁺p−1

|e(un)| ≤C

⇒np Z

QT

(|e(un)| −M)⁺^p

+M np Z

QT

(|e(un)| −M)⁺p−1

≤C Donc en particulier

kR_n(e(u_n))k_[L1(Ω]^N² =np Z

QT

(|e(u_n)| −M)⁺p−1

≤ C M

(17)

Donc

Rn(e(un))→ Rdans[D⁰(QT)]^N² Par ailleurs, multiplions l’´equation par∂tun puis int´egrons sur Ω, il vient

k∂tun(t)k²_[L2(Ω)]^N +1 2

d

dt A(x)e(un(t)), e(un(t))

[L²(Ω)]^N+ d dt

Z

Ω

φn(e(un(t))) =

= f(t), ∂tun(t)

[L²(Ω)]^N ≤1

2kf(t)k²_[L2(Ω)]^N +1

2k∂tun(t)k²_[L2(Ω)]^N

On int ˜A¨gre entre 0 etT, commee(u₀)≤M on en d´eduit queφ_n(e(u₀)) = 0 et donc 1

2k∂tunk²_L2(0,T;[L²(Ω)]^N)+α

2ke(un(t)))k²_[L2(Ω)]^N ≤ 1

2kf(t)k²_[L2(Ω)]^N+1

2kAk_L∞(Ω)^N⁴ke(u0)k²_[L2(Ω)]^N

On a donc







k∂tunk²_L2(0,T;[L²(Ω)]^N)≤C ke(un))k_L∞(0,T;[L²(Ω)]^N)≤C

En regroupant toutes les précédentes estimations, on en déduit par compacité faible que







∂tun* ∂tu faible dans L²(0, T; [L²(Ω)]^N)

un* u faible dans L^∞(0, T; [H₀¹(Ω)]^N)∩L^p(0, T; [W₀^1,p(Ω)]^N) Par ailleurs, d’après le théorème d’Ascoli,

un→u fort dans C⁰([0, T]; [L²(Ω)]^N)

Nous allons maintenant d´emontrer que ke(u)k_[L∞(QT)]^N² ≤M. A cet effet, posons An ={(x, t)∈QT :

|e(un)(x, t)| ≥M+η}. Il s’agit de montrer que|An| →0. En effet, Z

An

(|e(un)| −M)⁺^p

≤ Z

QT

(|e(un)| −M)⁺^p

≤ C n →0 Donc

η^p|An| →0⇒ |An| →0

Par ailleurs, on sait que u_n * u faiblement dans L²(0, T; [H₀¹(Ω)]^N). Donc e(u_n) * e(u) faiblement dansL²(0, T; [L²(Ω)]^N²). D’apr`es le lemme 1,|e(u)| ∈L^∞(0, T; [L^∞(Ω)]^N²) etke(u)k_L∞(0,T;[L^∞(Ω)]^N²)≤ M+η. En faisant tendre η vers 0 on en d´eduit queke(u)k_L∞(0,T;[L^∞(Ω)]^N²)≤M.

Donc|e(u)(x, t)| ≤M p.p. (x, t)∈QT. Posons

K={v∈L^p(0, T; [W₀^1,p(Ω)]^N)∩L^∞(0, T; [H₀¹(Ω)]^N) :|e(v)(x, t)| ≤M p.p.(x, t)∈QT} Doncu∈ K.

Montrons maintenant que∀v∈ K Z

Q_T

Rn(e(un)).(e(v)−e(un))≤0 En effet, R(e(un)) = Dφn(e(un)), o`u φn(e(un)) = n (|e(un)| −M)⁺p

est une fonction convexe. Par caract´erisation de la convexit´e au premier ordre, il vient

φn(e(v)(t))≥φn(e(un)(t)) + Rn(e(un)(t)), e(v)(t)−e(un)(t)

[L²(Ω)]^N²

(18)

Si l’on choisitv∈ K alorsφn(e(v)(t)) = 0 et donc 0≥φ_n(e(u_n)(t))+ Rn(e(u_n)(t)), e(v)(t)−e(un)(t)

[L²(Ω)]^N² ≥ Rn(e(u_n)(t)), e(v)(t)−e(un)(t)

[L²(Ω)]^N²

carφ_n≥0. Enfin, en int´egrant entre 0 etT, on en d´eduit que∀v∈ K Z

Q_T

Rn(e(un)).(e(v)−e(un))≤0 ce qui correspond effectivement au r´esultat attendu.

∀v∈ K, on multiplie l’´equation

∂tun−div A(x)e(un) +Rn(e(un)

=f parv−un puis on int`egre surQT, il vient

− ∂tun, v−un

L²(0,T;[L²(Ω)]^N)− A(x)e(un), e(v)−e(un)

L²(0,T;[L²(Ω)]^N)+ (f, v−un)_L2(0,T;[L²(Ω)]^N)≤0 D’après les résultats de convergence déjà établis, on en déduit par passage à la limite que∀v∈ K

− ∂tu, v−u

L²(0,T;[L²(Ω)]^N)− A(x)e(u), e(v)−e(u)

L²(0,T;[L²(Ω)]^N)+ (f, v−u)_L2(0,T;[L²(Ω)]^N)≤0

1.3.3 Retour ` a l’´ equation de d´ epart

Existence d’une solution Nous avons donc d´emontr´e que

−∂tu+ div(A(x)e(u)) +f ∈∂I(u)

oùIdésigne la fonction indicatrice de l’ensembleK. On démontre de la même manière que dans la partie stationnaire l’existence d’une solution de l’équation











−∂tu+ div(A(x)e(u))−divZ=f dans D⁰(Q_T)

u=u₀ sur Ω

Z(x, t)∈∂I_M(e(u(x, t))) p.p. (x, t)∈Q_T

|e(u)(x, t)| ≤M p.p. (x, t)∈QT

dansL^p(0, T; [W₀^1,p(Ω)]^N)∩L^∞(0, T; [H₀¹(Ω)]^N)∩H¹(0, T; [L²(Ω)]^N) Unicit´e de la solution

Il ne nous reste plus qu’à montrer l’unicité de la solution. Pour cela définissons l’opérateurB par B :L²(0, T; [H₀¹(Ω)]^N)→L²(0, T; [H⁻¹(Ω)]^N), u7→Bu=−div(A(x)e(u))−divZ

o`u Z(x, t) ∈ ∂IM(e(u(x, t))) pp. Nous allons montrer que B est un op´erateur strictement monotone.

Soientu, v∈L²(0, T; [H₀¹(Ω)]^N) Z T

0

hBu(t)−Bv(t), u(t)−v(t)i_H−1,H₀¹dt

≥αk∇u−∇vk²_L2(0,T;[L²(Ω)]^N)+ R(e(u))−R(e(v)), e(u)−e(v)

L²(0,T;[L²(Ω)]^N)≥αk∇u−∇vk²_L2(0,T;[L²(Ω)]^N)

En effet, comme IM, est la fonction indicatrice d’un ensemble convexe,IM est une fonction convexe. Il

(19)

vient par caractérisation de la convexité au premier ordre que la sous-différentielle deIM est monotone.

Nous sommes à présent en mesure de démontrer l’unicité d’une solution de l’équation. En effet, prenons u et ¯u deux solutions de l’équation, alors il vient par estimation d’énergie et par intégration en temps que

1

2ku−uk¯ ²_L2(0,T;[L²(Ω)]^N)+hBu−Bu, u¯ −ui¯ = 0

Donc 1

2ku−uk¯ ²_L2(0,T;[L²(Ω)]^N)≤0

caru(0) = ¯u(0) =u0et doncu= ¯uce qui traduit l’unicit´e de la solution de l’´equation.

Finalement nous avons d´emontr´e la proposition suivante

Proposition 2 Sif ∈L²(0, T; [L²(Ω)]^N)etu0∈[H₀¹(Ω)]^N tel que|e(u0)| ≤M pp, alors l’´equation











−∂_tu+ div(A(x)e(u))−divZ =f dans D⁰(Q_T)

u=u₀ sur Ω

Z(x, t)∈∂IM(e(u(x, t))) p.p. (x, t)∈QT

|e(u)(x, t)| ≤M p.p. (x, t)∈QT

admet une unique solutionudansL^p(0, T; [W₀^1,p(Ω)]^N)∩L^∞(0, T; [H₀¹(Ω)]^N)∩H¹(0, T; [L²(Ω)]^N).